北师大版高中数学必修第一册第一章预备知识检测试题含答案

这是一份北师大版高中数学必修第一册第一章预备知识检测试题含答案，共14页。
第一章　检测试题(时间:120分钟　满分:150分)一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={x|<0},集合B={x|4<x<6},则A∩B=(　D　)(A)(3,6) (B)[3,6)(C)[4,5) (D)(4,5)解析:A={x|<0}=(3,5),又因为B=(4,6),所以A∩B=(4,5).故选D.2.设全集U=R,集合A={x|1<x<3},B={x|2x-3<0},则A∩(∁UB)=(　B　)(A)(1,)     (B)[,3)(C)(1,+∞)  (D)(-∞,)解析:因为全集U=R,集合B={x|2x-3<0}={x|x<},所以∁UB={x|x≥}.又因为A={x|1<x<3},所以A∩(∁UB)={x|≤x<3}.故选B.3.关于x的不等式x2-(a+1)x+a<0的解集中有且只有两个整数,则a的取值范围是(　C　)(A)(-2,-1]∪[3,4)   (B)[-2,-1]∪[3,4](C)[-2,-1)∪(3,4]   (D)(-2,-1)∪(3,4)解析:由题意得(x-1)(x-a)<0,a=1时,不等式无解,a<1时,不等式的解集为a<x<1,若不等式的解集中有且只有两个整数,则-2≤a<-1,a>1时,不等式的解集为1<x<a,若不等式的解集中有且只有两个整数,则3<a≤4.综上,a的取值范围是[-2,-1)∪(3,4].故选C.4.“a>b”是“a>|b|”的(　B　)(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件解析:当a=1,b=-3时,此时a>b,但是a>|b|不成立,所以不满足充分性;当a>|b|时,若b≥0,则a>|b|=b成立,若b<0,则a>|b|>b成立,所以满足必要性.综上,“a>b”是“a>|b|”的必要不充分条件.故选B.5.命题“∀x∈R,x2-x+1≥0”的否定是(　C　)(A)∀x∈R,x2-x+1<0(B)∀x∈R,x2-x+1≤0(C)∃x∈R,x2-x+1<0(D)∃x∈R,x2-x+1≤0解析:命题“∀x∈R,x2-x+1≥0”的否定是“∃x∈R,x2-x+1<0”.故选C.6.下列命题为真命题的是(　B　)(A)若a>b,则a2>b2(B)若ac2>bc2,则a>b(C)若a>b,则<(D)若a>b,c>d,则a-c>b-d解析:取a=1,b=-2,则a>b,但a2<b2,>,故A,C错.对于D,取a=1,b=-2,c=-2,d=-5,则a>b,c>d,但a-c=3=b-d,故D错误.B正确.故选B.7.若正数m,n满足2m+n=1,则+的最小值为(　B　)(A)1+ (B)+(C)2+ (D)解析:正数m,n满足2m+n=1,则+=(2m+n)(+)=++≥+2=+,当且仅当n=m=-1时取等号.所以+的最小值为+.故选B.8.某单位为节约成本,进行了技术更新,可以把细颗粒物进行处理.已知该单位每月的处理量最少为300吨,最多为600吨,月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y=x2-100x+80 000,则每吨细颗粒物的平均处理成本最低为(　C　)(A)100元     (B)200元(C)300元    (D)400元解析:由题意得每吨细颗粒物的平均处理成本为==x+-100,x∈[300,600],所以=x+-100≥2-100=300,当且仅当x=,即x=400时,等号成立.故选C.二、多项选择题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.9.命题“∀x∈[1,2],x2-a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是(　ACD　)(A)a>4   (B)a≤4(C)a≥5   (D)a≥6解析:由题∀x∈[1,2],a≥x2恒成立,得a≥4,由选项可知ACD符合题意.B选项中为既不充分也不必要条件.10.