第10章 概率 章末检测 -2022-2023学年高一数学同步备课 (人教A版2019 必修第二册)

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班级：                姓名：              日期：         第十章 概率  章末综合测试 (时间：120分钟 满分：150分) 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.下列事件属于古典概型的是（    ）A．任意抛掷两颗均匀的正方体骰子，所得点数之和作为基本事件B．篮球运动员投篮，观察他是否投中C．测量一杯水分子的个数D．在4个完全相同的小球中任取1个【答案】D【解析】判断一个事件是否为古典概型，主要看它是否具有古典概型的两个特征：有限性和等可能性.A选项，任意抛掷两颗均匀的正方体骰子，所得点数之和对应的概率不全相等，如点数之和为与点数之和为发生的可能性显然不相等，不属于古典概型，故A排除；B选项，“投中”与“未投中”发生的可能性不一定相等，不属于古典概型，故B排除；C选项，杯中水分子有无数多个，不属于古典概率，故C排除；D选项，在4个完全相同的小球中任取1个，每个球被抽到的机会均等，且包含的基本事件共有4个，符合古典概型，故D正确.故选D.2.下列命题：①对立事件一定是互斥事件；②若A，B为两个随机事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；③若事件A，B，C彼此互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1；④若事件A，B满足P(A)＋P(B)＝1，则A与B是对立事件．其中正确命题的个数是(　　)A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】由题意①中，根据对立事件与互斥事件的关系，可得是正确；②中，当A与B是互斥事件时，才有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，对于任意两个事件A，B满足P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)，所以是不正确的；③也不正确．P(A)＋P(B)＋P(C)不一定等于1，还可能小于1；④也不正确．例如：袋中有大小相同的红、黄、黑、绿4个球，从袋中任摸一个球，设事件A＝{摸到红球或黄球}，事件B＝{摸到黄球或黑球}，显然事件A与B不互斥，但P(A)＋P(B)＝＋＝1.3.从1，2，3，4，5这五个数中任取两个不同的数，则这两个数都是奇数的概率是（    ）A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.6【答案】C【解析】从1，2，3，4，5这五个数中任取两个数，包含的基本事件有：，，，，，，，，，，共个；则这两个数都是奇数包含的基本事件有：，，，共个；所以这两个数都是奇数的概率是.故选C.4.（2022·广西平果二中高一期中）一道竞赛题，，，三人可解出的概率依次为，，，若三人独立解答，则仅有1人解出的概率为（    ）A．          B．           C．          D．1【答案】B【解析】.故选B.5.孪生素数（素数是只有1和自身因数的正整数）猜想是希尔伯特在1900年正式提出的23个问题之一，具体为：存在无穷多个素数，使得是素数，素数对称为孪生素数，在不超过20的素数中随机选取2个不同的数，其中能够构成孪生素数的概率是（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】不超过20的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，则在不超过20的素数中随机选取2个不同的数的样本空间：，共有28个样本点，记事件表示“选取的2个数能够构成孪生素数”，则事件包含的样本点有，，，，共4个，故抽取的2个数能够构成李生素数的概率是．故选D．6.2022年北京冬奥会的吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”深受吉祥物爱好者的喜爱，“冰墩墩”和“雪容融”将中国文化符号和冰雪运动完美融合，承载了新时代中国的形象和梦想.若某个吉祥物爱好者从装有3个“冰墩墩”和3个“雪容融”的6个盲盒的袋子中任取2个盲盒，则恰好抽到1个“冰墩墩”和1个“雪容融”的概率是（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】记3个“冰墩墩”分别为a、b、c,3个“雪容融”分别为1、2、3；从6个盲盒的袋子中任取2个盲盒有：ab,ac,a1,a2,a3,bc,b1,b2,b3,c1,c2,c3,12,13,23共15种情况；其中恰好抽到1个“冰墩墩”和1个“雪容融”包含a1,a2,a3, b1,b2,b3,c1,c2,c3共9种，所以概率为.故选C.7.