2021学年8.3 简单几何体的表面积与体积第2课时学案设计

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  《8.3  简单几何体的表面积和体积》

 第2课时 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积

导学案

地 位：

本节内容选自《普通高中数学必修第二册》人教A版（2019）

第八章 立体几何初步

8.3  简单几何体的表面积和体积

学习目标：

1.了解圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积的计算公式,培养数学抽象的核心素养；

2.理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系，并能利用计算公式求几何体的表面积与体积，提升数学运算的核心素养。

学习重难点：

1.重点：通过对圆柱、圆锥、圆台的研究，掌握圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积的求法。

2.难点：会求与圆柱、圆锥、圆台、球有关的组合体的表面积与体积。

自主预习：

1. 本节所处教材的第     页.
2. 复习——

①　圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征 ：                                 

②　棱柱、棱锥、棱台的体积：                                          

3. 预习——

      圆柱、圆锥、圆台的表面积：                                           

圆柱、圆锥、圆台的体积：                                             

球的表面积和体积：                                                     

新课导学 

学习探究

（一）新知导入

 如图是工厂生产的各种金属零件，被广泛应用于工业领域的各个方面.

【问题】　(1)如果已知制作零件的金属的密度，如何求出这些零件的质量？

(2)如图所示的零件都是旋转体，其侧面都是曲面，如何求其表面积？

（二）圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积

知识点一　圆柱、圆锥、圆台的表面积

【做一做1】如图，圆锥的底面半径为1，高为，则圆锥的侧面积为________．

【做一做2】一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比是(　　)

A.            B.          C.    D.

【做一做3】若一个圆台如图所示，则其侧面积等于(　　)

A.6    B.6π

C.3π    D.6π

知识点二　圆柱、圆锥、圆台的体积

【做一做1】若圆锥的底面半径为，高为1，则圆锥的体积为(　　)

A.   B.   C.π   D.2π

【做一做2】.圆台的体积为7π，上、下底面的半径分别为1和2，则圆台的高为(　　)

A.3   B.4   C.5   D.6

【探究1】圆柱、圆锥、圆台的体积公式之间有什么关系?你能用圆柱、圆锥、圆台的结构特征来解释这种关系吗?

【探究2】圆柱、圆锥、圆台的体积公式之间有什么关系？结合棱柱、棱锥、棱台的体积公式，你能将统一成柱体、锥体、台体的体积公式吗？柱体、锥体、台体的体积公式之间又有什么关系？

知识点三　球的表面积与体积

球的半径为R，则球的体积为，表面积为4πR2.

【辩一辩】1.两个球的半径之比为1∶2，则其体积之比为1∶4.(   )

2.球心与其截面圆的圆心的连线垂直于截面.(   )

3.球的表面积等于它的大圆面积的2倍.(     )

【做一做1】直径为1的球的体积是(　　)

A.1   B.   C.   D.π

【做一做2】若一个球的体积为4π，则它的表面积为(　　)

A.3π   B.12   C.12π   D.36π

（三）典型例题

1.圆柱、圆锥、圆台的表面积

例1.圆台的上、下底面半径分别为10 cm和20 cm.它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，那么圆台的表面积是多少？(结果中保留π)

【类题通法】求旋转体表面积的要点

(1)因为轴截面联系着母线、底面半径、高等元素，因此处理好轴截面中边角关系是解题的关键；

(2)对于圆台问题，要重视“还台为锥”的思想方法；

(3)在计算圆柱、圆锥、圆台的侧面积或表面积时，应根据已知条件先计算出它们的母线和底面圆半径的长，而求解这些未知量常常需要列方程.

【巩固练习1】圆锥的高和底面半径相等，它的一个内接圆柱的高和圆柱底面半径也相等.求圆柱的表面积和圆锥的表面积之比.

2.圆柱、圆锥、圆台的体积

例2.圆锥的过高的中点且与底面平行的截面把圆锥分成两部分的体积之比是(　　)

A．1∶1      B．1∶6     C．1∶7      D．1∶8

【类题通法】求几何体体积的常用方法

【巩固练习2】圆台上、下底面面积分别是π、4π，侧面积是6π，这个圆台的体积是(　　)

A.π        B．2        C.π       D.π

3.球的表面积与体积

（1）球的截面问题

例3.一个球内有相距9 cm的两个平行截面，它们的面积分别为49π cm2和400π cm2，求球的表面积．

【类题通法】球的截面问题的方法归纳：

设球的截面圆上一点A，球心为O，截面圆心为O1，则△AO1O是以O1为直角顶点的直角三角形，解答球的截面问题时，常用该直角三角形求解，并常用过球心和截面圆心的轴截面进行求解.

【巩固练习3】在半径为R的球面上有A，B，C三点，且AB＝BC＝CA＝3，球心到△ABC所在截面的距离为球半径的一半，求球的表面积.

（2）球的切、接问题

例4.（1）在半球内有一个内接正方体，试求这个半球的体积与正方体的体积之比.

（2）如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是________.

【类题通法】常见的几何体与球的切、接问题的解决策略：

①处理有关几何体外接球或内切球的相关问题时，要注意球心的位置与几何体的关系，一般情况下，由于球的对称性，球心总在特殊位置，比如中心、对角线的中点等.

②解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径，关键是根据“切点”和“接点”，作出轴截面图，把空间问题转化为平面问题来计算.

【巩固练习4】若棱长为2的正方体的各个顶点均在同一球面上，求此球的体积．

4.简单组合体的表面积与体积　

【例5】如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，AB＝1，C到AB与AD的距离分别为1和2，若将ABCD绕y轴旋转一周，求所得旋转体的体积．

【类题通法】组合体体积与表面积的求解策略：

(1)首先应弄清它的组成，其表面有哪些底面和侧面，各个面应怎样求其面积，然后把这些面的面积相加或相减；求体积时也要先弄清组成，求出各简单几何体的体积，然后再相加或相减.

(2)在求组合体的表面积、体积时要注意“表面(和外界直接接触的面)”与“体积(几何体所占空间的大小)”的定义，以确保不重复、不遗漏.

【巩固练习5】如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面ABCD内过点C作l⊥CB，以l为轴旋转一周．求旋转体的表面积和体积．

（四）操作演练  素养提升

1.在△ABC中，AC＝2，BC＝2，∠ACB＝120°，若△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的表面积是(　　)

A．(6＋2)π     B．6π     C．(9＋2)π D．2π

2、已知圆台上、下两底面与侧面都与球相切，它的侧面积为16π，则该圆台上、下两个底面圆的周长之和为(　　)

A．4π         B．6π         C．8π        D．10π

3、用与球心距离为2的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为(　　)

A.          B.            C.20π    D.

4、体积为52的圆台，一个底面积是另一个底面积的9倍，那么截得这个圆台的圆锥的体积是(　　)

A.54   B.54π   C.58   D.58π

课堂小结

1. 通过这节课，你学到了什么知识？

2.  在解决问题时，用到了哪些数学思想？

学习评价

【自我评价】 你完成本节导学案的情况为（  ）

A.很好          B.较好          C.一般           D.较差

【导学案评价】 本节导学案难度如何（  ）

A.很好          B.较好          C.一般           D.较差

【建议】 你对本节导学案的建议：                                  

课后作业

完成教材：第119页  练习     第1，2，3,4题

         第119 页   习题8.3 第4,5,8,9题