高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用第2课时导学案

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《6.4.3余弦定理、正弦定理》 第2课时  正弦定理  导学案  参考答案新课导学   （一）新知导入【问题1】　　＝＝＝c.【问题2】　在一般的△ABC中，＝＝仍然成立，课本借助直角三角形和向量的数量积来证明.还可借助外接圆或向量的投影来证明.（二）正弦定理1.正弦定理的表示(1)文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即＝＝。拓展：该比值为该三角形外接圆的直径.2.正弦定理的变形形式　 设三角形的三边长分别为a，b，c，外接圆半径为R，正弦定理有如下变形：(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C.(2)sin A＝，sin B＝，sin C＝.(3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.(4)＝＝＝.【思考1】　实现三角形中边角关系的互化.【思考2】不对.根据正弦定理，a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C.所以a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.【做一做】1.　D2.　A    3.　2 （三）典型例题【例1】解　根据正弦定理，得a＝＝＝10.又B＝180°－(A＋C)＝180°－(45°＋30°)＝105°.所以b＝＝＝20sin 75°＝20×＝5(＋).【巩固练习1】解　因为B＝45°，C＝60°，所以A＝75°，故B角最小，所以b为最短边，由正弦定理＝，得b＝＝＝，故所求的最短边长为.【例2】 解 由正弦定理＝，知sin A＝＝，∵b<a，∴A＝60°或A＝120°.当A＝60°时，C＝180°－A－B＝75°，∴c＝＝＝；当A＝120°时，C＝180°－A－B＝15°，∴c＝＝＝.故当A＝60°时，C＝75°，c＝；当A＝120°时，C＝15°，c＝.【巩固练习2】解　由正弦定理，得sin C＝＝＝，又c>a，∴C＝60°或C＝120°.当C＝60°时，B＝75°，b＝＝＋1；当C＝120°时，B＝15°，b＝＝－1. 【例3】解 由正弦定理＝＝＝2R得sin A＝，sin B＝，sin C＝.∵bsin B＝csin C，∴b·＝c·，∴b2＝c2，∴b＝c.∵sin 2A＝sin 2B＋sin 2C，∴()2＝()2＋()2，∴a2＝b2＋c2，∴∠A＝90°，∴△ABC为等腰直角三角形．【巩固练习3】解析　(1)由正弦定理＝，得＝.又acos B＝bcos A，所以＝，所以＝，所以sin A·cos B＝sin B·cos A，即sin A·cos B－sin B·cos A＝0，故sin(A－B)＝0，∵A，B是三角形内角，所以A－B＝0，则A＝B，故△ABC是等腰三角形.(2)由正弦定理＝，得＝.又acos A＝bcos B，所以＝，所以＝，所以sin A·cos A＝sin B·cos B，所以2sin A·cos A＝2sin B·cos B，即sin 2A＝sin 2B，∵A，B为三角形内角，所以2A＝2B或2A＋2B＝π，得A＝B或A＋B＝，所以△ABC是等腰三角形或直角三角形.答案　(1)等腰　(2)等腰或直角 （四）操作演练  素养提升答案 1.B    2.B   3. 　A   4.　60°或120°