人教A版高中数学必修第一册第二章一元二次函数、方程和不等式检测试题含答案

这是一份人教A版高中数学必修第一册第二章一元二次函数、方程和不等式检测试题含答案，共15页。
第二章　检测试题 一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合A={x|≤0},B={1,2,3,4,5},则A∩B等于(　D　)(A){2,3,4,5} (B){3,4}(C){3,4,5}    (D){2,3,4}解析:因为集合A={x|≤0}={x|2≤x<5},B={1,2,3,4,5},所以A∩B={2,3,4}.故选D.2.已知a,b∈R,条件甲:a>b>0,条件乙:<,则甲是乙的(　A　)(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件解析:条件乙:<,即为-<0⇔<0,若条件甲:a>b>0成立,则条件乙一定成立,反之,当条件乙成立,则0>a>b也可以,但是此时不满足条件甲:a>b>0,所以甲是乙成立的充分不必要条件,故选A.3.不等式ax2+5x+c>0的解集为{x|<x<},则a-c的值为(　D　)(A)6 (B)-6(C)5 (D)-5解析:由已知得a<0且,为方程ax2+5x+c=0的两根,故+=-,×=,解得a=-6,c=-1,所以a-c=-5.故选D.4.“∀x<0,x2+ax+2≥0”为真命题,则实数a的取值范围为(　A　)(A){a|a≤2} (B){a|a≤-2}(C){a|a≥2} (D){a|a≥-2}解析:“∀x<0,x2+ax+2≥0”为真命题,即对∀x<0,a≤=(-x)+(-),因此当∀x<0时,a≤(-x)+(-)的最小值.由基本不等式可得(-x)+(-)≥2=2,当且仅当-x=-,x=-时取等号,所以实数a的取值范围为{a|a≤2}.故选A.5.设实数1<a<2,关于x的一元二次不等式x2-(a2+3a+2)x+3a(a2+2)<0的解集为(　B　)(A){x|3a<x<a2+2}(B){x|a2+2<x<3a}(C){x|3<x<4}(D){x|3<x<6}解析:由x2-(a2+3a+2)x+3a(a2+2)<0,得(x-3a)·(x-a2-2)<0,因为1<a<2,所以3a>a2+2,所以关于x的一元二次不等式x2-(a2+3a+2)x+3a(a2+2)<0的解集为{x|a2+2<x<3a}.故选B.6.要制作一个容积为4 m3 ,高为1 m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是(　C　)(A)80元 (B)120元(C)160元 (D)240元解析:由题意知,体积V=4 m3,高h=1 m,所以底面积S=4 m2,设底面矩形的一条边长是x m,则另一条边长是 m.又设总造价是y元,则y=20×4+10×(2x+)≥80+20=160.当且仅当2x=,即x=2时,等号成立.故选C.7.中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”,即假设在平面内有一个三角形,边长分别为a,b,c,三角形的面积S可由公式S=求得,其中p为三角形周长的一半,这个公式也被称为海伦-秦九韶公式.现有一个三角形的边长满足a+b=6,c=4,则此三角形面积的最大值为(　B　)(A)    (B)2(C)3 (D)4解析:p=(a+b+c)=5,所以S===≤·=2,当且仅当a=b=3时等号成立.故选B.8.设a>0,b>0,且不等式++≥0恒成立,则实数k的最小值等于(　C　)(A)0 (B)4(C)-4 (D)-2解析:由++≥0得k≥-,而=++2≥4(a=b时取等号),所以-≤-4,因此要使k≥-恒成立,应有k≥-4,即实数k的最小值等于-4.故选C.二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求,全部选对得5分,有选错的得0分,选对但不全的得2分)9.下列结论正确的是(　CD　)(A)若a>b,则ac2>bc2(B)若a>b,则a2>ab(C)若a>b>0,则ab>b2(D)若|a|>|b|,则a2>b2解析:c=0时选项A中的结论不成立;a≤0时选项B中的结论不成立;因为b>0,a>b,所以ab>bb=b2,选项C中的结论正确;因为|a|>|b|≥0,所以|a|2>|b|2,即a2>b2,选项D中的结论正确.故选CD.10.若a>0,b>0,与不等式-b<<a不等价的是(　ABC　)(A)-<x<0或0<x<(B)-<x<(C)x<-或x>(D)x<-或x>解析:若x>0,则不等式-b<<a等价为<a,即x>,若x<0,则不等式-b<<a等价为-b<,即x<-.故选ABC.11.下列结论正确的是(　AD　)(A)当x>0时,+≥2(B)当x>0时,的最小值是2(C)当x<时,2x-1+的最小值是(D)设x>0,y>0,且x+y=2,则+的最小值是解析:A.当x>0时,+≥2=2,当且仅当=,即x=1时等号成立,A正确;B.当x>0时,=+≥2=2,当且仅当=时等号成立,但=无实解,故最小值2取不到,B错;C.当x<时,4x-5<0,2x-1+无最小值,C错;D.设x>0,y>0,且x+y=2,则+=(x+y)(+)=(5++)≥(5+2)=,当且仅当=,即x=,y=时等号成立,D正确.故选AD.12.下列结论正确的是(　BCD　)(A)若a>b,则<(B)若ac<0,ad>bc,则>(C)若a>b>0,m>0,则<(D)若a>0,b>0,则≤解析:-=,其中b-a<0,但ab符号不确定,选项A不正确;-=,由ac<0,ad>bc,可知-=>0,选项B正确;-=,由a>b>0,m>0,可知为负值,选项C正确;≤=≤==≤=,选项D正确.