2022-2023学年浙江省宁波外国语学校九年级（上）返校考数学试卷（含解析）

2022-2023学年浙江省宁波外国语学校九年级（上）返校考数学试卷

一、选择题（本大题共5小题，共20分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    根据下列表格的对应值，判断方程为常数的一个解的范围是(    )

A.  B.  C.  D.

2.    若平行四边形的一条边长为，则它的两条对角线的长可以是(    )

A. 和 B. 和 C. 和 D. 和

3.    点、、、在同一平面内，从；；；这四个条件中任意选两个，能使四边形是平行四边形的有(    )

A. 种 B. 种 C. 种 D. 种

4.    如图，菱形中，，，，，，则(    )

A.
B.
C.
D.

5.    如图，在直角坐标系中，正方形的顶点与原点重合，顶点、分别在轴、轴上，反比例函数的图象与正方形的两边、分别交于点、，轴，垂足为，连接、、下列结论：
   ≌；；四边形与面积相等；若，，则点的坐标为
   其中正确结论的个数是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共10小题，共40分）

6.    将抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，则此时抛物线的解析式是______．
7.    某服装店销售一批服装，平均每天可售出件，每件盈利元，为了扩大销售，尽快减少库存，商店决定采取适当的降价措施，经市场调查发现，如果一件衣服每降价元，商店平均每天可多售出件，则每件衣服降价______元时，服装店每天盈利最多．
8.    如图所示，点，，是上的点，，则______．

9.    如图所示，在中，，以为直径作半圆，交于点，交于点若，，则弧的度数是______，的长为______．

10. 如图，在反比例函数图象上，轴于，则的值为______．

11. 已知圆外点到圆上各点的距离中，最大值是，最小值是，则这个圆的半径是______．
12. 如图，的半径，直线，垂足为，且交于、两点，，则沿所在直线向下平移______时与相切．

13. 如图所示，两个同心圆的半径之比为：，是大圆的直径，大圆的弦与小圆相切，若，则______．

14. 关于的方程的解是正数，则的取值范围是______．
15. 已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点，若为等腰三角形，则的值是______．

三、解答题（本大题共3小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16. 本小题分
    计算：
    ；
    ；
    ；
    在中，若，，都是锐角，求的度数．
17. 本小题分
    如图，直线经过点，且与双曲线交于点，过点作轴的平行线分别交曲线和于，两点．
    求的值及直线的表达式；
    是否存在实数，使得？若存在，请求出所有满足条件的的值；若不存在，请说明理由．

18. 本小题分
    如图所示，已知，两点的坐标分别为，，点是外接圆上一点，且，与交于点．
    求的度数；
    求及的长；
    求的长及点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，，
，，
时，，
即方程为常数的一个解的范围是．
故选：．
利用，，而，，则可判断方程为常数的一个解的范围是．
本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根．
 

2.【答案】 

【解析】解：如图：四边形是平行四边形，，
A、，，
，，
，
能组成三角形，故本选项符合题意；
B、，，
，，
，
不能组成三角形，故本选项不符合题意；
C、，，
，，
，
不能组成三角形，故本选项不符合题意；
D、，，
，，
，
不能组成三角形，故本选项不符合题意．
故选：．
由平行四边形的对角线互相平分与三角形的三边关系分别对各个选项进行判断即可．
此题考查了平行四边形的性质与三角形的三边关系，熟练掌握平行四边形的性质和三角形的三边关系是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：根据平行四边形的判定，符合条件的有种，分别是：、、、．
故选：．
根据平行四边形的判定方法中，、、、均可判定是平行四边形．
本题考查了平行四边形的判定，平行四边形的判定方法共有五种，在四边形中如果有：四边形的两组对边分别平行；一组对边平行且相等；两组对边分别相等；对角线互相平分；两组对角分别相等．则四边形是平行四边形．本题利用了第，，种来判定．
 

4.【答案】 

【解析】解：过，垂足为．
四边形是菱形，
，
，
，
，
，
，，
又，
，
是等腰直角三角形，
，
．
故选：．
首先过，垂足为由四边形是菱形，可得，即可求得的长，又由，即可求得与的长，然后由，证得是等腰直角三角形，继而求得答案．
此题考查了菱形的性质、直角三角形的性质、勾股定理以及等腰直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
 

5.【答案】 

【解析】解：点、都在的图象上，
，即，
四边形为正方形，
，，
，
≌，所以正确；
，
的值不能确定，
的值不能确定，
只能为等腰三角形，不能确定为等边三角形，
，所以错误；
，
而，
四边形与面积相等，所以正确；
作于点，如图，
，
为等腰直角三角形，
，
设，则，
，
，
在中，，
，即，
，
，
，，
，
为等腰直角三角形，
，
设正方形的边长为，则，，
在中，，
，解得，舍去，
，
点坐标为，所以正确．
故选C．
根据反比例函数的比例系数的几何意义得到，即，而，则，在根据“”可判断≌；根据全等的性质得到，由于的值不能确定，则的值不能确定，无法确定为等边三角形，则；根据和，即可得到；作于点，则为等腰直角三角形，设，则，，在中，利用勾股定理可求出，所以，易得为等腰直角三角形，得到，设正方形的边长为，在中，利用勾股定理可求出的值为，从而得到点坐标为．
本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、比例系数的几何意义和正方形的性质；熟练运用勾股定理和等腰直角三角形的性质进行几何计算．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
将抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，则此时抛物线的解析式是，即，
故答案为：．
根据图象平移规律，可得答案．
本题考查了二次函数图象与几何变换，利用平移规律：左加右减，上加下减是解题关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：设每件衬衫应降价元，设商场获得的总利润为元，由题意得：


