数学必修 第二册6.2 平面向量的运算同步达标检测题

6.2.3向量的数乘运算 (精讲）

一、必备知识分层透析

知识点1：向量的数乘

（1）向量数乘的定义

一般地,我们规定实数与向量的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作.它的长度与方向规定如下：

①

②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，.

（2）向量数乘的几何意义

对于：①从代数角度看，是实数，是向量，它们的积仍然是向量．的条件是或．②从几何的角度看，对于长度来说，当时，意味着表示向量的有向线段在原方向或相反方向上伸长了倍；当时，意味着表示向量的有向线段在原方向或反方向上缩短了倍．

实数与向量可以求积，但不能进行加减运算，如，都无意义．

（3）向量数乘的运算律

实数与向量的积满足下面的运算律：设、是实数，、是向量，则：

①结合律：

②第一分配律：

③第二分配律：

知识点2：向量的线性运算

向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.向量线性运算的结果仍是向量.

对于任意向量,,以及任意实数,,,恒有.

知识点3：向量共线定理

（1）内容：向量与非零向量共线，则存在唯一一个实数，.

（2）向量共线定理的注意问题：

①定理的运用过程中要特别注意．

特别地，若，实数仍存在，但不唯一．

②定理的实质是向量相等，应从大小和方向两个方面理解，借助于实数沟通了两个向量与的关系．

③定理为解决三点共线和两直线平行问题提供了一种方法．要证三点共线或两直线平行，任取两点确定两个向量，看能否找到唯一的实数使向量相等即可．

二、重点题型分类研究

题型1: 几何图形中用已知向量表示未知向量

1．（2022·四川·宁南中学高一阶段练习（文））如图， 中，、、分别是、、上的中线， 它们交于点，则下列各等式中不正确的是（       ）

A． B．；

C． D．

2．（2020·新疆·克拉玛依市教育研究所三模（理））在△ABC中，点D满足，则（       ）

A． B． C． D．

3．（2022·四川绵阳·高三阶段练习（理））设，为所在平面内两点，，，则（       ）

A． B．

C． D．

4．（2022·全国·高一课时练习）设向量，，若与不共线，且点在线段上，，则（       ）

A． B． C． D．

题型2：向量共线的判定

1．（2022·全国·高三专题练习）已知向量，(为单位向量)，则向量与向量（    ）

A．不共线 B．方向相反

C．方向相同 D．

2．（2022·全国·高一课时练习）已知向量，.求证：与是共线向量．

题型3：利用向量共线证明线线平行

1．（2022·全国·高一课时练习）已知P为四边形ABCD所在平面内一点，且向量，，，满足等式．试根据题意作图，观察四边形ABCD的形状．你发现四边形ABCD有什么特殊的性质？并说明你的依据．

2．（2022·河北师大附中高一期中）如图，在平行四边形中，，是对角线上的两点，且，用向量方法证明：四边形是平行四边形．

3．（2020·全国·高一课时练习）如图，已知四边形ABCD的两条对角线相交于点M，.用平面向量证明四边形ABCD是平行四边形.

题型4：利用向量共线定理判断三点共线

1．（2022·全国·高一课时练习）已知△OBC中，点A是线段BC的中点，点D是线段OB的一个三等分点(靠近点B)，设=，=.

（1）用向量与表示向量;

（2）若，判断C，D，E是否共线，并说明理由.

2．（2022·全国·高一课时练习）如图，在中，，分别是，的中点，，，．

（1）用，表示，，，，；

（2）求证：，，三点共线．

3．（2022·全国·高一课时练习）如图，已知两边的中点分别为M，N，在延长线上取点P，使，在延长线上取点Q，使.求证：P，A，Q三点共线.

题型5：利用向量共线定理求参数

1．（2022·全国·高一课时练习）在中，点是上一点，且，是的中点，与的交点为，且，求的值．

2．（2022·全国·高一课时练习）设是不共线的两个非零向量．若与共线，求实数的值．

3．（2022·全国·高一课时练习）已知向量，，其中，不共线，向量，问是否存在这样的实数,，使向量与共线？

4．（2022·全国·高一课时练习）设两个非零向量不共线，已知＝2＋k，＝＋3，＝2－.

问：是否存在实数，使得，，三点共线，若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.