北师大版高中数学必修第一册第三章指数运算与指数函数检测试题含答案

第三章　检测试题

(时间:120分钟　满分:150分)

一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.若a<,则化简的结果是(　C　)

(A)      (B)-

(C)      (D)-

解析:因为a<,所以2a-1<0,所以原式==.故选C.

2.函数y=ax+1+1(a>0,且a≠1)的图象一定经过点(　C　)

(A)(-1,1) (B)(1,0)

(C)(-1,2) (D)(1,1)

解析:令x+1=0,得x=-1,y=2.故选C.

3.下列不等关系中,正确的是(　D　)

(A)()<1<()     (B)()<()<1

(C)1<()<()     (D)()<()<1

解析:()<()<()0,

即()<()<1.故选D.

4.函数y=(a2-3a-3)ax是指数函数,则有(　B　)

(A)a=-1或a=4 (B)a=4

(C)a=-1       (D)a>0或a≠1

解析:由题意得解得a=4.故选B.

5.关于函数f(x)=2x-2-x,下列判断正确的是(　D　)

(A)图象关于y轴对称,且在(-∞,+∞)上是减函数

(B)图象关于y轴对称,且在(-∞,+∞)上是增函数

(C)图象关于原点对称,且在(-∞,+∞)上是减函数

(D)图象关于原点对称,且在(-∞,+∞)上是增函数

解析:函数f(x)是奇函数,图象关于原点对称,

f(x)=2x-2-x=2x-,在(-∞,+∞)上是增函数.故选D.

6.函数y=()的单调递增区间是(　B　)

(A)(-∞,-1) (B)(-∞,1)

(C)(1,+∞) (D)(3,+∞)

解析:由函数u(x)=x2-2x-3在(-∞,1)上单调递减,y=为减函数,所以函数y=()的单调递增区间是(-∞,1).故选B.

7.函数f(x)=()的值域为(　C　)

(A)(-∞,] (B)(0,]

(C)[,+∞) (D)[2,+∞)

解析:令t=-x2+2x,

则t=-(x-1)2+1∈(-∞,1].

所以y=∈[,+∞).故选C.

8.当x∈(-∞,1]时,不等式1+2x+(a-a2)·4x>0恒成立,则实数a的取值范围是(　B　)

(A)(-2,)     (B)(-,)

(C)(-∞,)  (D)(-∞,6)

解析:因为x∈(-∞,1]时,不等式1+2x+(a-a2)·4x>0恒成立,所以a2-a<()x+对一切x∈(-∞,1]恒成立.

令t=()x+=[+]2-≥,

所以a2-a<,

解得-<a<.故选B.

二、多项选择题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.

9.下列函数不是指数函数的是(　ABD　)

(A)y=5x+1 (B)y=x4

(C)y=3-x (D)y=2·3x

解析:y=5x+1=5·5x与y=2·3x都不符合指数函数的定义,y=x4是幂函数.故选ABD.

10.下列关于函数f(x)=的结论正确的是(　AB　)

(A)值域是(0,81]

(B)单调递增区间是(-∞,1]

(C)值域是[81,+∞)

(D)单调递减区间是(-∞,1]

解析:令μ(x)=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,

则μ(x)≤4.

又f(x)=3μ为增函数,所以0<3μ≤81,所以函数f(x)的值域为(0,81],故A正确,C错误.

因为μ(x)=-(x-1)2+4在(-∞,1]上单调递增,f(x)=3μ为增函数,

所以函数f(x)的单调递增区间是(-∞,1],故B正确,D错误.故选AB.

11.定义域和值域均为[-a,a](常数a>0)的函数y=f(x)和y=g(x)的图象如图所示,下列四个命题中正确的是(　AD　)

(A)方程f(g(x))=0有且仅有三个解

(B)方程g(f(x))=0有且仅有三个解

(C)方程f(f(x))=0有且仅有九个解

(D)方程g(g(x))=0有且仅有一个解

解析:函数f(x)的图象与x轴有3个交点,

所以方程f(g(x))=0有且仅有三个解;

函数g(x)在区间[-a,a]上单调递减,

所以方程g(g(x))=0有且仅有一个解.故选AD.

12.已知函数f(x)=,下列说法正确的有(　AC　)

(A)f(x)的图象关于原点对称

(B)f(x)的图象关于y轴对称

(C)f(x)的值域为(-1,1)

(D)∀x1,x2∈R,且x1≠x2,<0

解析:f(x)是奇函数,图象关于原点对称,故A正确;

对于选项B,计算f(1)==,

f(-1)==-≠f(1),

故f(x)的图象不关于y轴对称,故B错误;

对于选项C,f(x)==1-,令1+2x=t,t∈(1,+∞),y=f(x)=1-,

易知1-∈(-1,1),故f(x)的值域为(-1,1),故C正确;

对于选项D,f(x)==1-,令1+2x=t,t∈(1,+∞),y=f(x)=1-,

函数t=1+2x在R上单调递增,且y=1-在t∈(1,+∞)上单调递增,

根据复合函数的单调性,可知f(x)=1-在R上单调递增,

故∀x1,x2∈R,且x1≠x2,<0不成立,故D错误.故选AC.

三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把正确答案填在题中横线上.

13.方程3x-1=的解为　　    　　. 

解析:因为3x-1==3-2,所以x-1=-2,

所以x=-1.

答案:-1

14.已知函数f(x)=e|x-a|(a为常数),若f(x)在区间(-∞,1]上是减函数,则a的取值范围是　　　　. 

