数学必修 第二册6.4 平面向量的应用当堂检测题

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班级：                姓名：              日期：         《6.4.1平面几何中的向量方法》练案   1.（2021·云南省南涧县第一中学高一月考）在中，若，则的形状一定是（    ）A．直角三角形 B．等腰三角形C．锐角三角形 D．钝角三角形【答案】D【解析】因为，所以为钝角，所以一定是钝角三角形.故选D.2.在边长为1的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E是BC的中点，则·＝(　　)A.   B.   C.   D.【答案】D【解析】建立如图平面直角坐标系，则A，C，B.∴E点坐标为，∴＝(，0)，＝，∴·＝×＝.故选D.3.如图，BC，DE是半径为1的圆O的两条直径，＝2，则·的值是(　　)A.－   B.－ C.－   D.－【答案】B【解析】＝＋，＝＋，且＝－，所以·＝(＋)·(＋)＝2－2＝－1＝－.4.（多选题）（2021·浙江宁波市北仑中学高一期中）已知是内一点，且，点在内（不含边界），若，则的值可能为（    ）A． B． C． D．【答案】ABC【解析】因为是内一点，且所以O为的重心在内（不含边界），且当M与O重合时，最小，此时 所以，即当M与C重合时，最大，此时 ,所以，即因为在内且不含边界,所以取开区间，即，结合选项可知ABC符合，D不符合.故选ABC.5.如图所示，在矩形ABCD中，AB＝4，点E为AB的中点，且⊥，则||等于(　　)A.   B.2 C.3   D.2【答案】B【解析】以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系.设||＝a(a>0)，则A(0，0)，C(4，a)，D(0，a)，E(2，0)，所以＝(2，－a)，＝(4，a)，因为⊥，所以·＝0，所以2×4＋(－a)·a＝0，即a2＝8.所以a＝2，所以＝(2，－2)，所以||＝＝2.6.（2021·重庆西南大学附中高一月考）非零向量，满足，且，则为（    ）A．三边均不相等的三角形  B．直角三角形 C．等腰非等边三角形 D．等边三角形【答案】D【解析】，，分别为单位向量，的角平分线与垂直，，，，，为等边三角形．故选：D．7.如图所示，半圆的直径AB＝2，O为圆心，C是半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则(＋)·的最小值是________.【答案】－【解析】因为点O是A，B的中点，所以＋＝2，设||＝x，则||＝1－x(0≤x≤1).所以(＋)·＝2·＝－2x(1－x)＝2－.所以当x＝时，(＋)·取到最小值－.8.如图所示，若D是△ABC内的一点，且AB2－AC2＝DB2－DC2，求证：AD⊥BC.【证明】设＝a，＝b，＝e，＝c，＝d，则a＝e＋c，b＝e＋d，所以a2－b2＝(e＋c)2－(e＋d)2＝c2＋2e·c－2e·d－d2，由条件知：a2＝c2－d2＋b2，所以e·c＝e·d，即e·(c－d)＝0，即·＝0，所以AD⊥BC.    9.（2021·安徽六安一中高一月考）P是所在平面内一点，满足，则的形状是（    ）A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形【答案】B【解析】由，可得，即，等式两边平方，化简得，，因此，是直角三角形.故选B.10.在直角坐标系xOy中，已知点A(0，1)和点B(－3，4)，若点C在∠AOB的平分线上且||＝2，则＝________.【答案】【解析】因为||＝5，点A(0，1)在y轴上，所以可取点D(0，5)，则点C在∠BOD的平分线上，且|OB|＝|OD|，所以与向量＋同向，＋＝(－3，4)＋(0，5)＝(－3，9)，设＝λ(＋)＝λ(－3，9)(λ>0).  又||＝2，所以λ＝，所以＝.11.  已知正方形ABCD中，E，F分别是CD，AD的中点，BE，CF交于点P.求证：(1)BE⊥CF；(2)AP＝AB.【证明】建立如图所示的平面直角坐标系，设AB＝2，则A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)，D(0，2)，则E(1，2)，F(0，1).(1)＝(－1，2)，＝(－2，－1).∴·＝(－1)×(－2)＋2×(－1)＝0，∴⊥，即BE⊥CF.(2)设点P坐标为(x，y)，则＝(x，y－1)，＝(2，1)，∵∥，∴x＝2(y－1)，即x＝2y－2，同理，由∥，得y＝－2x＋4，由得∴点P的坐标为.∴||＝＝2＝||，即AP＝AB.12.如图所示，四边形ABCD是正方形，BE∥AC，AC＝CE，EC的延长线交BA的延长线于F.求证：AF＝AE.【证明】如图，建立直角坐标系，设正方形的边长为1，则A(－1，1)，B(0，1).若设E(x，y)，则＝(x，y－1)，＝(1，－1).又∵∥，∴x·(－1)－1×(y－1)＝0，∴x＋y－1＝0.又∵||＝||，∴x2＋y2－2＝0.由得或(舍).即E.又设F(x′，1)，由＝(x′，1)和＝共线得：x′－＝0，得x′＝－2－，∴F(－2－，1)，∴＝(－1－，0)，＝，∴||＝ ＝1＋＝||，∴AF＝AE.                                                                                                                                13.（2021·安徽青阳第一中学高一月考）在中，，，且，，则点的轨迹一定通过的（    ）A．重心 B．内心C．外心 D．垂心【答案】A【解析】过C作，交AB于H，取AB中点D，连接CD，如图所示：根据三角函数定义可得，因为，所以，即，即点P的轨迹在中线CD上，而三角形三边中线的交点为该三角形的重心，所以点的轨迹一定通过的重心.故选A.14.（2021·江苏盐城市高一期中）如图，分别是矩形的边和上的动点，且.（1）若都是中点，求.（2）若都是中点，是线段上的任意一点，求的最大值.（3）若，求的最小值.【解析】（1）以点A为原点建系，得,,，∴.（2）由（1）知，设，∴，，∴当时，最大值.（3）设，则，∴，当且仅当时，等号成立，故最小值是.