高中湘教版（2019）2.1 相等关系与不等关系导学案及答案

2．1.3　基本不等式的应用

教材要点

要点　基本不等式与最值

已知x，y都为正数，则

(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，和x＋y有________；

(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，积xy有________．

状元随笔　利用基本不等式求最值要牢记三个关键词：一正、二定、三相等．

(1)一正：各项必须为正．

(2)二定：各项之和或各项之积为定值．

(3)三相等：必须验证取等号时条件是否具备．

题型1　利用基本不等式求最值

例1　(1)已知正数x，y满足x＋y＝4，求的最小值．

(2)已知＝1(x>0，y>0)，求x＋y的最小值．

方法归纳

应用基本不等式解此类题的关键是“1”的整体代入的变形技巧．

跟踪训练1　(1)若a>0，b>0，a＋3b＝1，则的最小值为(　　)

A．2    B．2

C．4    D．3

(2)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是________.

题型2　利用基本不等式解决恒成立问题

例2　已知a＞0，b＞0，若不等式恒成立，则m的最大值等于(　　)

A．10    B．9

C．8    D．7

方法归纳

恒成立问题常采用分离参数的方法求解，若a≤y恒成立，则a≤ymin；若a≥y恒成立，则a≥ymax.将问题转化为求y的最值问题，可能会用到基本不等式．

跟踪训练2　已知两个正数x，y满足x＋y＝4，则使不等式≥m恒成立的实数m的范围是________．

题型2　利用基本不等式解决实际问题

例3　某厂家举行大型的促销活动，经测算某产品当促销费用为x万元时，销售量P万件满足P＝3－(其中0≤x≤2)．现假定生产量与销售量相等，已知生产该产品P万件还需投入成本(10＋2P)万元(不含促销费用)，产品的销售价格定为(4＋)万元/万件．

(1)将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；

(2)当促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大利润．

方法归纳

利用基本不等式解决实际问题的步骤

解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识(函数及不等式性质等)解决问题．用基本不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：

(1)理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数．

(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题．

(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值．

(4)正确写出答案．

跟踪训练3　2016年11月3日20点43分我国长征运载火箭在海南文昌发射中心成功发射，它被公认为我国已从航天大国向航天强国迈进的重要标志．长征五号运载火箭的设计生产采用了很多新材料，甲工厂承担了某种材料的生产，并以x千克/时的速度匀速生产(为保证质量要求1≤x≤10)，每小时可消耗A材料kx2＋9千克，已知每小时生产1千克该产品时，消耗A材料10千克．

(1)设生产m千克该产品，消耗A材料y千克，试把y表示为x的函数．

(2)要使生产1 000千克该产品消耗的A材料最少，工厂应选取何种生产速度？并求消耗的A材料最少为多少？

(消耗的A材料＝生产时间×每小时消耗的A材料．)

易错辨析　多次使用基本不等式求最值时忽略等号同时成立的条件

例4　已知实数m>0，n>0，且满足2m＋n＝2，则的最小值是________．

解析：∵m>0，n>0，2m＋n＝2，∴m＋＝1.∴＝·＝5＋≥5＋2＝9.当且仅当＝，即m＝，n＝时取等号．

答案：9

易错警示

课堂十分钟

1．若正实数a，b满足a＋b＝1，则的最小值为(　　)

A．    B．2    C．5    D．4

2．当x＞1时，不等式x＋≥a恒成立，则实数a的取值范围是(　　)

A．{a|a≤2}    B．{a|a≥2}    C．{a|a≥3}    D．{a|a≤3}

3．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品(　　)

A．60件    B．80件    C．100件    D．120件

4．已知y＝4x＋(x＞0，a＞0)在x＝3时取得最小值，则a＝________.