（2022·天津市蓟州区擂鼓台中学高一月考）甲、乙两人独立地破译一份密码，已知各人能破译的概率分别是和，则两人成功破译的概率为（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题设，两人不能成功破译的概率，∴两人成功破译的概率为.故选D.8.生物的性状是由遗传因子确定的，遗传因子在体细胞内成对存在，一个来自父本，一个来自母本，且等可能随机组合.豌豆子叶的颜色是由显性因子D（表现为黄色），隐性因子d（表现为绿色）决定的，当显性因子与隐形因子结合时，表现显性因子的性状，即DD，Dd都表现为黄色；当两个隐形因子结合时，才表现隐形因子的性状，即dd表现为绿色.已知父本和母本确定子叶颜色的遗传因子都是Dd，不考虑基因突变，从子一代中随机选择两粒豌豆进行杂交，则选择的豌豆的子叶都是黄色且子二代豌豆的子叶是绿色的概率为（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为子一代中遗传因子为，取两粒叶子为黄色的豌豆并要子二代是绿色，所以子一代父本、母本只能取型基因，取出两粒都是满足题意的子一代豌豆概率为，因为子二代叶子是绿色的，故基因为，所占概率为，所以由相互独立事件同时发生的概率为.故选B. 二、多项选择题：本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符号题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.（2022·辽宁抚顺市第六中学高一期末）某人在打靶中，连续射击次，至多有一次中靶的互斥不对立事件是（    ）A．至少有一次中靶 B．三次都中靶 C．恰有两次中靶 D．至少两次中靶【答案】BC【解析】射击3次中靶的次数可能是,至多1次中靶，即中靶次数为0或1，它的互斥事件为：三次都中靶，恰有两次中靶，至少两次中靶，它的对立事件为：至少两次中靶.故选BC.10.（2022·辽宁建平县实验中学高一月考）某社团开展“建党100周年主题活动——学党史知识竞赛”，甲、乙两人能得满分的概率分别为，，两人能否获得满分相互独立，则下列说法错误的是：（    ）A．两人均获得满分的概率为 B．两人至少一人获得满分的概率为C．两人恰好只有甲获得满分的概率为 D．两人至多一人获得满分的概率为【答案】BCD【解析】∵甲、乙两人能得满分的概率分别为，，两人能否获得满分相互独立，分别记甲、乙得满分的事件为，则独立.∴两人均获得满分的概率为,故正确;两人至少一人获得满分的概率为，故错误；两人恰好只有甲获得满分的概率为，故错误；两人至多一人获得满分的概率为，故错误.故选.11.（2022·河北邯郸高一期末）已知甲罐中有2个大小、质地完全一样的小球，标号为1，2，乙罐中有4个大小、质地完全一样的小球，标号为1，2，3，4，现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记样本空间为，事件为“抽取的两个小球标号之和大于4”，事件为“抽取的两个小球标号之积小于5”，则下列结论正确的是（    ）A．与是互斥事件 B．与不是对立事件C． D．【答案】BCD【解析】由题意知，事件中包含的基本事件有：，，，共个基本事件；事件中包含的基本事件有：，，，，，，共个基本事件；包含的基本事件有：，，，，，，，，共个基本事件，当甲罐抽到标号为的小球，乙罐中抽到标号为的小球时，与同时发生，与不是互斥事件，与也不是对立事件，故A错，B正确； 根据事件和事件所包含的基本事件及样本空间包含的基本事件，可知，故C正确；，故D正确.故选 BCD12.（2022·广东珠海市第二中学高一期中 ） 以下对各事件发生的概率判断正确的是（    ）.A．甲、乙两人玩剪刀、石头、布的游戏，则玩一局甲不输的概率是B．每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，例如，在不超过14的素数中随机选取两个不同的数，其和等于14的概率为C．将一个质地均匀的正方体骰子（每个面上分别写有数字l，2，3，4，5，6）先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数之和是6的概率是D．从三件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是【答案】BCD【解析】对于A，画树形图如下：从树形图可以看出，所有可能出现的结果共有9种，这些结果出现的可能性相等，P（甲获胜），P（乙获胜），故玩一局甲不输的概率是，故A错误；对于B，不超过14的素数有2，3，5，7，11，13共6个，从这6个素数中任取2个，有2与3，2与5，2与7，2与11，2与13，3与5，3与7，3与11，3与13，5与7，5与11，5与13，7与11，7与13，11与13共15种结果，其中和等于14的只有一组3与11，所以在不超过14的素数中随机选取两个不同的数，其和等于14的概率为，故B正确；对于C，基本事件总共有种情况，其中点数之和是6的有，，，，，共5种情况，则所求概率是，故C正确；对于D，记三件正品为，，，一件次品为B，任取两件产品的所有可能为，，，，，，共6种，其中两件都是正品的有，，，共3种，则所求概率为，故D正确.故选BCD.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.