解析:因为函数f(x)=e|x-a|(a为常数),若f(x)在区间(-∞,1]上是减函数,由复合函数的单调性知,必有函数t=|x-a|在区间(-∞,1]上是减函数.又函数t=|x-a|在区间(-∞,a]上是减函数,

所以(-∞,1]⊆(-∞,a],故有a≥1.

答案:[1,+∞)

15.若函数f(x)=4x-2x+1在[-2,2]上的最小值为m,则m=　　　　;函数y=x+的值域为　　　　. 

解析:设2x=t,由x∈[-2,2]得t∈[,4],

f(x)=g(t)=t2-t+1=(t-)2+,

所以m=g(t)min=(t=时取得).

y=x+=x+,此函数是奇函数,由对勾函数的单调性知此函数在(0,]上单调递减,在[,+∞]上单调递增.x>0,x=时,ymin=,无最大值,由奇函数性质知x<0时,ymax=-,无最小值,

所以所求值域为(-∞,-]∪[,+∞).

答案:　(-∞,-]∪[,+∞)

16.已知-2≤x≤1,若4x-3×2x-1+a≤0恒成立,则实数a的取值范围是　　　　. 

解析:当-2≤x≤1时,4x-3×2x≤1-a恒成立,

又当-2≤x≤1时,2x∈[,2],4x-3×2x=-3×2x=(2x-)2-,

所以当2x=,即x=-2时,4x-3×2x取得最大值-,

所以1-a≥-,即a≤.

答案:(-∞,]

四、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)已知指数函数f(x)=(a2-8)ax的图象过点(-1,).

(1)求函数f(x)的解析式;

(2)求f(-)的值.

解:(1)因为f(x)=(a2-8)ax为指数函数,

所以a2-8=1.①

又因为图象过点(-1,),所以f(-1)=.②

联立①②得a=3,所以f(x)=3x.

(2)f(-)===.

18.(12分)已知对任意x∈R,不等式()>()恒成立,求实数m的取值范围.

解:由题意得-x2-x<2x2-mx+m+4在R上恒成立,

所以3x2-(m-1)x+m+4>0在R上恒成立,

所以Δ=[-(m-1)]2-12(m+4)<0,

所以m2-14m-47<0,

解得7-4<m<7+4,

所以实数m的取值范围是(7-4,7+4).

19.(12分)设函数y=2|x+1|-|x-1|.

(1)讨论y=f(x)的单调性,作出其图象.

(2)求f(x)≥2的解集.

解:(1)y=

当x≥1或x≤-1时,y=f(x)是常数函数,不具有单调性;

当-1<x<1时,y=4x单调递增,

故y=f(x)在区间(-1,1)上单调递增,其图象如图.

(2)当x≥1时,y=4≥2成立;

当-1<x<1时,由y=22x≥2=2×=,得2x≥,x≥,所以≤x<1;

当x≤-1时,y=<2,不成立.

综上,f(x)≥2的解集为[,+∞).

20.(12分)已知方程9x-2·3x+(3k-1)=0有两个实根,求实数k的取值范围.

解:令3x=t(t>0),则方程化为t2-2t+(3k-1)=0.①

要使原方程有两个实根,方程①必须有两个正根,设两个根为t1,t2,

则解得<k≤.

故实数k的取值范围是(,].

21.(12分)已知函数f(x)=.

(1)证明:函数f(x)是R上的增函数.

(2)令g(x)=,判定函数g(x)的奇偶性,并证明.

(1)证明:设x1,x2是R内任意两个值,且x1<x2,则x2-x1>0,f(x2)-f(x1)=-==,

当x1<x2时,<,

所以->0.又+1>0,+1>0,

所以f(x2)>f(x1),

所以f(x)是R上的增函数.

(2)解:g(x)为偶函数,证明如下:

由题意知g(x)==·x,

易知函数g(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,

又g(-x)=(-x)·=(-x)·=x·=g(x),

所以函数g(x)为偶函数.

22.(12分)定义在R上的奇函数f(x)有最小正周期4,且x∈(0,2)时,f(x)=.

(1)求f(x)在[-2,2]上的解析式.

(2)判断f(x)在(0,2)上的单调性,并给予证明.

(3)当λ为何值时,关于方程f(x)=λ在[-2,2]上有实数解?

解:(1)当-2<x<0时,0<-x<2,

f(-x)==.

又f(x)为奇函数,

所以f(x)=-f(-x)=-,

当x=0时,由f(-0)=-f(0)⇒f(0)=0,

因为f(x)有最小正周期4,

所以f(-2)=f(-2+4)=f(2)⇒

f(-2)=f(2)=0,

所以f(x)=

(2)f(x)在(0,2)上单调递增,证明如下:

设0<x1<x2<2,则-<0,(+1)(+1)>0,f(x1)-f(x2)=1--

1+=<0,

所以f(x1)<f(x2),所以f(x)在(0,2)上单调递增.

(3)若方程f(x)=λ在[-2,2]上有实数解,

则λ的取值范围即为函数f(x)在[-2,2]上的值域.

当x∈(0,2)时,由(2)知,f(x)在(0,2)上为增函数,

所以=f(0)<f(x)<f(2)=.

当x∈(-2,0)时,0<-x<2,

所以f(x)=-f(-x)∈(-,-).

当x∈{-2,0,2}时,f(x)=0,

所以f(x)的值域为(-,-)∪{0}∪(,).

所以当λ∈(-,-)∪{0}∪(,)时,方程f(x)=λ在[-2,2]上有实数解.