北师大版高中数学必修第一册第五章函数应用课时训练含答案

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1.2　利用二分法求方程的近似解基础巩固知识点一:二分法的概念1.下面关于二分法的叙述中,正确的是(　B　)(A)用二分法可求所有函数零点的近似值(B)用二分法求方程的近似解时,可以精确到小数点后的任一位(C)二分法无规律可循,无法在计算机上完成(D)只能用二分法求函数的零点解析:用二分法求函数零点的近似值,需要有端点函数值符号相反的区间.故选项A错误;二分法是一种程序化的运算,可以无限求下去,C错误;求函数零点的方法还有方程法、函数图象法等,故D错误.故选B.2.下列函数图象与x轴都有公共点,其中不能用二分法求图中函数零点近似值的是(　A　)解析:A选项中函数零点两端函数值同号,不能用二分法求零点,BCD均可.故选A.3.用二分法求方程log2x+x=2的近似解时,可以取的一个区间是(　B　)(A)(,1) (B)(1,)(C)(,2) (D)(2,)解析:因为f(1)=0+1-2=-1<0,f()=log2-=log2-log2>0,所以方程log2x+x=2的解所在的区间为(1,).故选B.4.在用二分法求函数f(x)零点近似值时,第一次所取的区间是[-2,4],则第三次所取的区间可能是(　D　)(A)[1,4]     (B)[-2,1](C)[-2, ]     (D)[-,1]解析:因为第一次所取的区间是[-2,4],所以第二次所取的区间可能为[-2,1],[1,4],所以第三次所取的区间可能为[-2,-],[-,1],[1,],[,4].故选D.知识点二:二分法求近似解5.在用二分法求方程f(x)=0在[0,1]上的近似解时,经计算,f(0.625)<0,f(0.75)>0,f(0.687 5)<0,即得出方程的一个近似解为　　    　　.(精确度为0.1) 解析:因为f(0.625)<0,f(0.75)>0,f(0.687 5)<0,而|0.75-0.687 5|<0.1,所以方程的一个近似解为0.687 5.答案:0.687 5(答案不唯一)能力提升6.已知函数f(x)=2x-在区间(1,2)上有一个零点x0,如果用二分法求x0的近似值(精确度为0.01),则应将区间(1,2)至少等分的次数为(　C　)(A)5 (B)6 (C)7 (D)8解析:由于每等分一次,零点所在区间的长度变为原来的,则等分n次后的区间长度变为原来的,则由题可得<0.01,即2n>100>26,所以n>6,则至少等分的次数为7.故选C.7.华罗庚是20世纪我国伟大的数学家,以华氏命名的数学科研成果有“华氏定理”“华氏不等式”“华王方法”等.他除了数学理论研究,还在生产一线大力推广了“优选法”和“统筹法”.“优选法”是指研究如何用较少的试验次数,迅速找到最优方案的一种科学方法.在当前防疫取得重要进展的时刻,为防范机场带来的境外输入,某机场海关在对入境人员进行检测时采用了“优选法”提高检测效率:每16人为一组,把每个人抽取的鼻咽拭子分泌物混合检查,如果为阴性则全部放行;若为阳性,则对该16人再次抽检确认感染者.某组16人中恰有一人感染(鼻咽拭子样本检验将会是阳性),若逐一检测可能需要15次才能确认感染者.现在先把这16人均分为2组,选其中一组8人的样本混合检查,若为阴性则认定在另一组;若为阳性,则认定在本组.继续把认定的这组的8人均分为两组,选其中一组4人的样本混合检查……以此类推,最终从这16人中认定那名感染者需要经过检测的次数为(　B　)(A)3 (B)4 (C)6 (D)7解析:先把这16人均分为2组,选其中一组8人的样本混合检查,若为阴性则认定在另一组;若为阳性,则认定在本组,此时进行了1次检测.继续把认定的这组的8人均分为两组,选其中一组4人的样本检查,为阴性则认定在另一组;若为阳性,则认定在本组,此时进行了2次检测.继续把认定的这组的4人均分为两组,选其中一组2人的样本混合检查,为阴性则认定在另一组;若为阳性,则认定在本组,此时进行了3次检测.选认定的这组的2人中一人进行样本检查,为阴性则认定是另一个人;若为阳性,则认定为此人,此时进行了4次检测.所以,最终从这16人中认定那名感染者需要经过4次检测.故选B.8.