数学必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直第2课时学案

《8.6.2直线与平面垂直》

（第2课时 直线与平面垂直的性质）

导学案  参考答案

新课导学 

（一）新知导入

【问题】灯柱所在的直线都是平行的.

（二）直线与平面垂直

知识点一　直线与平面垂直的性质定理

(1)文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行．

(2)图形语言：

(3)符号语言：a⊥α，b⊥α⇒a∥b.

(4)作用：①线面垂直⇒线线平行；②作平行线．

【辩一辩】 答案：(1)√　(2)×

【做一做】【解析】∵直线l⊥AB，l⊥AC，且AB∩AC＝A，

∴l⊥平面α，同理直线m⊥平面α.由线面垂直的性质定理可得l∥m.

答案：C

知识点二　点面距、线面距与面面距

(1)过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离．

(2)一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离．

(3)如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面之间的距离．

【做一做】答案　2

（三）典型例题

【例1】【证明】如图所示：

连接AB1，B1D1，B1C，BD.

∵DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴DD1⊥AC.

又AC⊥BD，DD1∩BD＝D，∴AC⊥平面BDD1B1.

又BD1⊂平面BDD1B1，∴AC⊥BD1.

同理可证BD1⊥B1C.又B1C∩AC＝C，

∴BD1⊥平面AB1C.∵EF⊥AC，EF⊥A1D，又A1D∥B1C，∴EF⊥B1C.又AC∩B1C＝C，

∴EF⊥平面AB1C，∴EF∥BD1.

【巩固练习1】【证明】∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD.

又CD⊥AD，PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD.

又∵AE⊂平面PAD，∴AE⊥DC.

又∵AE⊥PD，PD∩CD＝D，∴AE⊥平面PCD.

又∵l⊥平面PCD，∴AE∥l.

例2.【解】如图所示，连接PA，PB.易知△SAC，△ACB是直角三角形，所以SA⊥AC，BC⊥AC.

取AB、AC的中点E、F，连接PF，EF，PE，则EF∥BC，PF∥SA.

所以EF⊥AC，PF⊥AC.

因为PF∩EF＝F，所以AC⊥平面PEF.

又PE⊂平面PEF，所以PE⊥AC.

易证△SAC≌△SBC.因为P是SC的中点，所以PA＝PB.而E是AB的中点，所以PE⊥AB.

因为AB∩AC＝A，所以PE⊥平面ABC.从而PE的长就是点P到平面ABC的距离．

在Rt△AEP中，AP＝SC＝，AE＝AB＝，所以PE＝＝ ＝，

即点P到平面ABC的距离为.

【巩固练习2】【解】(1)因为B1C1∥BC，所以∠A1CB(或其补角)是异直线B1C1与A1C所成的角．

因为BC⊥AB，BC⊥BB1，AB∩BB1＝B，

所以BC⊥平面ABB1，所以BC⊥A1B.

在Rt△A1BC中，tan∠A1CB＝＝＝，

所以异面直线B1C1与A1C所成的角的正切值为.

(2)因为B1C1∥平面A1BC，所以B1C1到平面A1BC的距离等于B1到平面A1BC的距离，设B1到平面A1BC的距离为d，因为VB1­A1BC＝VA1­BB1C，

所以S△A1BC×d＝S△B1BC×A1B1，可得d＝，

直线B1C1与平面A1BC的距离为.

例3.【证明】(1)如图，取AB的中点G，连接FG，CG，可得FG∥AE，FG＝AE.

∵CD⊥平面ABC，AE⊥平面ABC，

∴CD∥AE.

又∵CD＝AE.∴FG∥CD，FG＝CD.

∵FG⊥平面ABC，∴四边形CDFG是矩形，DF∥CG.

又∵CG⊂平面ABC，DF⊄平面ABC，∴DF∥平面ABC.

(2)在Rt△ABE中，AE＝2a，AB＝2a，F为BE中点，∴AF⊥BE.

∵△ABC是正三角形，∴CG⊥AB，∴DF⊥AB.

又∵DF⊥FG，FG∩AB＝G，∴DF⊥平面ABE.

又∵AF⊂平面ABE.∴DF⊥AF.

∵BE∩DF＝F，∴AF⊥平面BDF.

又∵BD⊂平面BDF，∴AF⊥BD.

【巩固练习3】【解析】(1)证明：如图，取PD中点为G，连接EG，AG，

则EG∥CD，EG＝CD，AF∥CD，AF＝CD，

所以EG与AF平行且相等，所以四边形AGEF是平行四边形，

所以EF∥AG，AG⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，

所以EF∥平面PAD.

(2)解：连接AC，BD，交于点O，连接EO，因为E为PC的中点，所以EO为△PAC的中位线，

又因为PA⊥平面ABCD，所以EO⊥平面ABCD，即EO为三棱锥E­AFC的高．

在菱形ABCD中可求得AC＝2，在Rt△PAC中，PC＝2，所以PA＝＝4，EO＝2，

所以S△ACF＝S△ABC＝××AB×BC×sin∠ABC＝，所以VC­AEF＝VE­ACF＝S△ACF×EO＝××2＝.

（四）操作演练  素养提升

答案：1.C     2.A     3.B     4.