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    2.2.3 直线的一般式方程(教学设计)-【新教材精创】 2022-2023学年高二数学同步备课 (人教A版2019选择性必修第一册)

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    2020-2021学年2.2 直线的方程教案设计

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    这是一份2020-2021学年2.2 直线的方程教案设计,共11页。教案主要包含了做一做2,做一做3,类题通法,巩固练习1,巩固练习2,巩固练习3,设计意图等内容,欢迎下载使用。
    2.2.3直线的一般式方程教学设计本小节内容选自《普通高中数学选择性必修第一册》人教A版(2019)第二章《直线和圆的方程》的第二节《直线的方程》。以下是本单元的课时安排:第二章   直线和圆的方程课时内容2.1直线的倾斜角与斜率2.2直线的方程2.3 直线的交点坐标与距离公式所在位置教材第51教材第59教材第70  新教材内容分析直线的倾斜角与斜率从初中所学两点确定一条直线出发,引起学生对平面直角坐标系中的直线的几何要素的确定,是今后学习直线方程的必备知识。 在推导直线方程的点斜式时,根据直线这一结论,先猜想确定一条直线的条件,再根据猜想得到的条件求出直线的方程.充分体现坐标法建立方程的一般思路,为后续学习圆的方程及圆锥曲线的方程奠定基础.围绕两直线一般方程的系数的变化来揭示两直线方程联立解的情况,从而判定两直线的位置特点.点到直线的距离是从初中平面几何的定性作图,过渡到了解析几何的定量计算为以后直线与圆的位置关系和圆锥曲线的进一步学习奠定了基础,具有承前启后的重要作用. 核心素养培养通过直线的倾斜角和斜率的求解,以及在人们的生活、生产、科技中有着广泛的实际应用,发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养通过直线方程的求法,发展学生数学抽象、逻辑推理、直观想象和数学运算的核心素养。 通过直线交点的求法,距离公式的应用,发展学生数学抽象、逻辑推理、直观想象和数学运算的核心素养教学主线直线的方程的应用  学生亲身体验直线的一般式直线方程的求法,通过典型例子的分析和学生的自主探索活动,促使学生理解数学概念、结论逐步形成的过程,从而体会蕴涵在其中的数学思想方法。 1.了解直线的一般式方程的形式特征,理解直线的一般式方程与二元一次方程的关系培养数学抽象的核心素养2.能正确地进行直线的一般式方程与特殊形式的方程的转化提升数学运算的核心素养.3.能运用直线的一般式方程解决有关问题培养逻辑推理的核心素养.重点:了解二元一次方程与直线的对应关系,掌握直线的一般形式难点:能根据所给条件求直线方程,并能在几种形式间相互转化 (一)新知导入由下列各条件,写出直线的方程,并画出图形:(1)斜率是1,经过点A(1,8);(2)x轴和y轴上的截距分别是-7,7;(3)经过两点P1(-1,6),P2(2,9);(4)y轴上的截距是7,倾斜角是45°.同学们,根据前面我们学习的直线方程形式,分别利用点斜式、截距式、两点式和斜截式,可得到四种情况下的直线方程分别为(1)  y-8=x-1;(2)=1;(3);(4)y=x+7.如果我们画出这4直线的图象,你会惊奇地发现:4条直线是重合的.事实上,它们的方程都可以化简为x-y+7=0.这样前几种直线方程就有了统一的形式,这就是本节我们要学习的直线的一般式方程. (二)直线的一般式方程知识点1   一般式方程【探究1观察我们已经学习的直线的四个方程,点斜式yy0k(xx0),斜截式ykxb,两点式,截距式1,你能发现它们都是什么样的方程?提示都是关于xy的二元一次方程. 直线的一般式方程把关于xy的二元一次方程 AxByC0(其中AB不同时为0)叫做直线的一般式方程,简称一般式.点睛直线一般式方程的结构特征方程是关于xy的二元一次方程.方程中等号的左侧自左向右一般按xy常数的先后顺序排列.x的系数一般不为分数和负数.虽然直线方程的一般式有三个参数,但只需两个独立的条件即可求得直线的方程.【思考1平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于xy的二元一次方程表示吗?为什么?提示都可以.