高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算导学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算导学案，文件包含624向量的数量积导学案原卷版-新教材精创2022-2023学年高一数学同步备课人教A版2019必修第二册docx、624向量的数量积导学案答案版-新教材精创2022-2023学年高一数学同步备课人教A版2019必修第二册docx等2份学案配套教学资源，其中学案共16页， 欢迎下载使用。
《6.2.4向量的数量积》导学案  参考答案新课导学   （一）新知导入【探究】 通过现实情境马拉爬犁，研究当力和位移存在夹角时，如何研究力对物体所做的功，通过力的分解，由于垂直位移方向上的分力对物体不做功，最终力对物体所做的功等于位移方向上的分力对物体所做的功，，向量的数量积具有相同的运算。  （二）向量的数量积1.向量的夹角【探究】力、位移都是矢量,夹角为.定义已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角图示范围特殊情况a与b同向a与b反向a与b垂直，记作ab 【做一做1】 解析：平移向量a，b使它们有公共起点O，如图所示，则由对顶角相等可得向量－a与－b的夹角也是60°.答案：A2.向量的数量积【探究】由物理知识容易得到W=|F||s|cos θ,决定功的大小的量有力、位移及其夹角,其中功是标量.定义已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则把数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积(或内积)记法记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ规定零向量与任一向量的数量积均为0特别提醒：(1)“·”是数量积的运算符号,既不能省略不写,也不能写成“×”;(2)数量积的结果为数量,不再是向量。【做一做】a·b＝|a||b|cos θ=2cos30°=2=3.答案：C3.投影向量【探究1】线段A1B1叫做线段AB在直线l上的投影线段.【探究2】|A1B1|=|AB|cos.（1）如图，设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，作如下变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量.（2）如图，在平面内任取一点O，作=a,=b,设与b方向相同的单位向量为e,a与b的夹角为，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则=|a|cose.特别地，当=0时，=|a|e.    当=时，=|a|e.     当=时，=0.【做一做】解析：c=|a|cos45°e=2e=e.答案：e4.向量的数量积的性质已知两个非零向量a，b，θ为a与b的夹角，e为与b方向相同的单位向量.【探究1】a·e=|a||e|cos=|a|cos，a·a=|a|·|a|cos 0°＝|a|2.【探究2】a·b＝0，a≠0，b≠0，∴cos θ＝0，θ＝90°，a⊥b.【探究3】当θ=0°时，a·b=|a|·|b|;当θ＝180°时，a·b=－|a|·|b|.【探究4】设向量a，b的夹角为θ，当0°≤θ<90°时，a·b>0，即数量积为正数，当θ＝90°，a·b＝0，即数量积为0；当90<θ≤180°时，a·b<0，即数量积为负数．设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则(1)a·e=e·a=|a|cos.(2)a⊥b⇔a·b＝0.(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.(4)a·a＝a2=|a|2或|a|＝＝.(5)|a·b|≤|a||b|.(6)cos θ＝.5.数量积的运算律【探究】向量数量积的运算律 交换律a·b＝b·a对数乘的结合律(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)分配律(a＋b)·c＝a·c＋b·c特别提醒：（1）数量积对结合律一般不成立，因为(a·b)·c是一个与c共线的向量，而(a·c)·b是一个与b共线的向量，两者一般不同．（2）类比多项式的乘法公式，写出下表中的平面向量数量积的运算性质.多项式乘法向量数量积(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2(a－b)2＝a2－2ab＋b2(a－b)2＝a2－2a·b＋b2(a＋b)(a－b)＝a2－b2(a＋b)·(a－b)＝a2－b2(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a 【辩一辩】答案:(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√【做一做1】解析：∵(a＋b)⊥(a－b)，∴(a＋b)·(a－b)＝0，∴|a|2－|b|2＝0，∴|a|＝|b|.答案：B【做一做2】解析：|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝10，|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝6，∴4a·b＝4，∴a·b＝1.答案：A（三）典型例题【例1】解：①因为∥，且方向相同，所以与的夹角是0°，所以·＝||||·cos 0°＝3×3×1＝9.②因为与的夹角为60°，所以与的夹角为120°，所以·＝||||·cos 120°＝4×3×＝－6.【巩固练习1】解：(2a＋3b)·(3a－2b)＝6a2－4a·b＋9b·a－6b2＝6|a|2＋5a·b－6|b|2  ＝6×42＋5×4×7·cos 120°－6×72  ＝－268.【例2】解析：向量a在向量e上的投影向量是|a|cosθe=4cose=－2e.因为与向量a方向相同的单位向量为=，所以向量e在向量a上的投影向量是|e|cosθ=cos=－a.答案：－2e     －a【巩固练习2】解析：向量a在向量b上的投影向量是|a|cos 60°＝4××b＝b.答案：b【例3】【解析】由题意，得a·(2a＋b)＝2a2＋a·b＝0，即a·b＝－2a2，设a与b的夹角为θ，则cosθ＝＝＝－，所以θ＝，故选C．【变式探究】解:因为(a+2b)⊥(ka-b),所以(a+2b)·(ka-b)=0,即k|a|2+(2k-1)a·b-2|b|2=0,所以k|a|2+2(2k-1)|a|2-32|a|2=0，化简得k+2(2k-1)-32=0，解得k=.【巩固练习3】解：（1）设a与b的夹角为θ，(a＋2b)·(a－3b)＝a·a－3a·b＋2b·a－6b·b＝|a|2－a·b－6|b|2＝|a|2－|a||b|cos θ－6|b|2＝62－6×4×cos θ－6×42＝－72，所以24cos θ＝36＋72－96＝12，所以cos θ＝.又因为θ∈，所以θ＝.（2）∵(3a＋2b)⊥(λa－b)，∴(λa－b)·(3a＋2b)＝0，∴3λa2＋(2λ－3)a·b－2b2＝0.又∵|a|＝2，|b|＝3，a⊥b，∴12λ＋(2λ－3)×2×3×cos 90°－18＝0，∴12λ－18＝0，∴λ＝.例4. 解：因为a2＝|a|2＝25，b2＝|b|2＝25，a·b＝|a||b|cos θ＝5×5×cos ＝，所以|a＋b|＝＝＝＝5，|a－b|＝＝＝＝5.【巩固练习4】解：(1)(2a＋b)·(2a－b)＝(2a)2－b2＝4|a|2－|b|2＝4×42－82＝0.(2)∵|4a－2b|2＝(4a－2b)2＝16a2－16a·b＋4b2＝16×42－16×4×8×cos 60°＋4×82＝256.∴|4a－2b|＝16.（四）操作演练  素养提升答案：1.C    2.C   3.B     4.b