高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册6.3 二项式定理课后复习题

6.3.2 二项式系数的性质  -B提高练

一、选择题

1．（2021·首都师范大学附属中学高二期末）在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】由题设知：只有第5项的二项式系数为最大，∴由对称性知：，而展开式通项，∴时，常数项为.

2．（2021·全国高二专题练习）已知，，则自然数等于（    ）

A．6 B．5 C．4 D．3

【答案】C

【详解】由题意，令，则，因为，所以，解得.故选：C.

3．（2021·江西九江一中高二月考）在的展开式中，只有第六项的二项式系数最大，且所有项的系数和为0，则含的项系数为（    ）

A．45 B．-45 C．120 D．-120

【答案】A

【详解】∵在的展开式中，只有第六项的二项式系数最大，

∴在的展开式有11项，即n=10；而展开式的所有项的系数和为0，

令x=1，代入，即，所以a= -1.

∴是展开式的通项公式为：，

要求含的项，只需10-2r=6，解得r=2，所以系数为.

4．（2021·全国高二单元测）已知(1＋2x)8展开式的二项式系数的最大值为a，系数的最大值为b，则的值为（    ）

A．              B．             C．            D．

【答案】A

【详解】由题意可得，又展开式的通项公式为，

设第项的系数最大，则，即，

求得或6，此时，，，故选：A．

5.（多选题）（2021·江苏南通市·高二月考）若的展开式中第项的二项式系数最大，则的可能值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABC

【详解】分以下三种情况讨论：

①展开式中第项和第项的二项式系数最大，则展开式共项，可得，得；

②展开式中只有第项的二项式系数最大，则展开式共项，可得，得；

③展开式中第项和第项的二项式系数最大，则展开式共项，可得，得.

因此，的可能值为、、.故选：ABC.

6．（多选题）（2021·湖南衡阳市八中高二月考）关于及其展开式，下列说法正确的是（    ）

A．该二项展开式中二项式系数和是 B．该二项展开式中第七项为

C．该二项展开式中不含有理项 D．当时，除以100的余数是1

【答案】BD

【详解】对于A，该二项展开式中二项式系数和是，故错误；

对于B，由于，即该二项展开式中第七项为，故正确．

对于C，该二项展开式中，最后一项为，是有理项，故错误．

对于D，当时，，除了最后一项（最后一项等于1），前面的所有项都能被100整除，即当时，除以100的余数是1，故正确．故选：BD.

二、填空题

7．（2021·福建厦门双十中学高二月考）如果的展开式中各项系数之和为4096，则展开式中的系数为________.

【答案】1215

【详解】由的展开式中各项系数之和为4096，

令x＝1得，解得n＝6；所以

令得：r＝2，从而得展开式中x的系数为。

8．（2021·全国高二专题练）若，则的值为________.

【答案】-1

【详解】因为，

令可得；令可得：；

故．

9．（2021·河南南阳中学高二月考）在的展开式中，各项系数的和为，二项式系数之和为，且是与的等差中项，则正整数的值为___________.

【答案】3

【详解】的展开式

令二项式中的得到展开式中的各项系数的和为，

又各项二项式系数的和，为，

根据题意得即，

解得或 (负值舍)，故.

10．（2021·湖北黄冈市高二期末）若函数，其中≤x≤，则的最大值为_______．

【答案】22021

【详解】令，则有，按的升幂排列，

，

，

两者相加时，的奇数次幂抵消，偶数次幂系数相同，

所以，则偶数次幂的最大值为1，

所以最大值为：

.

三、解答题

11．（2021·江苏省苏州第十中学校高二期中）已知在的展开式中，_________（填写条件前的序号）

条件①第5项的系数与第3项的系数之比是14：3；

条件②第2项与倒数第3项的二项式系数之和为55；

条件③.

（1）求展开式中二项式系数最大的项；

（2）求展开式中含的项.

【答案】（1）（2）

【详解】通项公式为，，

若填条件①，

（1）依题意得，即，

所以，整理得，

所以或（舍），

因为，所以的展开式共有项，

所以展开式中二项式系数最大的项是第6项，

所以.

（2）通项公式为，

令，得，

所以展开式中含的项为.

若填条件②，

（1）依题意得，所以，

所以，即，

所以或（舍），

因为，所以的展开式共有项，

所以展开式中二项式系数最大的项是第6项，

所以.

（2）通项公式为，

令，得，

所以展开式中含的项为.

若填条件③，

（1）依题意得，则，

所以，所以，

因为，所以的展开式共有项，

所以展开式中二项式系数最大的项是第6项，

所以.

（2）通项公式为，

令，得，

所以展开式中含的项为.

12．（2021·全国高二单元测）已知的展开式中第2项与第5项的二项式系数相等，求的展开式中：

（1）所有二项式系数之和；

（2）二项式系数最大的项；

（3）系数的绝对值最大的项.

【答案】（1）；（2）；（3）第项.

【详解】解：（1）由题意，解得.

二项式系数和为

（2）由于为偶数，所以的展开式中第6项的二项式系数最大，

即.

（3）设第项的系数的绝对值最大，

则

∴，得，即

∴，∴，

故系数的绝对值最大的是第4项，即：