2021学年6.2 平面向量的运算课时训练

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6.2.1向量的加法运算 (精练）A学业基础一、单选题1．（2022·全国·高一课时练习）化简下列各式：①；②；③；④．其中结果为的个数是（       ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【详解】对于①：，对于②：，对于③：，对于④：，所以结果为的个数是，故选：B2．（2022·陕西·宝鸡市陈仓区教育体育局教学研究室高一期中）向量化简后等于（       ）A． B． C． D．【答案】A【详解】由,故选：A3．（2022·山东潍坊·高三阶段练习）五角星是指有五只尖角､并以五条直线画成的星星图形，有许多国家的国旗设计都包含五角星，如中华人民共和国国旗.如图在正五角星中，每个角的角尖为36°，则下列说法正确的是（ ）A． B． C． D．【答案】D【详解】A，由图可知与相交，所以与不是相反向量，故A错误；B，与共线，所以与不共线，所以与不共线，故B错误；C，，故C错误；D，连接，由五角星的性质可得为平行四边形，根据平行四边形法则可得，故D正确.故选：D4．（2022·全国·高一课时练习）若非零向量和互为相反向量，则下列说法中错误的是（   ）．A． B． C． D．【答案】C【详解】解：由平行向量的定义可知项正确；因为和的方向相反，所以，故项正确；由相反向量的定义可知，故选项正确；由相反向量的定义知，故项错误；故选：C．5．（2022·全国·高一课时练习）已知点O是的两条对角线的交点，则下面结论中正确的是（       ）．A． B．C． D．【答案】B【详解】对于A：，故A错误；对于B：，故B正确；对于C：，故C错误；对于D：，故D错误；故选：B6．（2022·四川省内江市第六中学高三阶段练习（文））在平行四边形中，，若，则=（       ）A． B． C． D．3【答案】B【详解】，则平分，则四边形为菱形.且，由，则,故选：B.7．（2022·江苏·高一）向量﹒化简后等于（ ）A． B．0 C． D．【答案】D【详解】, 故选D.8．（2022·新疆五家渠市兵团二中金科实验中学高一开学考试）设P是所在平面内的一点，，则A． B． C． D．【答案】B移项得.故选B9．（2022·全国·高一课时练习）下列命题中正确的是______．①空间向量与是共线向量，则，，，四点必在一条直线上；②单位向量一定是相等向量；③相反向量一定不相等；④四点不共线，则为平行四边形的充要条件是，⑤模为0的向量方向是不确定的．【答案】④⑤【详解】由共线向量即为平行向量，只要求两个向量方向相同或相反即可，并不要求两个向量，在同一条直线上，所以①不正确．由单位向量的模均相等且为1，但方向并不一定相同，所以②不正确．零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的，所以③不正确，．若，可得且，所以四边形为平行四边形，当为平行四边形时，可得，所以④正确．由模为0的向量为，其中的方向是不确定的，所以⑤正确．故答案为：④⑤.10．（2022·全国·高一课时练习）已知下列各式：①； ②； ③； ④.其中结果为的是____.(填序号)【答案】①④##④①【解析】【详解】①; ②; ③; ④.故答案为：①④.11．（2022·全国·高二课时练习）给出下列命题：①零向量没有确定的方向；②在正方体ABCD­A1B1C1D1中，；③若向量与向量的模相等，则，的方向相同或相反；④在四边形ABCD中，必有.其中正确命题的序号是________.【答案】①②【详解】①正确；②正确，因为与的大小和方向均相同；③，不能确定其方向，所以与的方向不能确定；④只有当四边形ABCD是平行四边形时，才有.综上可知，正确命题为①②.故答案为:①②12．（2022·江苏·高一）若表示向南走1公里，表示向东走2公里，表示向北走3公里，则表示______.【答案】东北方向走了公里【详解】因为根据向量的几何意义表示向北走了2公里，所以表示向东走2公里，向北走了2公里的和向量，所以根据平行四边形法则知，表示东北方向走了公里.故答案为：东北方向走了公里13．