高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算习题

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6.2.4向量的数量积 (精练）A学业基础一、单选题1．（2022·全国·高一课时练习）向量与的夹角为，，，在上投影为（    ）A．2 B． C．1 D．【答案】D【详解】解：在上投影为.故选：D2．（2022·云南省文山壮族苗族自治州第一中学高一期末）在边长为的正六边形中，若，则（    ）A．1 B． C．2 D．【答案】C【详解】如图在正六边形中，连接对角线则正六边形是由6个全等的等边三角形构成.所以 所以，解得故选： C．3．（2022·云南师大附中高三阶段练习（理））在菱形中，， ，若为的中点，则（    ）A． B．C． D．【答案】A【详解】由题有，，，∴，故选A.4．（2022·全国·模拟预测（文））在等腰直角三角形中，角为直角，且，则（    ）A． B． C．-1 D．1【答案】C【详解】由题意，等腰直角中，角为直角，且，则.故选：C.5．（2022·吉林长春·高三阶段练习（理））已知向量，满足，且与夹角为，则（    ）A．  B． C． D．【答案】B【详解】因为向量，满足，且与夹角为，所以，故选：B.6．（2022·山东·高三阶段练习）已知非零向量满足，与夹角的余弦值为，若，则实数（　　）A． B． C． D．【答案】A【详解】由可设，则.因为，所以，又，所以.故选：A.7．（2022·北京·北师大二附中未来科技城学校高一期中）已知菱形 的边长为 ，，点 ， 分别在边 ， 上，，．若 ，则 的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【详解】如图，，，且， ， ，由题意可得，，，，，当且仅当时取等号， 的最小值为.故选：A8．（2022·浙江省桐庐中学高三开学考试）已知，，，若对任意实数，（）恒成立，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：，，，，对任意实数，，对任意的实数，，对任意的实数，恒成立，，解得或，因为，所以实数的范围为：．故选：．二、填空题9．（2022·浙江杭州·高三期中）已知为单位向量，且，设向量与向量的夹角为，则___________.【答案】【详解】由题可知，为单位向量，且，，故答案为：10．（2022·广东·广州市禺山高级中学高二阶段练习）不共线的三个平面向量，，两两所成的角相等，且，，则___________.【答案】2【详解】解：由题意三个平面向量，，两两所成的角相等，可得任意两向量的夹角是，又同，，，故答案为：2.11．（2022·福建师大附中高三阶段练习）已如，，，，则实数的值为_________．【答案】【详解】因为，所以，因为，所以，即，所以，所以，可得：，故答案为：.三、解答题12．（2022·山东兰山·高一期末）已知平面向量，满足，，.（1）求；（2）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【详解】（1）依题意，，得，，所以；（2）由向量与的夹角为锐角，可得，即有，解得，而当向量与同向时，可知，综上所述的取值范围为.13．（2022·河南许昌·高一期末（理））已知两个非零向量，，且，．（1）求，的夹角；（2）若，求（）的最小值．【答案】（1）；（2）.【详解】（1）由题意，，可得，又，则，即，∴，又，∴.（2），由（1）且，知：，，∴且，故当时，有.B应考能力14．（2022·浙江省诸暨市第二高级中学高一期中）已知中，，，，为所在平面内一点，且满足，则的值为（    ）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为，则，所以，，所以，，因此，.故选：C.15．（2022·云南·弥勒市一中高二阶段练习（理））如图，在平行四边形中，，，延长至点，且，则的值为（    ）A． B． C．1 D．【答案】C【详解】如图，在平行四边形中，，，，，所以，由图知：，，所以，故选：C．16．（2022·上海·华师大二附中高一阶段练习）（1）请你利用数量积的定义（非坐标运算公式）证明：；（2）已知向量与的夹角为，，，记，，若，求实数k的值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【详解】（1）设与的夹角为，若，则与共线且同向，所以与的夹角即为与的夹角，则与共线且同向，所以与的夹角即为与的夹角，左边，右边，所以左边＝右边，故，若，则与共线且反向，所以与的夹角即为与的夹角的补角，则与共线且反向，所以与的夹角即为与的夹角的补角，左边，右边，所以左边＝右边，故，若，则，，左边，右边，故，综上：.（2）因为，，且，所以，即，又因为向量与的夹角为，，，所以，，，所以，解得.17．（2022·浙江·高一期中）如图，在中，已知，且，，．（1）求；（2）设与交于点，求的余弦值大小．【答案】（1）16；（2）．【详解】解：（1）因为，所以所以因为，所以所以；（2）因为，所以，而，所以，所以．C新素养 新题型18．(多选)（2022·江苏·高三阶段练习）对平面向量，，有（       ）A．若和为单位向量，则B．若，则∥C．若，在上的投影向量为，则的值为2D．已知，为实数，若，则与共线【答案】BC【详解】向量既有大小又有方向，单位向量只是知道向量长度，不知道方向．∴与可能相等也可能不相等，A错．，，，或，所以，共线，B对．对于C，因为，在上的投影向量为，所以，所以，所以C正确，若，使得，则与可共线也可不共线，D错．故选：BC．19．(多选)（2022·广东广州·高一期末）已知O，N，P，I在所在的平面内，则下列说法正确的是（       ）A．若，则O是外心 B．若，则P是垂心C．若，则N是重心 D．若，则I是内心【答案】ABC【详解】根据外心的定义，易知A正确；对B，，同理可得：，所以P是垂心，故B正确；对C，记AB、BC、CA的中点为D、E、F，由题意，则，同理可得：，则N是重心，故C正确；对D，由题意，，则I是垂心，故D错误.故选：ABC.20．(多选)（2022·辽宁实验中学高三阶段练习）如图，在平面四边形中，，，，，若点为线段上的动点（包含端点），则的取值可能为（       ）A．4 B． C．3 D．【答案】BCD【解析】【详解】,因为，，，所以，连接，因为，所以≌，所以，所以，则，设，则，延长CB，DA交于点O，则，即，，，，，所以，因为，所以，对于A，，所以A错误，对于B，，所以B正确，对于C，，所以C正确，对于D，，所以D正确，故选：BCD