(多选题)已知函数f(x)在区间(0,3)上有两个零点,且都可以用二分法求得,其图象是连续不断的,若f(0)>0,f(1)f(2)f(3)<0,则下列命题正确的是(　ABD　)(A)函数f(x)的两个零点可以分别在区间(0,1)和(1,2)内(B)函数f(x)的两个零点可以分别在区间(1,2)和(2,3)内(C)函数f(x)的两个零点可以分别在区间(0,1)和(2,3)内(D)函数f(x)的两个零点不可能同时在区间(1,2)内解析:因为f(0)>0,f(1)f(2)f(3)<0,所以f(3)>0,f(1)f(2)<0,若f(1)>0,f(2)<0,可得f(2)f(3)<0,f(1)f(2)<0,即此时函数f(x)的两个零点分别在区间(1,2)和(2,3)内,故B正确;若f(1)<0,f(2)>0,则f(0)f(1)<0,f(1)f(2)<0,即此时函数f(x)的两个零点分别在区间(0,1)和(1,2)内,故A正确.综上两种情况,可知选项C错误,D正确.故选ABD.9.用二分法求函数f(x)=3x-x-4的一个零点,其参考数据如下:f(1.600 0)=0.200f(1.587 5)=0.133f(1.575 0)=0.067f(1.562 5)=0.003f(1.556 2)=-0.029f(1.550 0)=-0.060根据此数据,可得方程3x-x-4=0的一个近似解(精确度为0.01)为　        　　. 解析:由题表知f(1.562 5)>0,f(1.556 2)<0,|1.562 5-1.556 2|=0.006 3<0.01,所以f(x)=3x-x-4的一个零点在区间(1.556 2,1.562 5)上,可得方程3x-x-4=0的一个近似解为1.56.答案:1.5610.某同学在借助计算器求“方程lg x=2-x的近似解(精确度为0.1)”时,设f(x)=lg x+x-2,算得f(1)<0,f(2)>0.在以下过程中,他用二分法又取了4个x的值,计算了其函数值的正负,并得出判断:方程的近似解是x≈1.8,那么他再取的x的4个值依次是　     　　   　.解析:第一次用二分法计算得区间(1.5,2),第二次得区间(1.75,2),第三次得区间(1.75,1.875),第四次得区间(1.75,1.812 5).答案:1.5,1.75,1.875,1.812 511.用二分法求方程2x+x=4在[1,2]内的近似解(精确度为0.2).参考数据:x1.1251.251.3751.51.6251.751.8752x2.182.382.592.833.083.363.67解:令f(x)=2x+x-4,则f(1)=2+1-4<0,f(2)=22+2-4>0,区间区间中点值xnf(xn)的值及符号(1,2)x1=1.5f(x1)=0.33>0(1,1.5)x2=1.25f(x2)=-0.37<0(1.25,1.5)x3=1.375f(x3)=-0.035<0因为|1.375-1.5|=0.125<0.2,所以2x+x=4在[1,2]内的近似解可取为1.375.12.已知函数f(x)=ln x+2x-6.(1)证明:f(x)有且只有一个零点;(2)求这个零点所在的一个区间,使这个区间的长度不大于.(1)证明:令x1>x2>0,则f(x1)-f(x2)=ln +2(x1-x2),且>1,x1-x2>0,所以f(x1)>f(x2),即f(x)=ln x+2x-6在(0,+∞)上是增函数,所以f(x)至多有一个零点.又f(2)=ln 2-2<0,f(3)=ln 3>0,所以f(2)·f(3)<0,即f(x)在(2,3)内有一个零点.所以f(x)在(0,+∞)上只有一个零点.(2)解:因为f(2)<0,f(3)>0,取x1==,f()=ln -1<0,所以f(3)f()<0,即f(x)的零点x0∈(,3).取x2==,则f()=ln ->0.所以f()f()<0.所以x0∈(,),又|-|=≤,所以满足题意的区间为(,).应用创新13.已知函数f(x)=3ax2+2bx+c,a+b+c=0,f(0)>0,f(1)>0,证明a>0,并利用二分法证明方程f(x)=0在区间[0,1]内有两个实根.证明:因为f(1)>0,所以3a+2b+c>0,即3(a+b+c)-b-2c>0.因为a+b+c=0,所以-b-2c>0,则-b-c>c,即a>c.因为f(0)>0,所以c>0,则a>0.在区间[0,1]内选取二等分点,则f()=a+b+c=a+(-a)=-a<0.因为f(0)>0,f(1)>0,所以函数f(x)在区间(0,)和(,1)上至少各有一个零点.又f(x)最多有两个零点,从而f(x)=0在[0,1]内有两个实根.