数学必修 第一册3.1.2 函数的单调性导学案

第2课时　函数的平均变化率

课程标准

理解函数的平均变化率与函数单调性的关系；了解直线斜率的概念；会用函数的平均变化率证明函数的增减性．

新知初探·自主学习——突出基础性

教 材 要 点

知识点一　直线的斜率

　一般地，给定平面直角坐标系中的任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，当x1≠x2时，称________为直线AB的斜率；当________时，称直线AB的斜率不存在．

知识点二　函数的平均变化率

1．一般地，若I是函数y＝f(x)的定义域的子集，对任意x1，x2∈I且x1≠x2，记y1＝f(x1)，y2＝f(x2)，＝，则：

(1)y＝f(x)在I上是增函数的充要条件是______0在I上恒成立；

(2)y＝f(x)在I上是减函数的充要条件是______0在I上恒成立．

一般地，当x1≠x2时，称＝为函数y＝f(x)在区间[x1，x2](x1＜x2时)或[x2，x1](x1＞x2时)上的________________________．

2．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的单调性为：

(1)当a＞0时，f(x)在____________上单调递减，在______________上单调递增，函数没有最大值，但有最小值________________；

(2)当a＜0时，f(x)在____________________上单调递增，在____________________上单调递减，函数没有最小值，但有最大值____________________.

基 础 自 测

1．直线l经过两点A(－1，3)，B(－1，6)，则直线l的斜率是(　　)

A．1    B．－1

C．    D．不存在

2．斜率为2的直线过(3，5)，(a，7)，(－1，b)三点，则a＋b等于(　　)

A．4    B．－7

C．1    D．－1

3．函数f(x)＝x2－3x－4在区间[0，2]上的最小值点为________，最大值为________.

4．如图是函数y＝f(x)的图象．

(1)函数f(x)在区间[－1，1]上的平均变化率为________；

(2)函数f(x)在区间[0，2]上的平均变化率为________．

　课堂探究·素养提升——强化创新性

题型1　三点共线问题

例1　已知平面上三点A、B、C，其中A(2，1)，B(3，2)，C(x，4)，则直线AB的斜率为________，若A、B、C三点共线，则x＝________．

教材反思

直线斜率的计算方法

(1)判断两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在；

(2)若两点的横坐标不相等，则可以用斜率公式k＝(其中x1≠x2)进行计算；

(3)判断三点共线的问题，就是由这三点任意构造两条直线，若构造的两条直线的斜率相等，则三点共线，否则此三点不共线．

跟踪训练1　(1)已知直线经过点A(0，4)和点B(1，2)，则直线AB的斜率为(　　)

A．3　　B．－2

C．2    D．不存在

(2)求证：A(－3，－5)，B(1，3)，C(5，11)三点共线．

题型2　求函数的平均变化率

例2　已知函数f(x)＝2x2＋1.

(1)求函数f(x)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率；

(2)求函数f(x)在区间[2，2.01]上的平均变化率；

(3)求当x0＝1，Δx＝时平均变化率的值．

方法归纳

求函数f(x)在[x1，x2]上的平均变化率的方法步骤是：

(1)先求Δx＝x2－x1；

(2)再求Δy＝f(x2)－f(x1)；

(3)由定义求出＝.