若不等式ax2-bx+c>0的解集是(-1,2),则下列选项正确的是(　ABD　)(A)b<0且c>0(B)a-b+c>0(C)a+b+c>0(D)不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|-2<x<1}解析:由题知a<0,-1,2是方程ax2-bx+c=0的两个根,所以-1+2=1=,-1×2=,所以b=a,c=-2a,所以b<0,c>0,所以A正确;ax2+bx+c>0,即ax2+ax-2a>0,x2+x-2<0,解得-2<x<1,D正确;当x=1时,不等式a-b+c>0成立,B正确;当x=-1时,a+b+c=0,C错误.故选ABD.11.若不等式x2-2x-3<0的解集为A,不等式x2+x-6<0的解集为B,不等式x2+x+a2-a<0的解集为C.已知p:“x∈A且x∈B”,q:“x∈C”,若q是p的充分不必要条件,则实数a的可能取值为(　ABCD　)(A)-1   (B)0 (C)2 (D)3解析:由已知A={x|x2-2x-3<0}={x|-1<x<3},B={x|x2+x-6<0}={x|-3<x<2},C={x|x2+x+a2-a<0},则p:“x∈A且x∈B”,即为p:x∈A∩B=(-1,2).若q是p的充分不必要条件,则C⫋(-1,2), 当a=-1时,C={x|x2+x+2<0}=,满足C⫋(-1,2);当a=0时,C={x|x2+x<0}={x|-1<x<0},满足C⫋(-1,2);当a=2时,C={x|x2+x+2<0}=,满足C⫋(-1,2);当a=3时,C={x|x2+x+6<0}=,满足C⫋(-1,2).故选ABCD.12.已知x,y是正数,且2x+y=1,下列叙述正确的是(　ABC　)(A)xy的最大值为(B)4x2+y2的最小值为(C)+的最小值为4(D)+的最小值为4解析:xy=·2xy≤·=,当且仅当2x=y,即x=,y=时等号成立,故A正确;4x2+y2=(2x+y)2-4xy=1-4xy,由选项A得xy≤,则4x2+y2=1-4xy≥1-4×=,当且仅当2x=y,即x=,y=时等号成立,故B正确;+=(+)(2x+y)=2++≥2+2=4,当且仅当=,即x=,y=时等号成立,故C正确;+=(+)(2x+y)=++≥+2=,当且仅当=,即x=y=时等号成立,故D错误.故选ABC.三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把正确答案填在题中横线上.13.已知不等式x2-x-a2+a+1≥0对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围为　　　      　. 解析:由题意知,Δ=1+4(a2-a-1)≤0,解得-≤a≤.答案:[-,]14.若存在实数x∈[2,5],使不等式x2-2x+5-m<0成立,则m的取值范围是　　　   　. 解析:由题意存在x∈[2,5],使得不等式m>x2-2x+5成立.当x∈[2,5]时,x2-2x+5=(x-1)2+4,其最小值为(2-1)2+4=5,所以m>5.答案:(5,+∞)15.若不等式>1的解集为(1,2),则实数a的值是　　  　　. 解析:>1等价于-1>0,等价于>0,等价于(x-1)[(a-1)x+1]>0.因为不等式>1的解集为(1,2),所以原不等式为(x-1)(x-)<0,所以=2,解得a=.答案:16.如图,将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN,要求点B在AM上,点D在AN上,且对角线MN过点C,AD=3,已知AB=4,那么当BM=　　　时,矩形花坛AMPN的面积最小,最小值为　　　.解析:令BM=x,由题意可知△CDN∽△MBC,则=,即=,所以DN=,则矩形花坛AMPN的面积S=AM·AN=(4+x)(3+)=24+3x+≥24+2=48,当且仅当3x=,即x=4时等号成立,故当BM=4时,矩形花坛AMPN的面积最小,最小值为48.答案:4　48四、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)已知集合A={x|>0},集合B={x|a-2≤x≤2a+1}.