原因如下:(1)任意一条直线l,在其上任取一点P0(x0y0),当直线l的斜率为k(此时直线的倾斜角α≠90°),其方程为yy0k(xx0),这是关于xy的二元一次方程.(2)当直线l的斜率不存在,即直线l的倾斜角α 90°时,直线的方程为xx00,可以认为是关于xy的二元一次方程,此时方程中y的系数为0.方程yy0k(xx0)xx00都是二元一次方程,因此平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于xy的二元一次方程表示.【思考2任意一个关于xy的二元一次方程AxByC0(AB不同时为0)都表示一条直线吗?为什么?提示B0时,方程AxByC0可变形为y=-x,它表示过点(0,-),斜率为-的直线.当B0时,A0,方程AxByC0可变形为x=-,它表示过点(0),且垂直于x轴的直线.由上可知,关于xy的二元一次方程AxByC0(AB不同时为0)都表示一条直线.  【做一做】(教材P66练习1改编)过点A(3,2)B(4,3)的直线方程是(  )Axy10     Bxy10Cxy10  Dxy10解析:由两点式可得,过AB的直线方程为,即xy10.答案:D【做一做2 设直线l(m22m3)x(2m2m1)y2m60(m1),根据下列条件分别确定m的值:(1)直线lx轴上的截距为-3(2)直线l的斜率为1.解析(1)y0x(m22m30),由题知,=-3解得m3()m=-.(2)直线l的斜率为k=-1解得m.【做一做3(教材P655改编) 过点A(1,2),斜率为2的直线的一般式方程为__________答案:2xy40 (三)典型例题1.直线的一般式方程1.写出满足下列条件的直线的方程1)经过点,斜率是2)经过点,且与x轴垂直;3)斜率是,在y轴上的截距是74)经过两点;5)在y轴上的截距是2,且与x轴平行;6)在x轴、y轴上的截距分别是4 根据条件,选择恰当的直线方程的形式,最后化成一般式方程.【解析】1)经过点,斜率是;则直线方程为,即2)经过点,且与x轴垂直;则直线方程为3)斜率是,在y轴上的截距是7;则直线方程为,即4)经过两点;则斜率,所以直线方程为,即5)在y轴上的截距是2,且与x轴平行;则直线方程为6)在x轴、y轴上的截距分别是4.则直线方程为,即 【类题通法】直线的一般式方程的特征      求直线方程时,要求将方程化为一般式方程,其形式一般作如下设定:x的系数为正;系数及常数项一般不出现分数;一般按含x项、含y项、常数项的顺序排列.【巩固练习1已知ABC的三个顶点分别为A30),B21),C23),试求:1)边AC所在直线的方程;2BC边上的中线AD所在直线的方程;3BC边上的高AE所在直线的方程.【解析】1A30),C23),故边AC所在直线的方程为3xy+902BC边上的中点D02),故BC边上的中线AD所在直线的方程为2x3y+603BC边斜率k,故BC边上的高AE的斜率k2BC边上的高AE所在直线的方程为y2x+3),即2xy+60.  2.直线的平行与垂直2. (1)已知直线l12x(m1)y40与直线l2mx3y20平行,求m的值;(2)a为何值时,直线l1(a2)x(1a)y10与直线l2(a1)x(2a3)y20互相垂直?解析 (1):由l12x(m1)y40.   l2mx3y20.m0时,显然l1l2不平行.m0时,l1l2,则需.解得m2m=-3.m的值为2或-3.法二:令2×3m(m1),解得m=-3m2.m=-3时,l1xy20l23x3y20显然l1l2不重合,l1l2.同理当m2时,l12x3y40l22x3y20l1l2不重合,l1l2m的值为2或-3.(2):由题意,直线l1l21a0,即a1时,直线l13x10与直线l25y20,显然垂直.2a30,即a=-时,直线l1x5y20与直线l25x40不垂直.1a0,且2a30,则直线l1l2的斜率k1k2都存在,k1=-k2=-l1l2时,k1·k2=-1,即()·()=-1,所以a=-1.综上可知,当a1a=-1时,直线l1l2.法二:由直线l1l2所以(a2)(a1)(1a)(2a3)0,解得a±1.a±1代入方程,均满足题意.故当a1a=-1时,直线l1l2. 【类题通法】利用一般式解决直线平行与垂直问题的策略直线l1A1xB1yC10,直线l2A2xB2yC20(1)l1l2A1B2A2B10B1C2B2C1≠0(A1C2A2C1≠0)(2)l1l2A1A2B1B20.【巩固练习2已知直线l1:(m+2)x+(m+3)y-5=0l2:6x+(2m-1)y=5.m为何值时,:(1)l1l2?