高中数学6.4 平面向量的应用第1课时学案及答案

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班级：                姓名：              日期：          《6.4.3余弦定理、正弦定理》 第1课时 余弦定理 导学案地 位： 本节内容选自《普通高中数学必修第一册》人教A版（2019） 第六章 平面向量及其应用6.4  平面向量的应用学习目标：1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，培养数学抽象的核心素养；2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题，培养数学运算的核心素养；3.借助于向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，体会逻辑推理及数学运算素养.学习重难点：1.重点：掌握余弦定理及其推论。2.难点：掌握余弦定理的综合应用。自主预习： 本节所处教材的第     页. 复习——①　勾股定理：                                          ②　三角形的形状：                                      预习——    余弦定理：                                             推论：                                                新课导学  学习探究（一）新知导入1. 创设情境，生成问题如图，某隧道施工队为了开凿一条山地隧道，需要测算隧道的长度.工程技术人员先在地面上选一适当的位置A，量出A到山脚B，C的距离，其中AB＝ km，AC＝1 km，再利用经纬仪测出A对山脚BC(即线段BC)的张角∠BAC＝150°.【问题1】　我们知道勾股定理，即在Rt△ABC中，已知两条直角边a，b和C＝90°，则c2＝a2＋b2.那么一般的三角形中，是否也有相似的结论？ 【问题2】　你能通过上面的问题1的结论计算求出山脚的长度BC吗？ 2.探索交流，解决问题【探究1】已知一个三角形的两条边及其它们的夹角，这个三角形的大小、形状能完全确定吗？ 【探究2】在△ABC中，如果已知边a，b和角C，那么从向量的角度考虑，边c的长度可视为什么？向量如何用已知边所对应的向量表示？如何求出||？  （二）余弦定理1.余弦定理：文字语言：三角形中任何一边的平方，等于其他两边          减去这两边与它们        的余弦的积的两倍.符号语言：a2＝        ，b2＝         ，c2＝         【探究3】在△ABC中，已知三条边，如何求出其三个内角？ 【提示】可将余弦定理中的三个公式变形为cos A＝，cos B＝，cos C＝。　 推论：cos A＝       ，cos B＝       ，cos C＝        .2.解三角形一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.【做一做】1.在△ABC中，符合余弦定理的是(　　)A.c2＝a2＋b2－2abcos C   B.c2＝a2－b2－2bccos AC.b2＝a2－c2－2bccos A   D.cos C＝ 2.在△ABC中，a＝1，b＝1，C＝120°，则c＝________. 3.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝1，b＝，c＝，则B＝________.  （五）典型例题1.已知两边及一角解三角形【例1】　在△ABC中，a＝3，b＝3，B＝30°，解这个三角形.      【类题通法】已知两边及一角解三角形的方法利用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出此边长，然后利用余弦定理和三角形内角和定理求出另外两个角.【巩固练习1】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝5，b＝3，cos C是方程5x2＋7x－6＝0的根，求c. 2.已知三边解三角形【例2】在△ABC中，a∶b∶c＝3∶5∶7，求其最大内角.   【类题通法】已知三角形三边求角，可先用余弦定理求一个角，继续用余弦定理求另一个角，进而求出第三个角.【巩固练习2】(1)在△ABC中，已知a＝3，b＝5，c＝，则最大角与最小角的和为(　　)A．90°     B．120°     C．135°　   D．150°(2)在△ABC中，若(a＋c)(a－c)＝b(b－c)，则A等于(　　)A．90°　   B．60°      C．120°   D．150°  3.判断三角形形状【例3】已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc.(1)求角A的大小；(2)若b＋c＝2a＝2，试判断△ABC的形状.    【类题通法】判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别.在余弦定理中注意整体思想的运用，如b2＋c2－a2＝2bccos A，b2＋c2＝(b＋c)2－2bc等。【巩固练习3】若△ABC的三条边a，b，c满足(a＋b)∶(b＋c)∶(c＋a)＝7∶9∶10，则△ABC(　　)A.一定是锐角三角形B.一定是直角三角形C.一定是钝角三角形D.可能是锐角三角形也可能是钝角三角形  （四）操作演练  素养提升1.(多选题)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝2，c＝2，cos A＝，则b＝(　　)A.2   B.3   C.4   D.22.一个三角形的两边长分别为5和3，它们夹角的余弦值是－，则三角形的另一边长是________.3.在△ABC中，a＝7，b＝4，c＝，则△ABC的最小角的大小为________.4.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为________. 课堂小结通过这节课，你学到了什么知识？                                                                                                                                                                在解决问题时，用到了哪些数学思想？                                                                                                                                              学习评价 【自我评价】 你完成本节导学案的情况为（  ）A.很好          B.较好          C.一般           D.较差 【导学案评价】 本节导学案难度如何（  ）A.很好          B.较好          C.一般           D.较差 【建议】 你对本节导学案的建议：                                                                                                       课后作业 完成教材：第44页  练习     第1，2，3题          第52 页   习题6.4 第6,15题