高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示导学案

《6.3.1平面向量基本定理》

导学案  参考答案

新课导学 

（一）新知导入

【想一想1】当非零向量e1,e2共线时,向量a不一定能按e1,e2的方向分解,当非零向量e1,e2不共线时,任意向量a一定可以按e1,e2的方向分解,且分解方法是唯一的.

【想一想2】向量的数乘运算和平行四边形法则.

（二）平面向量基本定理

【探究1】当非零向量e1，e2共线时，向量a不一定能按e1，e2的方向分解，当非零向量e1，e2不共线时，任意向量a一定可以按e1，e2的方向分解，且分解方法是唯一的．

【探究2】可以，取，，则。

【探究3】若向量与共线，取，则

若向量与共线时，取，则

1.平面向量基本定理

如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，

有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2。

若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底

【辩一辩】答案:(1)×　(2)×　(3)√　（4）√

（三）典型例题

【例1】解析　选项B中，6e1－8e2＝2(3e1－4e2)，∴6e1－8e2与3e1－4e2共线，∴不能作为基底，选项A，C，D中两向量均不共线，可以作为基底.故选B.

答案　B

【巩固练习1】解析：（1）寻找不共线的向量组即可，在▱ABCD中，与不共线，与不共线；

而∥，∥，故①③可作为基底．

（2）由题图可知，与，与，与共线，不能作为基底向量，

与不共线，可作为基底向量．

答案：（1）B  （2）B

【例2】解析：∵四边形ABCD是平行四边形，E、F分别是BC、DC边上的中点，

∴＝＝2，＝＝2，

∴＝＝b，＝＝－＝－a.

∴＝＋＋＝－＋＋＝－b＋a＋b＝a－b，

＝＋＝＋＝b－a.

【延伸探究1】解：依题意x＝a＋b，y＝a－b，∴x＋y＝2a，x－y＝2b，

∴a＝(x＋y)，b＝(x－y)，

于是＝a－b＝(x＋y)－(x－y)＝x＋y，

＝b－a＝(x－y)－(x＋y)＝x－y.

【延伸探究2】解：由例题，知＝a－b=e，＝b－a=f.

解得a=e+f，b=e+f.

所以a-b=e+f-(e+f)=e-f.

【巩固练习2】解　＝－＝e1－e2，因为D，E，F依次是边AB的四等分点，

所以＝＝(e1－e2)，所以＝＋＝e2＋(e1－e2)＝e1＋e2.

【例3】解析： )·()=)·

==×2-×4+×4-2=.

答案:-

【巩固练习3】证明：=()·()

=

=

=

=-|2+|2.

因为CA=CB,所以-|2+|2=0,

故AD⊥CE.

（四）操作演练  素养提升

1.解析：∵－3e1＋6e2＝－3(e1－2e2)，∴e1－2e2与－3e1＋6e2共线，故不能作为基底．

2.解析：由＝λ，得－＝λ(－)，即＝(1＋λ)－λ.又2＝x＋y，所以消去λ得x＋y＝2.

3.解析：如图，因为BC＝3MC，DC＝4NC，且AB＝4，AD＝3，

因为·＝(＋)·(＋)＝(＋)·(－)

＝||2－|AB|2＝×9－×16＝0.所以AN⊥MN，所以△AMN是直角三角形．

4.解析　设＝a，＝b，则＝a＋b，＝a＋b，

又∵＝a＋b，∴＝(＋)，即λ＝μ＝，∴λ＋μ＝.

答案：1.B  2.B 3.C  4.B