北师大版高中数学必修第一册第五章函数应用检测试题含答案

这是一份北师大版高中数学必修第一册第五章函数应用检测试题含答案，共18页。
第五章　检测试题(时间:120分钟　满分:150分)一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.函数y=x2-5x+6的零点为(　C　)(A)(2,3)   (B)(3,2)(C)2,3    (D)(2,0),(3,0)解析:函数y=x2-5x+6,令y=0,即x2-5x+6=0,解得x=2或x=3故零点为2,3.故选C.2.函数f(x)=log2x+x+2的零点所在的一个区间是(　B　)(A)(0,) (B)(,)(C)(,) (D)(,)解析:由f()=log2++2=-<0,f()=log2++2=>0,所以f()·f()<0.故选B.3.若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算,其参考数据如下:f(1)=-2f(1.5)=0.625f(1.25)=-0.984f(1.375)=-0.260f(1.437 5)=0.162f(1.406 25)=-0.054那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似根(精确度为0.05)可以是(　C　)(A)1.25 (B)1.39 (C)1.41 (D)1.5解析:因为f(1)<0,f(1.5)>0,所以f(1)·f(1.5)<0,所以函数在(1,1.5)内有零点,因为1.5-1=0.5>0.05,所以不满足精确度0.05;因为f(1.25)<0,所以f(1.25)f(1.5)<0,所以函数在(1.25,1.5)内有零点,因为1.5-1.25=0.25>0.05,所以不满足精确度0.05;因为f(1.375)<0,所以f(1.375)f(1.5)<0,所以函数在(1.375,1.5)内有零点,因为1.5-1.375=0.125>0.05,所以不满足精确度0.05;因为f(1.437 5)>0,所以f(1.437 5)f(1.375)<0,所以函数在(1.375,1.437 5)内有零点,因为1.437 5-1.375=0.062 5>0.05,所以不满足精确度0.05;因为f(1.406 25)<0,所以f(1.406 25)f(1.437 5)<0,所以函数在(1.406 25,1.437 5)内有零点,因为1.437 5-1.406 25=0.031 25<0.05,所以满足精确度0.05.所以方程x3+x2-2x-2=0的一个近似根(精确度为0.05)是区间(1.406 25,1.437 5)内的任意一个值(包括端点值),根据四个选项可知选C.4.函数f(x)=-()x的零点个数为(　B　)(A)0 (B)1 (C)2 (D)3解析:作出幂函数y=和指数函数y=()x的图象,如图所示,可得交点只有一个,所以函数f(x)的零点只有一个.故选B.5.用二分法求方程x2=2的正实根的近似解(精确度为0.001)时,如果我们选取初始区间是[1.4,1.5],则要达到精确度至少需要计算的次数是(　C　)(A)5 (B)6 (C)7 (D)8解析:设至少需要计算n次,则<0.001,所以2n>100.因为26=64,27=128,所以要达到精确度至少要计算n=7次.故选C.6.物价上涨是当前的主要话题,特别是菜价,我国某部门为尽快实现稳定菜价,提出四种绿色运输方案.据预测,这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q0,各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示,在这四种方案中,运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是(　B　)解析:由题意可知,函数图象增加越来越快,选项B符合.故选B.7.已知函数f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx,若方程f(x)=g(x)有两个不相等的实根,则实数k的取值范围是(　B　)(A)(0,)     (B)(,1)(C)(1,2)     (D)(2,+∞)解析:在同一坐标系中分别画出函数f(x),g(x)的图象如图所示,方程f(x)=g(x)有两个不相等的实根等价于两个函数的图象有两个不同的交点,结合图象可知,当直线y=kx的斜率大于坐标原点与点(2,1)连线的斜率且小于直线y=x-1的斜率时符合题意,故<k<1.故选B.8.已知f(x)=若方程f(x)-k=0至少有两个不相等的实根,则k的取值范围是(　D　)(A)(0,1)       (B)(0,1](C)[0,1)     (D)[0,1]解析:由题意知函数y=f(x)的图象与直线y=k至少有两个交点,由图象可得0≤k≤1.故选D.二、多项选择题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.9.设f(x)=2x+3x-7,某学生用二分法求方程f(x)=0的近似解(精确度为0.1),列出了它的对应值表如下:x011.251.3751.437 51.52f(x)-6-2-0.87-0.280.020.333若依据此表格中的数据,则得到符合要求的方程的近似解可以为(　BC　)(A)1.25   (B)1.376   (C)1.409 2   (D)1.5解析:f(1.375)<0,f(1.437 5)>0,故方程的近似解在(1.375,1.437 5)内.