故选BCD.三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.若不等式x2-2x+m<0有解,则实数m的取值集合是　　　　. 解析:由题意,得Δ=4-4m>0,即m<1,故实数m的取值集合是{m|m<1}.答案:{m|m<1}14.若正实数x,y满足x+3y=xy,则3x+y的最小值是　　　　. 解析:正实数x,y满足x+3y=xy,所以+=1,所以3x+y=(3x+y)(+)=10++≥10+2=16,当且仅当=且x+3y=xy即x=4,y=4时取等号.答案:1615.已知实数x,y满足0≤2x+y≤3,-2≤x-y≤1,则4x+5y的最大值是　　　     　. 解析:令4x+5y=m(2x+y)+n(x-y),解得m=3,n=-2.又因为0≤2x+y≤3,-2≤x-y≤1,所以-2≤4x+5y≤13,即4x+5y的最大值是13.答案:1316.已知不等式ax2+bx+c<0的解集为{x|2<x<3},则=　　　   　,b+c+的最小值为　　　    　. 解析:由题知a>0,-=2+3=5,=2×3=6,则b=-5a,c=6a,=-,b+c+=a+=(a+2)+-2≥2-2=8,当且仅当a+2=,即a=3时取等号,故b+c+的最小值为8.答案:-　8四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知不等式mx2+3x-2>0的解集为{x|n<x<2}.(1)求m,n的值;(2)解关于x的不等式ax2-(n+a)x-m>0(a∈R,a<1).解:(1)由题意,m<0且n,2为方程mx2+3x-2=0的两根,所以解得或(舍去),所以m=-1,n=1.(2)由(1)可得不等式为ax2-(1+a)x+1>0,即(ax-1)(x-1)>0.①当a=0时,不等式可化为x-1<0即{x|x<1};②当a<0时,<1,所以不等式的解集为{x|<x<1};③当0<a<1时,>1,所以不等式的解集为{x|x<1或x>}.综上,当a=0时,原不等式的解集为{x|x<1};当a<0时,原不等式的解集为{x|<x<1};当0<a<1时,原不等式的解集为{x|x<1或x>}.18.(本小题满分12分)已知正实数x,y满足2x+5y=20.(1)求xy的最大值;(2)若不等式+≥m2+4m恒成立,求实数m的取值范围.解:(1)20=2x+5y≥2,解得xy≤10,当且仅当x=5,y=2时取等号,所以xy最大值为10.(2)由题意得+=1,则+=(+)·(+)=++≥+2=,当且仅当x=,y=取等号,所以m2+4m≤,解得-≤m≤,即实数m的取值范围是{m|-≤m≤}.19.(本小题满分12分)如图,AB是半圆直径,O为AB的中点,DO⊥AB,C在AB上,且AC=a,BC=b.(1)用a,b表示线段OD,CD的长度;(2)若a>0,b>0,a+b=1,求a4+b4的最小值.解:(1)OD=,OC=,CD==.(2)由(1)知,CD≥OD,即≥(当且仅当a=b时取等号),所以≥()2=(当且仅当a=b时取等号),所以≥≥,所以a4+b4≥(当且仅当a=b=时取等号),所以a4+b4的最小值为.20.(本小题满分12分)已知a,b,c均为正数,证明:a2+b2+c2+{++}2≥6,并确定a,b,c为何值时,等号成立.解:因为a,b,c均为正数,所以a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac.所以a2+b2+c2≥ab+bc+ac.①同理++≥++,②故a2+b2+c2+{++}2≥ab+bc+ac+++≥6.③所以原不等式成立.当且仅当a=b=c时,①式和②式等号成立,当且仅当a=b=c,(ab)2=(bc)2=(ac)2=3时,③式等号成立.故当且仅当a=b=c=时,原不等式等号成立.21.(本小题满分12分)已知正实数a,b满足a+b=3.(1)求+的最大值;(2)若不等式2m+2mx-x2≤+对任意x∈R恒成立,求实数m的取值集合.解:(1)因为=(2a+1)+(2b+1)+2·≤(2a+1)+(2b+1)+(2a+1)+(2b+1)=4(a+b+1)=16,当且仅当a=b=时取等号,所以+的最大值为4.(2)因为+=(a+b)(+)=(5++)≥(5+2)=3,当且仅当即a=1,b=2时取等号,所以+的最小值为3,又2m+2mx-x2=-(x-m)2+m2+2m≤m2+2m.若不等式2m+2mx-x2≤+对任意x∈R恒成立,只需m2+2m≤3,即m2+2m-3≤0,解得-3≤m≤1,即实数m的取值集合为{m|-3≤m≤1}.22.(本小题满分12分)某建筑队在一块长AM=30 m,宽AN=20 m的矩形地块AMPN上施工,规划建设占地如图中矩形ABCD的学生公寓,要求顶点C在地块的对角线MN上,B,D分别在边AM,AN上,假设AB长度为x m.(1)要使矩形学生公寓ABCD的面积不小于144 m2,AB的长度应在什么范围?(2)长度AB和宽度AD分别为多少米时矩形学生公寓ABCD的面积最大?最大值是多少平方米?解:(1)依题意知△NDC∽△NAM,所以=,即=,则AD=20-x.故矩形ABCD的面积为S=20x-x2.根据条件0<x<30,要使学生公寓ABCD的面积不小于144 m2,即S=20x-x2≥144,化简得x2-30x+216≤0,解得12≤x≤18.故AB的长度应在12 m～18 m内.(2)S=20x-x2=x(30-x)≤()2=150,当且仅当x=30-x,即x=15时,等号成立.此时AD=20-x=10.故AB=15 m,AD=10 m时,学生公寓ABCD的面积最大,最大值是150 m2.