高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示学案及答案

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 《6.3.3平面向量的正交分解及坐标表示》

导学案

地 位：

本节内容选自《普通高中数学必修第一册》人教A版（2019）

第六章 平面向量及其应用

6.3  平面向量基本定理及坐标表示

学习目标：

1.借助平面直角坐标系，理解平面向量的正交分解，培养数学抽象的核心素养；

2.掌握平面向量的坐标表示,提升数学运算的核心素养。

学习重难点：

1.重点：掌握向量的坐标表示

2.难点：了解平面向量的正交分解

自主预习：

1. 本节所处教材的第     页.
2. 复习——

①　平面向量基本定理：                                 

3. 预习——

      正交分解：                                           

向量的坐标：                                        

新课导学 

学习探究

（一）新知导入

如图,向量i,j是两个互相垂直的单位向量,向量a与i的夹角是30°,且|a|=4,以向量i,j为基底,向量a如何表示?

（二）平面向量的正交分解及坐标表示

【探究1】在平面中,垂直的两个非零向量a,b能否作为平面内所有向量的一组基底?

【探究2】在平面内,e1,e2是两个互相垂直的非零向量,这个平面内的任一向量是否都能用这两个向量来表示?表示是否唯一?

【探究3】在平面直角坐标系中,分别取与x轴,y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底,任作一向量 ,根据平面向量基本定理,=xi+yj,那么(x,y)与A点的坐标相同吗?如果向量也用(x,y)表示,那么这种向量与实数对(x,y)之间是否一一对应?

1.平面向量的正交分解

把一个向量分解为两个互相        的向量，叫做把向量正交分解。

2．平面向量的坐标表示

在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底．对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x，y，使得           ，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作          ，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，a＝(x，y)就叫做向量的坐标表示．显然，i＝      ，j＝      ，0＝       .

在平面直角坐标系中，若A(x，y)，则＝        

【想一想】点的坐标与向量坐标有何区别？

（三）典型例题

1.平面向量的正交分解及坐标表示

例1.如图，取与x轴、y轴同向的两个单位向量i、j作为基底，分别用i、j表示、、，并求出它们的坐标．

【类题通法】求平面向量坐标的方法:

(1)若i、j是分别与x轴、y轴同方向的单位向量,则当a=xi+j时,向量a的坐标即为(x,y).

(2)当向量的始点在坐标原点时,向量的坐标才等于终点的坐标.

(3)求向量的坐标一般转化为求点的坐标.解题时,常常结合几何图形,进行计算.

【巩固练习1】如图，分别用基底{i，j}表示向量a，b，c，d，并求出它们的坐标

2.向量的坐标的应用

例2.已知边长为2的正三角形ABC，顶点A在坐标原点，AB边在x轴上，C在第一象限，D为AC的中点，分别求向量， 的坐标．

【类题通法】求一个向量的坐标可利用已知条件,先求出该点相对应坐标原点的位置向量的坐标,该坐标就等于相应点的坐标.

【巩固练习2】已知O是坐标原点，点A在第一象限，||＝4，∠xOA＝60°.

求向量的坐标；

（四）操作演练  素养提升

1.已知i、j分别是方向与x轴正方向、y轴正方向相同的单位向量，O为原点，设＝(x2＋x＋1)i－(x2－x＋1)j(其中x∈R)，则点A位于(　　)

A．第一、二象限 B．第二、三象限

C．第三象限 D．第四象限

2.如图,在正方形ABCD中,O为中心,且   =(-1,-1),则  =_________;    =_________;    =____________.

3、已知A(2,0)，a＝(x＋3，x－3y－5)，若a＝O，其中O为原点，求x、y的值．

4、如果将绕原点O逆时针方向旋转120°得到，则求的坐标。

课堂小结

1. 通过这节课，你学到了什么知识？

2.  在解决问题时，用到了哪些数学思想？

学习评价

【自我评价】 你完成本节导学案的情况为（  ）

A.很好          B.较好          C.一般           D.较差

【导学案评价】 本节导学案难度如何（  ）

A.很好          B.较好          C.一般           D.较差

【建议】 你对本节导学案的建议：                                  

课后作业