因为1.437 5-1.375=0.062 5<0.1,故(1.375,1.437 5)中的任意数都可作为近似解.故选BC.10.若函数f(x)=alog2x+a·4x+3在区间(,1)上有零点,则实数a的取值范围不可能是(　ABD　)(A)(-∞,-3) (B)(-,0)(C)(-3,-) (D)(-,+∞)解析:函数y=log2x,y=4x在其定义域上是连续的且都是增函数,由零点存在定理可得f()·f(1)<0,即(-a+2a+3)(4a+3)<0,解得-3<a<-.故选ABD.11.已知函数f(x)=g(x)=f(x)+x-a,若g(x)存在两个零点,则a的取值可能是(　ACD　)(A)-10 (B)-9(C)-3    (D)0解析:令g(x)=f(x)+x-a=0,得a=令y=a,则y=在同一坐标系中,作出两个函数的图象,如图所示.因为g(x)存在两个零点,由图象可得a<-9或-4<a≤0.故选ACD.12.某食品的保鲜时间t(单位:h)与储藏温度 x(单位:℃)满足函数关系t=且该食品在4 ℃ 时的保鲜时间是16 h.已知甲在某日上午11时购买了该食品,并将其放在室外,且此日的室外温度随时间变化如图所示,以下结论正确的是(　AD　)(A)该食品在6 ℃时的保鲜时间是8 h(B)当x∈[-6,6]时,该食品的保鲜时间t随着x增大而逐渐减少(C)到了此日13时,甲所购买的食品还在保鲜时间内(D)到了此日14时,甲所购买的食品已然过了保鲜时间解析:因为食品的保鲜时间t(单位:h)与储藏温度 x(单位:℃)满足函数关系t=且该食品在 4 ℃时 的保鲜时间是16 h,所以24k+6=16,即4k+6=4,解得k=-,所以t=当x=6时,t=8,该食品在6 ℃时的保鲜时间是8 h,故A正确;当x∈[-6,0]时,保鲜时间恒为64 h,当x∈(0,6]时,该食品的保鲜时间t随着x增大而逐渐减少,故B错误;到了此日11时,温度为11 ℃,此时保鲜时间为 h,故到13时,甲所购买的食品不在保鲜时间内,故C错误;由C可知到了此日14时,甲所购买的食品已然过了保鲜时间,故D正确,故选AD.三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把正确答案填在题中横线上.13.函数f(x)=(lg x)2-lg x的零点为　　　　. 解析:由题知(lg x)2-lg x=0,得lg x(lg x-1)=0,所以lg x=0或lg x=1,所以x=1或x=10.答案:1或1014.某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y=0.1x2-11x+3 000,若每台产品的售价为25万元,则生产者的利润取最大值时,产量x等于　　　　台. 解析:设产量为x台,利润为S万元,则S=25x-y=25x-(0.1x2-11x+3 000)=-0.1x2+36x-3 000=-0.1(x-180)2+240,则当x=180时,生产者的利润取得最大值.答案:18015.已知函数f(x)=若y=f(x)-kx有三个不同的零点,则实数k的取值范围是　　　　. 解析:因为y=f(x)-kx有三个不同的零点,所以f(x)-kx=0有三个不同的根,即y=f(x)与y=kx的图象有三个不同的交点,画出图象,如图所示.当y=kx过点(2,1)时,解得k=,所以当k∈(0,)时,y=f(x)与y=kx的图象有三个不同的交点,即y=f(x)-kx有三个不同的零点.答案:(0,)16.已知函数f(x)=若方程f(x)=a(a∈R)有两个不同的实根x1,x2,且满足x1x2<4,则实数a的取值范围为　　　　. 解析:由f(x)=a有2个不同根即y=f(x)与y=a的图象有2个不同交点.分别作出y=f(x),y=a的图象,如图所示,所以a>4;方程f(x)=a(a∈R)有两个不同的实根x1,x2,如图所示,则有x1≤2,且x1+=a,+3=a,所以x1+=+3,所以x2=2x1+-6,所以x1x2<4可化为2-6x1+8<4,解得1<x1<2,所以a=x1+∈(4,5),即实数a的取值范围为(4,5).答案:(4,5)四、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)已知函数f(x)= 若函数y=f(f(x))-k有3个不同的零点,求实数k的取值范围.解:当x<0时,f(x)≥0,则f(f(x))=f(-x+1)=(-x+1)2-3=x2-2x-2.当0≤x<时,f(x)<0,则f(f(x))=f(x2-3)=-(x2-3)+1=-x2+4.当x≥时,f(x)>0,f(f(x))=f(x2-3)=-3=x4-6x2+6.所以f(f(x))=当x≥时,y=x4-6x2+6=-3.因为t=x2-3单调递增,且t≥0,此时y=t2-3单调递增,所以y=-3在[,+∞)上单调递增,ymin=-3,画出函数图象,如图.函数y=f(f(x))-k有3个不同的零点,等价于y=f(f(x))和y=k的图象有3个不同的交点,则观察图象可得,1<k≤4.即k的取值范围为(1,4].18.