2020-2021学年2.2 直线的方程教案设计
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这是一份2020-2021学年2.2 直线的方程教案设计,共11页。教案主要包含了做一做2,做一做3,类题通法,巩固练习1,巩固练习2,巩固练习3,设计意图等内容,欢迎下载使用。
2.2.3直线的一般式方程教学设计本小节内容选自《普通高中数学选择性必修第一册》人教A版(2019)第二章《直线和圆的方程》的第二节《直线的方程》。以下是本单元的课时安排:第二章 直线和圆的方程课时内容2.1直线的倾斜角与斜率2.2直线的方程2.3 直线的交点坐标与距离公式所在位置教材第51页教材第59页教材第70页 新教材内容分析直线的倾斜角与斜率从初中所学“两点确定一条直线”出发,引起学生对平面直角坐标系中的直线的几何要素的确定,是今后学习直线方程的必备知识。 在推导直线方程的点斜式时,根据直线这一结论,先猜想确定一条直线的条件,再根据猜想得到的条件求出直线的方程.充分体现坐标法建立方程的一般思路,为后续学习圆的方程及圆锥曲线的方程奠定基础.围绕两直线一般方程的系数的变化来揭示两直线方程联立解的情况,从而判定两直线的位置特点.“点到直线的距离”是从初中平面几何的定性作图,过渡到了解析几何的定量计算,为以后直线与圆的位置关系和圆锥曲线的进一步学习奠定了基础,具有承前启后的重要作用. 核心素养培养通过直线的倾斜角和斜率的求解,以及在人们的生活、生产、科技中有着广泛的实际应用,发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。通过直线方程的求法,发展学生数学抽象、逻辑推理、直观想象和数学运算的核心素养。 通过直线交点的求法,距离公式的应用,发展学生数学抽象、逻辑推理、直观想象和数学运算的核心素养。教学主线直线的方程的应用 在学生亲身体验直线的一般式直线方程的求法,通过典型例子的分析和学生的自主探索活动,促使学生理解数学概念、结论逐步形成的过程,从而体会蕴涵在其中的数学思想方法。 1.了解直线的一般式方程的形式特征,理解直线的一般式方程与二元一次方程的关系,培养数学抽象的核心素养.2.能正确地进行直线的一般式方程与特殊形式的方程的转化,提升数学运算的核心素养.3.能运用直线的一般式方程解决有关问题,培养逻辑推理的核心素养.重点:了解二元一次方程与直线的对应关系,掌握直线的一般形式难点:能根据所给条件求直线方程,并能在几种形式间相互转化 (一)新知导入由下列各条件,写出直线的方程,并画出图形:(1)斜率是1,经过点A(1,8);(2)在x轴和y轴上的截距分别是-7,7;(3)经过两点P1(-1,6),P2(2,9);(4)在y轴上的截距是7,倾斜角是45°.同学们,根据前面我们学习的直线方程形式,分别利用点斜式、截距式、两点式和斜截式,可得到四种情况下的直线方程分别为(1) y-8=x-1;(2)=1;(3);(4)y=x+7.如果我们画出这4条直线的图象,你会惊奇地发现:这4条直线是重合的.事实上,它们的方程都可以化简为x-y+7=0.这样前几种直线方程就有了统一的形式,这就是本节我们要学习的直线的一般式方程. (二)直线的一般式方程知识点1 一般式方程【探究1】观察我们已经学习的直线的四个方程,点斜式y-y0=k(x-x0),斜截式y=kx+b,两点式=,截距式+=1,你能发现它们都是什么样的方程?【提示】都是关于x,y的二元一次方程. ◆直线的一般式方程把关于x,y的二元一次方程 Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0)叫做直线的一般式方程,简称一般式.【点睛】直线一般式方程的结构特征①方程是关于x,y的二元一次方程.②方程中等号的左侧自左向右一般按x,y常数的先后顺序排列.③x的系数一般不为分数和负数.④虽然直线方程的一般式有三个参数,但只需两个独立的条件即可求得直线的方程.【思考1】平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于x,y的二元一次方程表示吗?为什么?【提示】都可以.原因如下:(1)任意一条直线l,在其上任取一点P0(x0,y0),当直线l的斜率为k时(此时直线的倾斜角α≠90°),其方程为y-y0=k(x-x0),这是关于x,y的二元一次方程.