（2022·山东高青县第一中学高一期中 ）从1，2，3，4，5中随机取三个不同的数，则其和为奇数这一事件包含的样本点个数为___________.【答案】4【解析】从1，2，3，4，5中随机取三个不同的数有（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5），（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5）共10种情况，其中（1，2，4），（1，3，5），（2，3，4），（2，4，5）中三个数字之和为奇数，共有4种.14.（2022·黑龙江哈师大附中高一期中）若三个原件A，B，C按照如图的方式连接成一个系统，每个原件是否正常工作不受其他元件的影响，当原件A正常工作且B，C中至少有一个正常工作时，系统就正常工作，若原件A，B，C正常工作的概率依次为0.7，0.8，0.9，则这个系统正常工作的概率为______【答案】0.686【解析】由题意，系统正常工作的情况分成两个步骤，A正常工作且B，C至少有一个正常工作的情况，其中正常工作的概率为0.7；正常工作的概率为0.8, 正常工作的概率为0.9，则与至少有一个正常工作的概率为，所以这个系统正常工作的概率为：0.7×0.98＝0.686.15.（2022湖北武汉市第二十三中学高一期中 ）现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7， 8，9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了 20组随机数：7527  0293  7140  9857  0347  4373  8636  6947  1417  4698 0371  6233  2616  8045  6011  3661  9597  7424  7610  4281根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为__________．【答案】【解析】由数据得射击4次至少击中3次的次数有15，所以射击4次至少击中3次的概率为.16.某电视台举办知识竞答闯关比赛，每位选手闯关时需要回答三个问题．第一个问题回答正确得10分，回答错误得0分；第二个问题回答正确得20分，回答错误得0分；第三个问题回答正确得30分，回答错误得分．规定，每位选手回答这三个问题的总得分不低于30分就算闯关成功．若某位选手回答前两个问题正确的概率都是，回答第三个问题正确的概率是，且各题回答正确与否相互之间没有影响．则该选手仅回答正确两个问题的概率是______；该选手闯关成功的概率是______．【答案】        【解析】由题设，选手仅回答正确两个问题的概率，由题意，只要第三问回答正确，不论第一、二问是否正确，该选手得分都不低于30分，只要第三问回答错误，不论第一、二问是否正确，该选手得分都低于30分，所以选手闯关成功，只需第三问回答正确即可，故概率为.四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．(10分)某居民小区有两个相互独立的安全防范系统，简称系统A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为和p．(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求p的值；(2)求系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率．【解析】(1)解：（1）设“至少有一个系统不发生故障”为事件C，那么，解得．(2)解：设“系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数”为事件D，则．18．(12分)当顾客在超市排队结账时，“传统排队法”中顾客会选他们认为最短的队伍结账离开，某数学兴趣小组却认为最好的办法是如图（1）所示地排成一条长队，然后排头的人依次进入空闲的收银台结账，从而让所有的人都能快速离开，该兴趣小组称这种方法为“长队法”.为了检验他们的想法，该兴趣小组在相同条件下做了两种不同排队方法的实验.“传统排队法”的顾客等待平均时间为5分39秒，图（2）为“长队法”顾客等待时间柱状图.(1)根据柱状图估算使用“长队法”的100名顾客平均等待时间，并说明选择哪种排队法更适合；(2)为进一步分析“长队法”的可行性，对使用“长队法”的顾客进行满意度问卷调查，发现等待时间为[8，10）的顾客中有5人满意，等待时间为[10，12]的顾客中仅有1人满意，在这6人中随机选2人发放安慰奖，求获得安慰奖的都是等待时间在[8，10）顾客的概率.【解析】(1)（分钟）因为使用“长队法”顾客的平均等待时间长于使用“传统排队法”的顾客平均等待时间，所以选择“传统排队法”更适合；(2)记事件A=“获得安慰奖的都是等待时间在[8，10）的顾客”，用1，2，3，4，5表示等待时间在[8，10）的满意顾客，用a表示等待时间在[10，12]的满意顾客，Ω={（1，2），（1，3），（1，4）（1，5），（1，a），（2，3），（2，4），（2，5），（2，a），（3，4），（3，5），（3，a），（4，5），（4，a），（5，a）}n（Ω）=15，事件A包含的样本点为（1，2），（1，3），（1，4）（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5），，.19．