人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示导学案及答案

班级：                姓名：              日期：        

 《6.3.4平面向量的数乘运算的坐标表示》

导学案

地 位：

本节内容选自《普通高中数学必修第一册》人教A版（2019）

第六章 平面向量及其应用

6.3.4平面向量的数乘运算的坐标表示

学习目标：

 1.掌握平面向量数乘运算的坐标表示，培养数学抽象的核心素养；

2.理解用坐标表示的平面向量共线的条件，培养数学抽象的核心素养；

3.能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线，提示数学运算的核心素养。

学习重难点：

1.重点：掌握两数乘向量的坐标运算法则，能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线，并掌握三点共线的判断方法。

2.难点：理解用坐标表示两向量共线的条件。

自主预习：

1. 本节所处教材的第     页.
2. 复习——

①　共线向量定理：                                               

②　向量的加减运算坐标表示：                                     

3. 预习——

     向量数乘的坐标表示：                                           

向量共线的坐标表示：                                          

新课导学 

学习探究

（一）新知导入

贝贝和晶晶同做一道数学题：“一人从A地到E地，依次经过B地、C地、D地，且相邻两地之间的距离均为502 km.问从A地到E地的行程有多少？”其解答方法是：

贝贝：502＋502＋502＋502＝1 004＋502＋502＝1 506＋502＝2 008(km).

晶晶：502×4＝2 008(km).

可以看出，晶晶的计算较简捷，乘法是加法的简便运算，构建了乘法运算体系后，给一类问题的解决带来了很大的方便.

2.探索交流，解决问题

【探究1】　当a∥b时，a，b的坐标成比例吗？

【探究2】如果两个非零向量共线，你能通过其坐标判断它们是同向还是反向吗？

（二）平面向量数乘运算的坐标表示

1.【探究1】已知a＝(x，y)，你能得出2a、3a的坐标吗？

平面向量数乘运算的坐标表示：

已知a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝            ，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘以原来向量的                 ．

【做一做】1.已知向量a＝(5，2)，b＝(－4，－3)，若c满足3a－2b＋c＝0，则c＝(　　)

A.(－23，－12)    B.(23，12)

C.(7，0)    D.(－7，0)

2.已知向量a＝(2，4)，b＝(－1，1)，则2a－b＝________.

2.【探究2】如果向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)，根据共线向量定理，a与b共线时，存在唯一实数λ，使a＝λb，那么根据向量数乘运算的坐标表示，你能发现a与b的坐标之间的关系吗？

平面向量共线的坐标表示

设a＝(x1，y1))，b＝(x2，y2)，其中b≠0.向量a，b(b≠0)

共线的充要条件是                 .

【辩一辩】1.若向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a∥b，则＝.(     )

2.若向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且x1y1－x2y2＝0，则a∥b.(     )

3.若向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且x1y2－x2y1＝0，则a∥b.(      )

【做一做】下列向量与a＝(1,3)共线的是(　　)

A．(1,2)　   B．(－1,3)     C．(1，－3)   D．(2,6)

2.已知向量a＝(－3,3)，b＝(3，x)，若a与b共线，则x等于(　　)

A．－3      B．3         C．1 D．－1

3.中点坐标公式

若P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，线段P1P2的中点P的坐标为(x，y)，

则此公式为线段P1P2的中点坐标公式.

【做一做】已知P(2，6)，Q(－4，0)，则PQ的中点坐标为________.

（三）典型例题

1.向量数乘运算的坐标表示

例1.已知向量a＝(1,2)，b＝(3，－4)，c＝(－2,6)，试求a＋3b,3a－2b＋c.

【类题通法】向量坐标的线性运算的方法

(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量加、减及数乘的运算法则进行．

(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．

(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.

【巩固练习1】（1）已知的坐标，求的坐标。

（2）若A、B、C三点的坐标分别为(2，－4)，(0,6)，(－8,10)，求 ＋2，－ 的坐标．

2.平面向量共线的坐标运算

例2.已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？

【类题通法】根据向量共线求参数值的方法：

根据向量共线的条件求参数值的问题，一般有两种处理思路，一是利用向量共线定理a＝λb(b≠0)列方程组求解，二是利用向量共线的坐标表达式x1y2－x2y1＝0直接求解．

【巩固练习2】（1）已知a＝（4，2），b＝（6，y），且a∥b，则y＝________.

（2）若a＝(，cos α)，b＝(3，sin α)，且a∥b，则锐角α＝________.

3.向量共线的判定及解决点共线问题

例3.如果向量＝i－2j，＝i＋mj，其中i，j分别是x轴、y轴正方向上的单位向量，试确定实数m的值，使A，B，C三点共线．

【类题通法】三点共线问题的实质是向量共线问题，两个向量共线只需满足方向相同或相反，两个向量共线与两个向量平行是一致的，利用向量平行证明三点共线需分两步完成：(1)证明向量平行；(2)证明两个向量有公共点．

【巩固练习3】如图所示，已知直角梯形ABCD，AD⊥AB，AB＝2AD＝2CD，过点C作CE⊥AB于E，M为CE的中点，试建立适当的坐标系并用向量的方法证明：

(1)DE∥BC；

(2)D，M，B三点共线．

（四）操作演练  素养提升

1.设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，c＝(－1，－2)．若表示向量4a、4b－2c、2(a－c)、d的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d为(　　)

A．(2,6)     B．(－2,6)     C．(2，－6) D．(－2，－6)

2．已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若a－2b与非零向量m a＋n b共线，则等于(　　)

A．－2        B．2        C．－ D.

3.已知两点M(3，－2)，N(－5，－1)，点P满足  ＝  ，则点P的坐标是________．

4.已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)，若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ的值________．

课堂小结

1. 通过这节课，你学到了什么知识？

2.  在解决问题时，用到了哪些数学思想？

学习评价

【自我评价】 你完成本节导学案的情况为（  ）

A.很好          B.较好          C.一般           D.较差

【导学案评价】 本节导学案难度如何（  ）

A.很好          B.较好          C.一般           D.较差

【建议】 你对本节导学案的建议：                                  

课后作业

完成教材：第33页  练习     第1，2，3,4,5题

         第36 页   习题6.3  第5,6,7,8，12题