(2)当直线l的斜率不存在,即直线l的倾斜角α= 90°时,直线的方程为x-x0=0,可以认为是关于x,y的二元一次方程,此时方程中y的系数为0.方程y-y0=k(x-x0)和x-x0=0都是二元一次方程,因此平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于x,y的二元一次方程表示.【思考2】任意一个关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(A,B不同时为0)都表示一条直线吗?为什么?【提示】当B≠0时,方程Ax+By+C=0可变形为y=-x-,它表示过点(0,-),斜率为-的直线.当B=0时,A≠0,方程Ax+By+C=0可变形为x=-,它表示过点(-,0),且垂直于x轴的直线.由上可知,关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(A,B不同时为0)都表示一条直线. 【做一做】(教材P66练习1改编)过点A(3,2),B(4,3)的直线方程是( )A.x+y+1=0 B.x+y-1=0C.x-y+1=0 D.x-y-1=0解析:由两点式可得,过A、B的直线方程为=,即x-y-1=0.答案:D【做一做2】 设直线l:(m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y-2m+6=0(m≠-1),根据下列条件分别确定m的值:(1)直线l在x轴上的截距为-3;(2)直线l的斜率为1.【解析】(1)令y=0得x=(m2-2m-3≠0),由题知,=-3,解得m=3(舍),m=-.(2)∵直线l的斜率为k=-,∴-=1,解得m=.【做一做3】(教材P65例5改编) 过点A(-1,2),斜率为2的直线的一般式方程为__________.答案:2x-y+4=0 (三)典型例题1.直线的一般式方程例1.写出满足下列条件的直线的方程:(1)经过点,斜率是;(2)经过点,且与x轴垂直;(3)斜率是,在y轴上的截距是7;(4)经过,两点;(5)在y轴上的截距是2,且与x轴平行;(6)在x轴、y轴上的截距分别是4,. 【分析】根据条件,选择恰当的直线方程的形式,最后化成一般式方程.【解析】(1)经过点,斜率是;则直线方程为,即(2)经过点,且与x轴垂直;则直线方程为(3)斜率是,在y轴上的截距是7;则直线方程为,即(4)经过,两点;则斜率,所以直线方程为,即(5)在y轴上的截距是2,且与x轴平行;则直线方程为(6)在x轴、y轴上的截距分别是4,.则直线方程为,即 【类题通法】直线的一般式方程的特征 求直线方程时,要求将方程化为一般式方程,其形式一般作如下设定:x的系数为正;系数及常数项一般不出现分数;一般按含x项、含y项、常数项的顺序排列.【巩固练习1】已知△ABC的三个顶点分别为A(﹣3,0),B(2,1),C(﹣2,3),试求:(1)边AC所在直线的方程;(2)BC边上的中线AD所在直线的方程;(3)BC边上的高AE所在直线的方程.【解析】(1)∵A(﹣3,0),C(﹣2,3),故边AC所在直线的方程为,即3x﹣y+9=0,(2)BC边上的中点D(0,2),故BC边上的中线AD所在直线的方程为,即2x﹣3y+6=0,(3)BC边斜率k,故BC边上的高AE的斜率k=2,故BC边上的高AE所在直线的方程为y=2(x+3),即2x﹣y+6=0. 2.直线的平行与垂直例2. (1)已知直线l1:2x+(m+1)y+4=0与直线l2:mx+3y-2=0平行,求m的值;(2)当a为何值时,直线l1:(a+2)x+(1-a)y-1=0与直线l2:(a-1)x+(2a+3)y+2=0互相垂直?【解析】 (1)法一:由l1:2x+(m+1)y+4=0. l2:mx+3y-2=0.①当m=0时,显然l1与l2不平行.②当m≠0时,l1∥l2,则需=≠.解得m=2或m=-3.∴m的值为2或-3.法二:令2×3=m(m+1),解得m=-3或m=2.当m=-3时,l1:x-y+2=0,l2:3x-3y+2=0,显然l1与l2不重合,∴l1∥l2.同理当m=2时,l1:2x+3y+4=0,l2:2x+3y-2=0,l1与l2不重合,l1∥l2,∴m的值为2或-3.(2)法一:由题意,直线l1⊥l2,①若1-a=0,即a=1时,直线l1:3x-1=0与直线l2:5y+2=0,显然垂直.