（2022·全国·高一课时练习）如图，已知D， E， F分别是三边AB， BC， CA的中点，求证：【答案】证明见解析【详解】如图，连接DE， EF， FD,因为D， E， F分别是△ABC三边的中点，所以四边形ADEF为平行四边形．由向量加法的平行四边形法则，得①,同理②，③，将①②③式相加，.14．（2022·全国·高一课时练习）某人在静水中游泳的速度为，河水自西向东的流速为1m/s，此人朝正南方向游去，求他的实际前进方向和速度．【答案】实际前进方向为南偏东，速度为.【详解】如图所示：河水速度为，，人的速度为，，则，，，.故实际前进方向为南偏东，速度为.B应考能力15．（2022·山东枣庄·高一期中）已知点G是三角形ABC所在平面内一点，满足，则G点是三角形ABC的（       ）A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心【答案】D【详解】因为，所以，以GA､GB为邻边作平行四边形GADB，连接GD，交AB于点O，如图所示：则，所以，点O是AB边的中点，所以CG所在的直线CO是AB边上的中线，同理可证AG所在的直线是BC边上的中线，BG所在的直线是AC边上的中线，所以G点是三角形ABC的重心.故选：D.16．（2020·山东滨州·高一期末）如图，在平面直角坐标系中，原点为正八边形的中心，轴，若坐标轴上的点（异于点）满足（其中，且、），则满足以上条件的点的个数为（　　）A． B． C． D．【答案】D【详解】分以下两种情况讨论：①若点在轴上，则、关于轴对称，由图可知，与、与、与、与关于轴对称，此时，符合条件的点有个；②若点在轴上，则、关于轴对称，由图可知，与、与、与、与关于轴对称，此时，符合条件的点有个.综上所述，满足题中条件的点的个数为.故选：D.17．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知△ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，且，则实数m＝________.【答案】1【详解】如图：作直径BD,连接DA、DC,HC,由图得，∵H为△ABC的垂心，∴CH⊥AB，AH⊥BC，∵BD为直径，∴DA⊥AB，DC⊥BC∴CH∥AD,AH∥CD,故四边形AHCD是平行四边形,∴，又∵，∴，对比系数得到m=1.故答案为1.18．（2020·全国·高一课时练习）已知长度相等的三个非零向量满足=0,则由A,B,C三点构成的△ABC的形状是_____三角形.【答案】等边如图,以OA,OB为邻边作菱形OAFB,则,∴=0,∴=-.∴O,F,C三点共线.∵四边形OAFB是菱形,∴CE垂直平分AB.∴CA=CB.同理,AB=AC.∴△ABC为等边三角形.19．（2022·全国·高一课时练习）一艘船以的速度向垂直于对岸方向行驶，船实际航行方向与水流方向成角，求水流速度和船实际速度．【答案】水流速度大小为，船实际速度为【详解】如图所示，表示水流速度，表示船向垂直于对岸的方向行驶的速度，表示船实际航行的速度，，．∵四边形为矩形，∴，，∴水流速度大小为，船实际速度为.C新素养 新题型20．(多选）（2022·全国·高一课时练习）（多选）设，是任一非零向量，则在下列结论中，正确的是（       ）A． B．C． D．【答案】AC【详解】由题意，，易知A, C正确，B错误；平面向量不能比较大小，故D错误.故选：AC.21．(多选）（2022·广东·南方科技大学附属中学高一期中）已知点，，分别是的边的中点，则下列等式中正确的是（       ）A． B．C． D．【答案】ABC【详解】对于A选项，，正确；对于B选项，，正确；对于C选项，根据向量加法的平行四边形法则可知，正确；对于D选项，，所以D错误.故选：ABC22．（2022·全国·高一课时练习）如图，小船要从处沿垂直河岸的方向到达对岸处，此时水流的速度为6km/h，测得小船正以8km/h的速度沿垂直水流的方向向前行驶，求小船在静水中速度的大小及方向.【答案】小船在静水中的速度的大小为，方向与水流方向的夹角为，其中，.【详解】设表示小船垂直于河岸行驶的速度，表示水流的速度，如图：连接BC，过点B作AC的平行线，过点A作BC的平行线，两条直线交于点D，则四边形ACBD为平行四边形，所以就是小船在静水中的速度.在中，，，，，∴小船在静水中的速度的大小为10 km/h，方向与水流方向的夹角为，其中，.