北师大版高中数学必修第一册第一章预备知识课时训练含答案

§1　集　合

1.1　集合的概念与表示

基础巩固

知识点一:集合的含义

1.下列给出的对象中,能组成集合的是(　B　)

(A)一切很大数

(B)方程x2-1=0的实数根

(C)漂亮的小女孩

(D)好心人

解析:A选项,元素不确定,不能组成集合,排除A;

B选项,方程x2-1=0的实数根为±1,能组成集合,B正确;

C选项,元素不确定,不能组成集合,排除C;

D选项,元素不确定,不能组成集合,排除D.

故选B.

知识点二:元素与集合的关系

2.已知集合A={a-2,a2+4a,10},若-3∈A,则实数a的值为(　B　)

(A)-1     (B)-3

(C)-3或-1 (D)无解

解析:若-3∈A,可得当a-2=-3时,解得a=-1,此时A={-3,-3,10},不满足集合中元素的互异性,故a=-1应舍去;

当a2+4a=-3时,解得a=-1(舍去)或a=-3,此时A={-5,-3,10},满足题意.故实数a的值为-3.故选B.

3.集合M是由大于-2且小于1的实数构成的,则下列关系式正确的是(　D　)

(A)∈M   (B)0∉M

(C)1∈M   (D)-∈M

解析:>1,故A错;-2<0<1,故B错;1不小于1,故C错;-2<-<1,

故选D.

知识点三:集合的表示方法

4.下列集合不能用区间形式表示的是(　D　)

①A={1,2,3,4};②{x|x是三角形};③{x|x>1,且x∈Q};④;

⑤{x|2<x≤5,x∈N}.

(A)①②③ (B)③④⑤

(C)③⑤    (D)①②③④⑤

解析:集合A={1,2,3,4}中的元素是不连续的四个实数,故不能用区间表示;

所有三角形构成的集合只能用描述法表示,不能用区间表示;

集合{x|x>1,且x∈Q}中的元素不连续,不能用区间表示;

空集中不含任何元素,不能用区间表示;

集合{x|2<x≤5,x∈N}中的元素不连续,不能用区间表示.

所以不能用区间表示的有①②③④⑤.故选D.

5.能被2整除的所有正整数的集合,用描述法可表示为　　　　. 

答案:{x|x=2n,n∈N+}

6.集合{x∈N|∈N}用列举法可表示为　　　　. 

解析:由题意得,x-1是6的正约数,又6的正约数分别是1,2,3,6,

所以x的值分别是2,3,4,7.

答案:{2,3,4,7}

能力提升

7.设集合A={x|x2-2x=0},则下列表述正确的是(　D　)

(A){0}∈A (B)2∉A

(C){2}∈A (D)0∈A

解析:因为A={x|x2-2x=0}={0,2},所以0∈A,2∈A,A,C表示错,B错,D正确.故选D.

8.(多选题)用集合表示方程组的解集,下面正确的是(　BD　)

(A)(-1,2) (B){(x,y)|}

(C){-1,2} (D){(-1,2)}

解析:解得故选BD.

9.(多选题)由a2,2-a,4组成一个集合A,且集合A中含有3个元素,则实数a的取值可以是(　AC　)

(A)-1   (B)-2   (C)6 (D)2

解析:由题意得解得a≠±2且a≠1,

因此排除BD,故选AC.

10.设集合A={2,3,a2-3a,a++7},B={|a-2|,0},已知4∈A且4∉B,则实数a的取值集合为(　D　)

(A){-1,-2} (B){-1,2}

(C){-2,4} (D){4}

解析:当a2-3a=4时,可得a=4或a=-1.

若a=-1,则a++7=4,不合题意;

若a=4,则a++7=11.5,|a-2|=2,符合题意;

当a++7=4时,可得a=-1或a=-2.

若a=-1,则a2-3a=4,不合题意;

若a=-2,则|a-2|=4,不合题意.

综上所述,a=4.故选D.

11.设集合A={x|3x-1-m<0},若1∈A,则实数m的取值范围是　　　.

解析:因为3x-1-m<0,所以x<,

所以A={x|x<}.　

又因为1∈A,所以>1,所以m>2,

所以实数m的取值范围为(2,+∞).

答案:(2,+∞)

12.若a,b∈R,且a≠0,b≠0,则+的可能取值所组成的集合中元素的个数为　　　  　,所有元素的和为　　  　　. 

解析:当a,b同正时,+=+=1+1=2.

当a,b同负时,+=+=-1-1=-2.

当a,b异号时,+=0.

所以+的可能取值所组成的集合中元素共有3个,且3个元素的和为2+(-2)+0=0.

答案:3　0

13.根据要求写出下列集合.

(1)已知集合A={x∈N|∈N},用列举法表示集合A;

(2)已知方程组分别用描述法、列举法表示该集合;

(3)已知集合B={(x,y)|2x+y-5=0,x∈N,y∈N},用列举法表示该集合.

解:(1)因为∈N,则8-x可取的值有1,2,4,8,16,x的可能值有7,

6,4,0,-8.

因为x∈N,则x=7,6,4,0,

所以A={0,4,6,7}.

(2)方程组的解为

所以用描述法表示该集合为{(x,y)|x=1,y=2},用列举法表示该集合为{(1,2)}.

(3)当x=0时,y=5;当x=1时,y=3;

当x=2时,y=1,

所以用列举法表示该集合为{(0,5),(1,3),(2,1)}.

14.已知集合A={x∈R|ax2+2x+1=0},其中a∈R.

(1)若1是A中的一个元素,用列举法表示A;

(2)若A中至多有一个元素,试求a的取值范围.

解:(1)因为1∈A,所以a+2+1=0,得a=-3,

所以A={x∈R|-3x2+2x+1=0}={-,1}.

(2)当A中只有一个元素时,ax2+2x+1=0只有一个解,

所以a=0或

所以a=0或a=1.

当A中没有元素时,ax2+2x+1=0无解,所以解得a>1.

综上所述,a的取值范围为{a|a=0,或a≥1}.

应用创新

15.设数集A由实数构成,且满足:若x∈A(x≠1且x≠0),则∈A.

(1)若2∈A,试证明A中还有另外两个元素;

(2)集合A是否为双元素集合,并说明理由.

(1)证明:因为若x∈A,则∈A.

又因为2∈A,

所以=-1∈A.

因为-1∈A,

所以=∈A.

所以A中还有另外两个元素,分别为-1,.

(2)解:集合A不是双元素集合,理由如下:

因为x∈A,∈A,

所以∈A,且x≠,≠,x≠,

所以集合A中至少有3个元素,

所以集合A不是双元素集合.