，
，
当时，有最大值，最大值为，
每件衬衫应降价元，服装店每天盈利最多，
故答案为：．
设每件衬衫应降价元，设商场获得的总利润为元，由题意列函数解析式，根据二次函数的性质即可得到结论．
此题是二次函数的应用，正确理解题意，找到关键描述语，找到等量关系准确地列出函数解析式是解决问题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：在优弧上取点，连接，，

，，
，
．
故答案为：．
首先在优弧上取点，连接，，由点、、是上的点，，即可求得的度数，然后由圆周角定理，即可求得答案．
此题考查了圆周角定理以及圆的内接四边形的性质．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
 

9.【答案】   

【解析】解：连接，，

，，
，
，
弧的度数是，
为半圆的直径，
，
，
是的中线，
，
，
．
故答案为：，．
连接，，根据半径相等，证得，从而求出圆心角的度数，进而得出弧的度数；根据圆周角定理得出，再根据等腰三角形三线合一得出，根据求得．
本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质，解题的关键是添加适当的辅助线从而利用圆周角定理解答．
 

10.【答案】 

【解析】解：在反比例函数图象上，
，
轴于，
，，
，
故答案为：．
利用锐角三角函数的定义求解，为的对边比邻边，求出即可．
此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
 

11.【答案】 

【解析】解：如图：

当点在圆外时，
点到圆上的最小距离，最大距离，
直径，
半径．
故答案为：．
画出图形，当点在圆外时，直径最大距离最小距离．
本题主要考查了点与圆的位置关系，根据题意画出图形是解决本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：直线和圆相切时，，
又在直角三角形中，，，
．
需要平移故答案为：．
根据直线和圆相切，则只需满足又由垂径定理构造直角三角形可求出此时的长，从而计算出平移的距离．
本题考查垂径定理及直线和圆的位置关系．注意：直线和圆相切，则应满足．
 

13.【答案】 

【解析】解：设弦与小圆相切于点，如下图所示：

为大圆的直径，
，
，为的中点，

为的中位线；
，
；
两个同心圆的半径之比为：，
大圆半径为，
，
．
故答案为：．
设弦与小圆相切于点，连接，，为大圆的直径，，故为的中位线；因由已知可知，即可知，两个同心圆的半径之比为：，可求得大圆半径，再由勾股定理可求得的长．
本题主要考查了切线的性质及勾股定理的应用．解决本题的关键是掌握切线的性质．
 

14.【答案】且 

【解析】解：去分母得，
解得，
关于的方程的解是正数，
且，
且，解得且，
的取值范围是且．
故答案为：且．
先去分母得，可解得，由于关于的方程的解是正数，则并且，即且，解得且．
本题考查了分式方程的解：先把分式方程化为整式方程，解整式方程，若整式方程的解使分式方程左右两边成立，那么这个解就是分式方程的解；若整式方程的解使分式方程左右两边不成立，那么这个解就是分式方程的增根．
 

15.【答案】或或 

【解析】解：，
所以，抛物线经过点，，，
点坐标为，
时，点在轴负半轴上，
若，则，解得，
若，则，解得，
若，则，解得；
时，点在轴的正半轴，点只能在点的右侧，
只有，则，
解得：，
综上可得值为：或或．
故答案为：或或．
整理抛物线解析式，确定出抛物线与轴的一个交点和轴的交点，然后求出的长度，再分时，点在轴负半轴时，分、、三种情况求解；时，点在轴的正半轴时，点只能在点的右边，只有一种情况列式计算即可．
本题考查了二次函数的综合，涉及了抛物线与轴的交点问题，等腰三角形的性质，根据抛物线的解析式确定出抛物线经过的两个定点是解题的关键，注意分情况讨论，难度较大．
 

16.【答案】解：


；



；


；
，
，，
，都是锐角，
，，
． 

【解析】根据有理数的混合运算法则进行计算即可；
根据特殊角的三角函数计算即可；
先通分，再约分即可化简；
根据特殊角的三角函数可得和的度数，进一步可得的度数．
本题考查了有理数的混合运算，分式的加减和乘除，非负数的性质，特殊角的三角函数等，熟练掌握这些知识是解题的关键．
 

17.【答案】解：把点代入得，
设直线的解析式是，
把，代入中，得，
解得，
直线的解析式是；

存在．理由如下：
点坐标为，
点在直线上，
而轴，
点、的纵坐标都为，
，，
，
，
当时，，此时与重合，不存在；
当时，如图，
．
，
，
整理得，，解得不合题意，舍去，．
满足条件的的值为． 

【解析】把代入即可得到的值；然后利用待定系数法求出直线的解析式；
由于点坐标为得到点在直线上，则点、的纵坐标都为，得到，，可得，计算出，利用，得到，然后解方程即可．
本题考查了反比例函数综合题：点在反比例函数图象上，点的横纵坐标满足其解析式；会计算三角形的面积．
 

18.【答案】解：，，
，，
；
如图，过点作轴于点，

，
，
，
，
由知：，
，，
，
，
，；
及的长分别为，；
作轴于，连接、，如图，

，
为外接圆的直径，
，
，，
，，
，
，
，
和都为等腰直角三角形，
，，
设，则，，
在中，
，
，
整理得，解得，舍去，
，
；
点坐标为． 

【解析】根据，，可得，，进而可以解决问题；
过点作轴于点，可得，，然后根据，求出的长，进而可以解决问题；
作轴于，连接、，根据圆周角定理由，得到为外接圆的直径，则，再利用勾股定理计算出，根据圆周角定理由得到，则可判断和都为等腰直角三角形，所以，，设，则，，在中，根据勾股定理得到的长和点坐标．
本题考查了三角形外接圆与外心，坐标与图形性质，解决本题的关键是得到和都为等腰直角三角形．