跟踪训练2　函数f(x)＝－2x2＋5在区间[2，2＋Δx]上的平均变化率为________．

题型3　用函数的平均变化率判断单调性

例3　证明函数f(x)＝在(0，＋∞)上是减函数．

状元随笔　用函数递增递减的充要条件不必关注x1，x2间的大小，只需x1≠x2即可．             

方法归纳

利用函数递增递减的充要条件证明单调性的步骤：

(1)设∀x1，x2∈I⊆定义域，且x1≠x2；

(2)计算；

(3)判断与0的关系；

(4)依据充要条件得结论．

跟踪训练3　证明f(x)＝是定义域上的增函数．

题型4　一元二次函数的最值

例4　(1)函数f(x)＝－2x2＋x＋1在区间[－1，1]上最小值点为________，最大值为________；

(2)f(x)＝x2－2ax＋1，试求函数在区间[0，2]上的最值．

方法归纳

一元二次函数的最值

(1)不含参数的一元二次函数的最值配方或利用公式求出对称轴，根据对称轴和定义域的关系确定最值点，代入函数解析式求最值．

(2)含参数的一元二次函数的最值以一元二次函数图象开口向上、对称轴为x＝m，区间[a，b]为例，

当开口向下、区间不是闭区间等时，类似方法进行讨论，其实质是讨论对称轴与区间的位置关系．

跟踪训练4　已知函数f(x)＝x2－2ax＋a，

(1)当a＝2时，求函数f(x)在[0，3]上的最大值与最小值；

(2)若a<0，求使函数f(x)＝x2－2ax＋a的定义域为[－1，1]，值域为[－2，2]的a的值．

第2课时　函数的平均变化率

新知初探·自主学习

[教材要点]

知识点一

　x1＝x2

知识点二

1．(1)＞　(2)＜　平均变化率

2．(1)

　f＝

(2)　f＝

[基础自测]

1．答案：D

2．解析：由题意得2＝＝，∴a＝4，b＝－3，∴a＋b＝1.

答案：C

3．解析：函数的对称轴为x＝，开口向上，所以最小值点为，最大值为f(0)＝－4.

答案：　－4

4．解析：(1)函数f(x)在区间[－1，1]上的平均变化率为＝＝.

(2)由函数f(x)的图象知，f(x)＝所以函数f(x)在区间[0，2]上的平均变化率为＝＝.

答案：(1)　(2)

课堂探究·素养提升

例1　【解析】　直线AB的斜率为＝1，因为A、B、C三点共线，所以AB与BC斜率相等，即＝1，解得x＝5.

【答案】　1　5

跟踪训练1　解析：(1)直线AB的斜率为＝－2，故选B.

(2)证明：直线AB的斜率为＝2，直线BC的斜率为＝2，因此A，B，C三点共线．

答案：(1)B　(2)见解析

例2　【解析】　(1)由已知得Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)

＝－1＝2Δx(2x0＋Δx)，

∴＝＝4x0＋2Δx.

(2)由(1)可知＝4x0＋2Δx，当x0＝2，Δx＝0.01时，＝4×2＋2×0.01＝8.02.

(3)由(1)可知＝4x0＋2Δx，当x0＝1，Δx＝时，＝4×1＋2×＝5.

跟踪训练2　解析：∵Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝－2(2＋Δx)2＋5－(－2×22＋5)＝－8Δx－2(Δx)2，∴＝－8－2Δx，即平均变化率为－8－2Δx.

答案：－8－2Δx

例3　【证明】　设∀x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2，则＝＝＝＝，

＞0，

∴＜0，∴f(x)＝在(0，＋∞)上是减函数．

跟踪训练3　证明：函数f(x)＝的定义域为[0，＋∞)，

设∀x1，x2∈[0，＋∞)且x1≠x2，

则＝＝，

＝＝＞0，

∴函数f(x)＝在定义域[0，＋∞)上是增函数．

例4　【解析】　(1)函数f(x)＝－2x2＋x＋1的对称轴为x＝－＝，函数的图象开口向下，所以函数的最小值点为－1，最大值为f＝－2×＋1＝.

(2)函数的对称轴为x＝a，

①当a<0时，f(x)在区间[0，2]上是增函数，

所以f(x)min＝f(0)＝1；

当0≤a≤2时，f(x)min＝f(a)＝－a2＋1；

当a>2时，f(x)在区间[0，2]上是减函数，

所以f(x)min＝f(2)＝5－4a，

所以f(x)min＝

②当a≤1时，f(x)max＝f(2)＝5－4a；

当a>1时，f(x)max＝f(0)＝1，

所以f(x)max＝

答案：(1)－1　　(2)见解析

跟踪训练4　解析：(1)当a＝2时，f(x)＝x2－4x＋2的图象关于x＝2对称，

因为x∈[0，3]，所以f(x)在[0，2]上单调递减，在[2，3]上单调递增，

所以f(x)的最小值为f(2)＝－2，

又因为f(0)＝2，f(3)＝－1，

所以f(x)的最大值为2.

(2)当－1≤a<0时，有

即解得a＝－1；

当a＜－1时，

所以解得a＝－1，舍去

综上所述，a＝－1.