2021学年7.1 复数的概念学案

《7.1.2复数的几何意义》

导学案   参考答案

新课导学 

（一）新知导入

【问题1】复数与复平面内的点有一一对应关系。

【问题2】一一对应关系．　　　

【问题3】向量的模等于点Z到原点的距离．

（二）复数的几何意义

1.复平面　复平面中点的横坐标表示复数的实部，点的纵坐标表示复数的虚部。

2.复数的几何意义

(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)复平面内的点Z(a，b).

(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量.

【做一做】 答案：D

3.复数的模

(1)定义：向量的模叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值.

(2)记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|.

(3)公式：|z|＝|a＋bi|＝(a，b∈R).

如果b＝0，那么z＝a＋bi是一个实数，它的模就等于|a|(a的绝对值).

【做一做】 答案：C

4.共轭复数

一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.复数z的共轭复数用__表示，即如果z＝a＋bi，那么＝a－bi.

【做一做】 答案：－2－5i

【辩一辩】判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

1.在复平面内，对应于实数的点都在实轴上.(√)

2.在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数.(×)

3.复数的模一定是正实数.(×)

4.两个共轭复数关于x轴对称.(√)

5.两个复数互为共轭复数是它们的模相等的必要条件.(×)

（三）典型例题

【例1】 解：复数z＝(m2－2m－8)＋(m2＋3m－10)i的实部为m2－2m－8，虚部为m2＋3m－10.

(1)由题意得m2－2m－8＝0.解得m＝－2或m＝4.

(2)由题意，∴2<m<4.

(3)由题意，(m2－2m－8)(m2＋3m－10)<0，

∴2<m<4或－5<m<－2.

(4)由已知得m2－2m－8＝m2＋3m－10，故m＝.

【巩固练习1】 解：(1)要使点位于第四象限内，需

∴∴－7<m<3.

(2)要使点位于x轴负半轴上，需

∴∴m＝4.

(3)要使点位于上半平面(含实轴)，需m2＋3m－28≥0，

解得m≥4或m≤－7.

【例2】解析：(1)由复数的几何意义，可得1＝(5，－4)，2＝(－5，4)，

所以1＋2＝(5，－4)＋(－5，4)＝(0，0)，所以1＋2对应的复数为0.

(2)由复数的几何意义，得＝(2，－3)，＝(－3，2)，＝－＝(2，－3)－(－3，2)＝(5，－5)，

所以对应的复数是5－5i.

答案：(1)C　(2)D

【巩固练习2】 解析：复数2＋i表示的点A(2，1)关于实轴对称的点为B(2，－1)，∴对应的复数为2－i.

答案：2－i

【例3】 解：(1)法一　|z|＝2说明复数z在复平面内对应的点Z到原点的距离为2，这样的点Z的集合是以原点O为圆心，2为半径的圆.

法二　设z＝a＋bi，由|z|＝2，得a2＋b2＝4.故点Z对应的集合是以原点O为圆心，2为半径的圆.

(2)不等式1≤|z|≤2可以转化为不等式组

不等式|z|≤2的解集是圆|z|＝2及该圆内部所有点的集合.

不等式|z|≥1的解集是圆|z|＝1及该圆外部所有点的集合.

这两个集合的交集，就是满足条件1≤|z|≤2的点的集合.如图中的阴影部分，所求点的集合是以O为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环，并且包括圆环的边界.

【巩固练习3】 解析：∵|z|＝＝，∴a＝±1.

∴z＝1＋i或z＝－1＋i.

当z＝1＋i时，Z为(1，1)，两点间距离为

＝1；

当z＝－1＋i时，Z为(－1，1)，两点间的距离为

＝.

答案：±1　1或

（四）操作演练  素养提升

答案：1.B    2.C    3.3      4.2＋1