(12分)（2022·广东江门高一期末）已知关于的二次函数，令集合，，若分别从集合、中随机抽取一个数和，构成数对.（1）列举数对的样本空间；（2）记事件为“二次函数的单调递增区间为”，求事件的概率；（3）记事件为“关于的一元二次方程有4个零点”，求事件的概率.【解析】（1）由题意可得，，，数对的样本空间为；（2）若二次函数的单调递增区间为，则二次函数的对称轴，即，由（1）可得，总的基本事件个数为20个，符合的基本事件为，，，共4个，所以；（3）因为，二次函数的图象开口向上，方程有4个零点，即方程和各有2个零点，等价于二次函数的最小值小于，所以，即，样本空间中符合的基本事件有，，，，，，，，，，，共11个，所以.20．(12分)（2022·天津市蓟州区擂鼓台中学高一月考）乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为·在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响，求（1）“星队”在两轮活动中猜对2个成语的概率;（2） “星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率;（3） “星队”在两轮活动至少中猜对1个成语的概率;【解析】设A，B分别表示甲乙每轮猜对成语的事件，M0，M1，M2表示第一轮甲乙猜对0个、1个、2个成语的事件，N0，N1，N2表示第二轮甲乙猜对0个、1个、2个成语的事件，D0，D1，D2，D3，D4表示两轮猜对0个、1个、2个、3个、4个成语的事件.∵P(A)=，P()=1-=，P(B)=，P)=1-=，∴根据独立性的假定得P(M0)=P(N0)=P()= P() P()= =，P(M1)=P(N1)=P()= P()+P() = +=，P(M2)=P(N2)=P(AB)=P(A)P(B)= =，（1）P(D2)=P(M2N0+M1N1+M0N2)= P(M2N0)+P(M1N1)+P(M0N2)=.+.+.=.（2）P(D3)=P(M1N2+M2N1)= P(M1N2)+P(M2N1)= .+.=.（3）P(D1+D2+D3+D4)=1-P(D0)=1-=.21．（12分）（2022·安徽定远县育才学校高一期末）如图，从参加环保知识竞赛的学生中抽出名，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布直方图如下：观察图形，回答下列问题：（1）这一组的频数､频率分别是多少？（2）估计这次环保知识竞赛成绩的平均数､众数､中位数.（3）从成绩是分以上（包括分）的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率.【解析】（1）根据题意，的这一组的频率为，的这一组的频率为，的这一组的频率为，的这一组的频率为，的这一组的频率为，则这一组的频率为，其频数为；（2）这次竞赛的平均数为，一组的频率最大，人数最多，则众数为，分左右两侧的频率均为，则中位数为；（3）记“取出的人在同一分数段”为事件，因为之间的人数为，设为､､､，之间有人，设为､，从这人中选出人，有、、、､、、、、、、､、、、，共个基本事件，其中事件E包括、、、、、、，共个基本事件，则.22.(12分)（2022·山东省潍坊第四中学高一期中）数学兴趣小组设计了一份“你最喜欢的支付方式”的调查问卷（每人必选且只能选一种支付方式），在某商场随机调查了部分顾客，并将统计结果绘制成如下所示的两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：（1）将条形统计图补充完整，在扇形统计图中表示“现金”支付的扇形圆心角的度数为多少？（2）若之前统计遗漏了15份问卷，已知这15份问卷都是采用“支付宝”进行支付，问重新统计后的众数所在的分类与之前统计的情况是否相同，并简要说明理由；（3）在一次购物中，嘉嘉和琪琪随机从“微信，支付宝，银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表格的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率.【解析】（1）由条形统计图可知，用现金、支付宝、其他支付共有人数110人，所占比例为1-15%-30%=55%，所以共调查了人，所以用银行卡支付的人有人，用微信支付的人有人，用现金支付所占比例为，所以，在扇形统计图中表示“现金”支付的扇形圆心角的度数为90°，补全统计图如图所示：（2）重新统计后的众数所在的分类与之前统计的情况不同，理由如下：原数据的众数所在的分类为微信，而加上遗漏的15份问卷后，数据的众数所在的分类为微信、支付宝.（3）将微信记为A、支付宝记为B、银行卡记为C，画树状图如下：∵共有9种等可能的结果，其中两人恰好选择同一种支付方式的有3种，∴两人恰好选择同一种支付方式的概率为.