②若2a+3=0,即a=-时,直线l1:x+5y-2=0与直线l2:5x-4=0不垂直.③若1-a≠0,且2a+3≠0,则直线l1,l2的斜率k1,k2都存在,k1=-,k2=-,当l1⊥l2时,k1·k2=-1,即(-)·(-)=-1,所以a=-1.综上可知,当a=1或a=-1时,直线l1⊥l2.法二:由直线l1⊥l2,所以(a+2)(a-1)+(1-a)(2a+3)=0,解得a=±1.将a=±1代入方程,均满足题意.故当a=1或a=-1时,直线l1⊥l2. 【类题通法】利用一般式解决直线平行与垂直问题的策略直线l1:A1x+B1y+C1=0,直线l2:A2x+B2y+C2=0,(1)若l1∥l2⇔A1B2-A2B1=0且B1C2-B2C1≠0(或A1C2-A2C1≠0).(2)若l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0.【巩固练习2】已知直线l1:(m+2)x+(m+3)y-5=0和l2:6x+(2m-1)y=5.当m为何值时,有:(1)l1∥l2?(2)l1⊥l2?【解析】 (1)由(m+2)(2m-1)=6(m+3),得m=4或m=-.当m=4时,l1:6x+7y-5=0,l2:6x+7y=5,即l1与l2重合;当m=-时,l1:-x+y-5=0,l2:6x-6y-5=0,即l1∥l2.故当m=-时,l1∥l2.(2)由6(m+2)+(m+3)(2m-1)=0,得m=-1或m=-.故当m=-1或m=-时,l1⊥l2.【例3】已知直线l的方程为3x+4y-12=0,求直线l'的方程,l'满足(1)过点(-1,3),且与l平行;(2)过点(-1,3),且与l垂直.【解析】(方法1)由题设l的方程可化为y=-x+3,∴l的斜率为-.(1)∵直线l'与l平行,∴l'的斜率为-.又∵直线l'过(-1,3),由点斜式知方程为y-3=-(x+1),即3x+4y-9=0.(2)由l'与l垂直,∴l'的斜率为,又过(-1,3),由点斜式可得方程为y-3=(x+1),即4x-3y+13=0.(方法2)(1)由l'与l平行,可设l'方程为3x+4y+m=0.将点(-1,3)代入上式得m=-9.∴所求直线方程为3x+4y-9=0.(2)由l'与l垂直,可设其方程为4x-3y+n=0.将(-1,3)代入上式得n=13.∴所求直线方程为4x-3y+13=0.【类题通法】与已知直线平行(垂直)的直线方程的求法(1)与直线Ax+By+C=0平行的直线方程可设为Ax+By+m=0(m≠C).(2)与直线Ax+By+C=0垂直的直线方程可设为Bx-Ay+m=0.【巩固练习3】过点(-1,3)且平行于直线x-2y+3=0的直线方程为( )A.2x+y-1=0 B.x-2y+7=0C.x-2y-5=0 D.2x+y-5=0解析:设直线方程式是x-2y+c=0,因为直线过点(-1,3)所以-1-6+c=0,解得c=7,故所求直线方程是x-2y+7=0.答案:B (四)操作演练 素养提升1.(多选)下列说法正确的是( )A.直线必过定点B.直线在轴上的截距为C.直线的倾斜角为60°D.过点且垂直于直线的直线方程为【答案】ABD【解析】可化为,则直线必过定点,故A正确;令,则,即直线在轴上的截距为,故B正确;可化为,则该直线的斜率为,即倾斜角为,故C错误;设过点且垂直于直线的直线的斜率为,因为直线的斜率为,所以,解得,则过点且垂直于直线的直线的方程为,即,故D正确;故选ABD.2.已知,则直线通过( ) 象限A.第一、二、三 B.第一、二、四 C.第一、三、四 D.第二、三、四3.直线的一般式方程为 . 4.若直线的倾斜角是,则实数是_______________.答案:1.ABD 2.A 3. 4. 【设计意图】通过练习巩固本节所学知识,通过学生解决问题的能力,感悟其中蕴含的数学思想,增强学生的应用意识。 (五)课堂小结,反思感悟 1.知识总结: 2.学生反思:(1)通过这节课,你学到了什么知识? (2)在解决问题时,用到了哪些数学思想? 【设计意图】通过总结,让学生进一步巩固本节所学内容,提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。完成教材:第66页 练习 第1,2,3题 第67 页 习题2.2 第1,8,12,13题
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