(2)l1l2?【解析】 (1)(m+2)(2m-1)=6(m+3),m=4m=-.m=4,l1:6x+7y-5=0,l2:6x+7y=5,l1l2重合;m=-,l1:-x+y-5=0,l2:6x-6y-5=0,l1l2.故当m=-,l1l2.(2)6(m+2)+(m+3)(2m-1)=0,m=-1m=-.故当m=-1m=-,l1l2.【例3已知直线l的方程为3x+4y-12=0,求直线l'的方程,l'满足(1)过点(-1,3),且与l平行;(2)过点(-1,3),且与l垂直.解析(方法1)由题设l的方程可化为y=-x+3,l的斜率为-.(1)直线l'l平行,l'的斜率为-.直线l'(-1,3),由点斜式知方程为y-3=-(x+1),3x+4y-9=0.(2)l'l垂直,l'的斜率为,又过(-1,3),由点斜式可得方程为y-3=(x+1),4x-3y+13=0.(方法2)(1)l'l平行,可设l'方程为3x+4y+m=0.将点(-1,3)代入上式得m=-9.所求直线方程为3x+4y-9=0.(2)l'l垂直,可设其方程为4x-3y+n=0.(-1,3)代入上式得n=13.所求直线方程为4x-3y+13=0.【类题通法】与已知直线平行(垂直)的直线方程的求法(1)与直线AxByC0平行的直线方程可设为AxBym0(mC)(2)与直线AxByC0垂直的直线方程可设为BxAym0.【巩固练习3过点(1,3)且平行于直线x2y30的直线方程为(  )A2xy10 Bx2y70Cx2y50 D2xy50解析设直线方程式是x2yc0,因为直线过点(1,3)所以-1-6+c=0,解得c=7,故所求直线方程是x2y70.答案B (四)操作演练  素养提升1.(多选)下列说法正确的是(    A.直线必过定点B.直线轴上的截距为C.直线的倾斜角为60°D.过点且垂直于直线的直线方程为【答案】ABD【解析】可化为,则直线必过定点,故A正确;令,则,即直线轴上的截距为,故B正确;可化为,则该直线的斜率为,即倾斜角为,故C错误;设过点且垂直于直线的直线的斜率为,因为直线的斜率为,所以,解得,则过点且垂直于直线的直线的方程为,即,故D正确;故选ABD.2.已知,则直线通过(  ) 象限A.第一、二、三 B.第一、二、四 C.第一、三、四 D.第二、三、四3.直线的一般式方程为     . 4.若直线的倾斜角是,则实数_______________.答案:1.ABD      2.A      3.    4.  【设计意图】通过练习巩固本节所学知识,通过学生解决问题的能力,感悟其中蕴含的数学思想,增强学生的应用意识。 (五)课堂小结,反思感悟 1.知识总结:  2.学生反思:1通过这节课,你学到了什么知识?                                                                                                                                                          2在解决问题时,用到了哪些数学思想?                                                                                                                                                                                 【设计意图】通过总结,让学生进一步巩固本节所学内容,提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力完成教材:第66  练习     123         67    习题2.2  1,8,12,13                                                                                                                                                                                                                   

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