(1)当a=3时,求A和(∁RA)∪B;(2)若x∈A是x∈B的必要不充分条件,求实数a的取值范围.解:(1)由题可知,当a=3时,B={x|1≤x≤7},A={x|>0}={x|x<-3或x>4},则∁RA={x|-3≤x≤4},所以(∁RA)∪B={x|-3≤x≤4}∪{x|1≤x≤7}={x|-3≤x≤7}.(2)由题可知,x∈A是x∈B的必要不充分条件,则B⫋A,当B=时,a-2>2a+1,解得a<-3;当B≠时,或解得-3≤a<-2或a>6.综上可得a<-2或a>6.即实数a的取值范围为(-∞,-2)∪(6,+∞).18.(12分)解关于x的不等式ax2-(a+1)x+1>0(a∈R).解:不等式ax2-(a+1)x+1>0等价于(ax-1)(x-1)>0.当a<0时,不等式化为(x-)(x-1)<0,其解集为(,1).当a=0时,不等式化为x-1<0,其解集为(-∞,1).当a>0时,不等式化为(x-)(x-1)>0.当<1,即a>1时,其解集为(-∞,)∪(1,+∞);当=1,即a=1时,其解集为(-∞,1)∪(1,+∞);当>1,即0<a<1时,其解集为(-∞,1)∪(,+∞).19.(12分)已知正实数x,y满足2x+5y=20.(1)求xy的最大值;(2)若不等式+≥m2+4m恒成立,求实数m的取值范围.解:(1)20=2x+5y≥2,解得xy≤10,当且仅当x=5,y=2时取等号,所以xy的最大值为10.(2)+=(+)(+)=++≥+2=,当且仅当x=,y=时取等号,所以m2+4m≤,解得-≤m≤.故实数m的取值范围为[-,].20.(12分)某工厂计划在厂区附近建一职工宿舍,由于该厂对产品的灭菌消毒方式为辐射消毒,故要对宿舍进行防辐射处理,防辐射材料的选用与宿舍到工厂的距离有关.若建造宿舍的所有费用p(万元)和宿舍与工厂的距离x(km)的关系式为p=(0≤x≤15),若距离为10 km时,测算宿舍建造费用为20万元.为了交通方便,工厂与宿舍之间还要修一条道路,已知购置修路设备需10万元,铺设路面每千米成本为4万元.设f(x)为建造宿舍与修路费用之和.(1)求f(x)的解析式;(2)宿舍应建在离工厂多远处,可使总费用最小,并求f(x)的最小值.解:(1)由题意可知,距离为10 km时,测算宿舍建造费用为20万元,则20=,解得k=900,所以p=,则f(x)=+10+4x,0≤x≤15.(2)因为f(x)=+10+4x=+(4x+5)+5≥2+5=65,当且仅当4x+5=,即x=时取等号,此时总费用最小.所以宿舍应建在离工厂 km处,可使总费用最小,f(x)的最小值为65万元.21.(12分)已知a>0,b>0,a+b=1,求证:(1)++≥8;(2)(1+)(1+)≥9.证明:(1)因为a+b=1,a>0,b>0,所以++=++=2(+)=2(+)=2(+)+4≥4+4=8(当且仅当a=b=时,等号成立),所以++≥8.(2)因为(1+)(1+)=+++1,由(1)知++≥8.所以(1+)(1+)≥9.22.(12分)如图所示,设矩形ABCD(AB>AD)的周长为20 cm,把△ABC沿AC向△ADC折叠,AB折过去后交DC于点P,设AB=x cm,AP=y cm.(1)建立变量y与x之间的函数关系式y=f(x),并求出x的取值范围;(2)求△ADP的最大面积以及此时x的值.解:(1)依题意有AD=10-x,折叠之后, ∠APD=∠CPB′,∠D=∠B′,AD=B′C,所以△ADP≌△CB′P,则DP=B′P,AP=CP=y.又AB=DC=x,所以DP=B′P=x-y,在Rt△ADP中,有(10-x)2+(x-y)2=y2,化简得y=x+-10,即f(x)=x+-10.因为AB>AD,即x>10-x>0,解得5<x<10,所以x的取值范围为(5,10).(2)依题意△ADP的面积S=×DP×AD=×(x-y)×(10-x)=×(10-x)×(10-)=×[150-(+10x)],由基本不等式可得+10x≥2=100,当且仅当=10x,即x=5时取等号,于是S≤×(150-100)=75-50.所以△ADP的最大面积为(75-50)cm2,此时x=5.