(12分)一片森林原来面积为a,计划每年砍伐一些树,且使森林面积每年比上一年减少p%,10年后森林面积变为.为保护生态环境,所剩森林面积至少要为原面积的.已知到今年为止,森林面积为a.(1)求p%的值.(2)到今年为止,该森林已砍伐了多少年?(3)该森林今后最多还能砍伐多少年?解:(1)由题意得a(1-p%)10=,即(1-p%)10=,解得p%=1-().(2)设经过m年森林面积为a,则a(1-p%)m=a,即()=(),=,解得m=5.故到今年为止,已砍伐了5年.(3)设从今年开始,n年后森林面积为a(1-p%)n.令a(1-p%)n≥a,即(1-p%)n≥,()≥(),得≤,解得n≤15,故今后最多还能砍伐15年.19.(12分)已知函数f(x)=ax+(a>1).(1)求证:f(x)在(-1,+∞)上是增函数;(2)若a=3,求方程f(x)=0的正根(精确度为0.1).(1)证明:设-1<x1<x2,所以f(x1)-f(x2)=-+-=-+.因为-1<x1<x2,所以x1+1>0,x2+1>0,x1-x2<0,所以<0.因为-1<x1<x2,且a>1,所以<,所以-<0,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),所以函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数.(2)解:由(1)知,当a=3时,f(x)=3x+在(-1,+∞)上为增函数,故在(0,+∞)上也单调递增,由于f(0)=-1<0,f(1)=>0,因此f(x)=0的正根仅有一个,以下用二分法求这一正根,由于f(0)=-1<0,f(1)=>0,所以取(0,1)为初始区间,用二分法逐次计算,列出下表:区间中点的值中点函数值(0,1)0.50.732(0,0.5)0.25-0.084(0.25,0.5)0.3750.328(0.25,0.375)0.312 50.124由于|0.312 5-0.25|=0.062 5<0.1,所以原方程的近似解可取为0.312 5.20.(12分)某赏花园区投资了30万元种植鲜花供市民游赏,据调查,花期为30天,园区从某月1日至30日开放,每天的旅游人数f(x)与第x天近似地满足f(x)=8+(千人),且游客人均消费g(x)近似地满足g(x)=143-|x-22|(元),1≤x≤30,x∈N.(1)求该园区第x天的旅游收入p(x)(单位:千元)的函数关系式;(2)记(1)中p(x)的最小值为m,若以0.3m(千元)作为资金全部用于回收投资成本,试问该园区能否收回投资成本?解:(1)p(x)=f(x)·g(x)=(8+)(143-|x-22|)=(2)当1≤x≤22时,p(x)=8x++976≥2+976=1 152,当且仅当8x=,即x=11时取等号,此时p(x)的最小值为1 152,当22<x≤30时,p(x)=-8x++1 312是减函数,当x=30时,p(x)min=-8×30++1 312=1 116.因为1 116<1 152,所以m=1 116,所以m=p(30)=1 116(千元),所以0.3m=33.48万元>30万元,能收回投资成本.21.(12分)尽管目前人类还无法准确预报地震,但科学家通过研究,已经对地震有所了解,例如,地震释放出的能量E(单位:J)与地震里氏震级M之间的关系为lg E=4.8+1.5M.(1)已知地震等级划分为里氏12级,根据等级范围又分为三种类型,其中小于2.5级的为“小地震”,介于2.5级到4.7级之间的为“有感地震”,大于4.7级的为“破坏性地震”,若某次地震释放能量约1012 J,试确定该次地震的类型;(2)2008年汶川地震为里氏8级,2011年日本地震为里氏9级,问:2011年日本地震所释放的能量是2008年汶川地震所释放的能量的多少倍?(≈3.2)解:(1)当某次地震释放能量约1012 J时,E=1012,代入lg E=4.8+1.5M,得M===4.8.因为4.8>4.7,所以该次地震为“破坏性地震”.(2)设汶川地震、日本地震所释放的能量分别为E1,E2,由题意知,lg E1=16.8,lg E2=18.3,即E1=1016.8,E2=1018.3,所以=101.5=10.≈3.2,得≈32.故2011年日本地震所释放的能量是2008年汶川地震所释放能量的32倍.22.(12分)已知函数f(x)=log9(9x+1)+kx是偶函数.(1)求k的值;(2)设h(x)=log9(a·3x-a),若函数f(x)与h(x)的图象有且只有一个公共点,求实数a的取值范围.解:(1)由函数f(x)是偶函数可知f(x)=f(-x),所以log9(9x+1)+kx=log9(9-x+1)-kx,log9=x=-2kx,即x=-2kx对一切x∈R恒成立,所以k=-.(2)函数f(x)与h(x)的图象有且只有一个公共点,即方程log9(9x+1)-x=log9(a·3x-a)有且只有一个实根.化简得,方程3x+=a·3x-a有且只有一个实根.令t=3x>0,则方程(a-1)t2-at-1=0有且只有一个正根.当a=1时,t=-,不符合题意;当a≠1且Δ=+4(a-1)=0时,解得a=或a=-3.当a=时,t=-2,不符合题意;当a=-3时,t=,符合题意;当a≠1,则Δ>0,则t1t2<0,即解得a>1.综上,实数a的取值范围是{-3}∪(1,+∞).