数学必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.3 平面向量基本定理及坐标表示导学案

《6.3.5平面向量数量积的坐标表示》

导学案   参考答案

新课导学 

（一）新知导入

【思考1】 由题意知，a＝3i＋2j，b＝2i＋j，则a·b＝(3i＋2j)·(2i＋j)＝6i2＋7i·j＋2j2.

由于i2＝i·i＝1，j2＝j·j＝1，i·j＝0，故a·b＝8.

（二）数量积的坐标表示

【探究1】记a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，

∴a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j

∴a·b＝(x1i＋y1j)(x2i＋y2j)＝x1x2i2＋(x1y2＋x2y1)i·j＋y1y1j2＝x1x2＋y1y2

【探究2】 |a|=

【探究3】 （两点间的距离公式）

【探究4】设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥ba·b＝0x1x2＋y1y2＝0

【探究5】设θ是a与b的夹角，则cos θ＝＝.

平面向量数量积的坐标表示：

已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2．即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．

平面向量的模与夹角的坐标表示：

(1)向量的模长公式：若a＝(x，y)，则|a|＝．

（2）两点间的距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||＝.

(3)向量的夹角公式：设a，b都是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角，则cos θ＝＝．

(4)两个向量垂直的充要条件：设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0．

【做一做】【答案】1.10  2.2  3.±2   4.120°

（三）典型例题

【例1】 解析：（1）　a＋2b＝(4，－3)，a－3b＝(－1，2)，所以(a＋2b)·(a－3b)＝4×(－1)＋(－3)×2＝－10.

（2）法一：·＝(＋)·(＋)＝0＋·22＋·32＋·0＝5.

法二：以A为原点，AB，AD分别为x轴，y轴建立直角坐标系，则A(0,0)，M(1,2)，N(3,1)，于是＝(1,2)，＝(3,1)，故·＝5.

答案：（1）B   （2）5

【巩固练习1】 解析：（1）依题意可知，a＋2b＝(1，－2)＋2(－3，4)＝(－5，6)，

所以(a＋2b)·c＝(－5，6)·(3，2)＝－5×3＋6×2＝－3.

（2）建立平面直角坐标系如图所示，则A(0，2)，E(2，1)，D(2，2)，B(0，0)，C(2，0)，

因为＝2，所以F(，2)．

所以＝(2，1)，＝(，2)－(2，0)＝(－，2)，

所以·＝(2，1)·(－，2)＝2×(－)＋1×2＝.

答案：（1）C  （2）

【例2】 解析：(1)选A.因为a∥b，所以1×y－2×(－2)＝0，

解得y＝－4，从而3a＋b＝(1，2)，|3a＋b|＝.

(2)设a＝(x，y)，则由|a|＝2，得x2＋y2＝52.①

由a⊥b，解得2x－3y＝0.②

联立①②，解得或

所以 a＝(6，4)或a＝(－6，－4)．

所以a＋b＝(8，1)或a＋b＝(－4，－7)，

所以|a＋b|＝.

【巩固练习2】 解析：设C(x，y)，因为点A(0，1)，向量＝(4，－1)，所以＝(x，y－1)＝(4，－1)，所以解得x＝4，y＝0，所以C(4，0)，

所以＝(3，2)，||＝＝.

答案：

【例3】解：(1)a＝e1－e2＝(1，0)－(0，1)＝(1，－1)，

b＝4e1＋3e2＝4(1，0)＋3(0，1)＝(4，3)，

∴a·b＝4×1＋3×(－1)＝1，

|a＋b|＝＝＝.

(2)设a，b的夹角为θ，由a·b＝|a||b|cos θ，

∴cos θ＝＝＝.

【巩固练习3】 解析：因为a＝(1，)，b＝(3，m)．

所以|a|＝2，|b|＝，a·b＝3＋m，

又a，b的夹角为，所以＝cos ，即＝，

所以＋m＝，解得m＝.

【例4】解: 设D点坐标为(x，y)，则＝(x－2，y＋1)，＝(－6，－3)，＝(x－3，y－2)，

∵D在直线BC上，即与共线，∴－6(y－2)＋3(x－3)＝0，即x－2y＋1＝0.①

又∵AD⊥BC，∴·＝0，即(x－2，y＋1)·(－6，－3)＝0，

∴－6(x－2)－3(y＋1)＝0.即2x＋y－3＝0.②

由①②可得∴||＝＝，

即||＝，点D的坐标为(1，1).

【巩固练习4】解:设向量b＝(x，y).根据题意，得·＝0，||＝||.

∴(a－b)·(a＋b)＝0，|a－b|＝|a＋b|，∴|a|＝|b|，a·b＝0.

又∵a＝，即解得或

∴b＝或b＝.

（四）操作演练  素养提升

答案：1.A    2.   3.C    4.A