5．某呼吸机生产企业计划投资固定成本500万元引进先进设备，用于生产救治新冠患者的无创呼吸机，需要投入成本f(x)(单位：万元)与年产量x(单位：百台)的函数关系式为f(x)＝，据以往出口市场价格，每台呼吸机的售价为3万元，且依据国外疫情情况，预测该年度生产的无创呼吸机能全部售完．

(1)求年利润g(x)(单位：万元)关于年产量x的函数解析式(利润＝销售额－投入成本－固定成本)；

(2)当年产量为多少时，年利润最大？并求出最大年利润．

2．1.3　基本不等式的应用

新知初探·课前预习

要点

　最小值2　最大值

题型探究·课堂解透

例1　解析：(1)＝·＝，当且仅当＝，即x＝4－4，y＝8－4时取等号．

(2)x＋y＝(x＋y)·＝3＋≥3＋2，当且仅当＝，即x＝1＋，y＝2＋时取等号．

跟踪训练1　解析：(1)∵a>0，b>0，a＋3b＝1，∴＝·(a＋3b)＝2＋≥2＋2＝2＋2＝4.当且仅当a＝3b时等号成立，所以的最小值为4.

(2)∵x＋3y＝5xy，x>0，y>0，∴＝1，

∴3x＋4y＝(3x＋4y)·＝＋2＝5，

当且仅当＝，即x＝2，y＝1时取等号．

答案：(1)C　(2)5

例2　解析：∵a＞0，b＞0

∴等价于(2a＋b)≥m

又＝5＋≥5＋2＝9，

当且仅当＝，即a＝b时取等号．

∴m≤9.故选B.

答案：B

跟踪训练2　解析：∵x>0，y>0，x＋y＝4，∴＝·(x＋y)＝＝(5＋4)＝.当＝即x＝，y＝时取等号，∴的最小值是.∴m≤.

答案：m≤

例3　解析：(1)当促销费用为x万元时，

付出的成本是：x＋10＋2

销售收入是：，

故y＝×(4＋)－

整理可得y＝16－，0≤x≤2.

(2)根据(1)中所求，

y＝16－≤16－(2－1)＝16－3＝13，当且仅当x＝1时取得最大值．

故当促销费用投入1万元时，厂家的利润最大，最大利润为13万元．

跟踪训练3　解析：(1)由题意，得k＋9＝10，即k＝1.

生产m千克该产品需要的时间是.

所以y＝(x2＋9)＝m，1≤x≤10.

(2)由(1)知，生产1 000千克该产品消耗的A材料为：

y＝1 000≥1 000×2＝6 000

(当且仅当x＝，即x＝3时等号成立)

故工厂应选取3千克/时的生产速度，消耗的A材料最少，最少为6 000千克．

[课堂十分钟]

1．解析：因为正实数a，b满足a＋b＝1，

所以＝＝＋3≥2＋3＝5，

当且仅当b＝3a＝时，取等号，

所以的最小值为5.故选C.

答案：C

2．解析：∵当x>1时，不等式x＋≥a恒成立，即a≤x＋对一切实数x>1均成立，由于x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当x＝2时取等号，故x＋的最小值等于3，∴a≤3.故选D.

答案：D

3．解析：设每件产品的平均费用为y元，由题意得y＝≥2＝20.

当且仅当＝(x>0)，即x＝80时“＝”成立．故选B.

答案：B

4．解析：y＝4x＋≥2 ＝4(x>0，a>0)，当且仅当4x＝，即x＝时等号成立，此时y取得最小值4.又由已知x＝3时，y的最小值为4，所以＝3，即a＝36.

答案：36

5．解析：(1)当0<x<20时，g(x)＝300x－(5x2＋150x)－500＝－5x2＋150x－500；

当x≥20时，g(x)＝300x－＋1 700－500＝1 200－.

所以g(x)＝

 (2)当0<x<20时，g(x)＝－5x2＋150x－500＝－5×(x－15)2＋625，

故当x＝15时，g(x)取得最大值g(15)＝－5×(15－15)2＋625＝625；

当x≥20时，∵x＋≥2＝160，

当且仅当“x＝”，即“x＝80”时等号成立，

∴g(x)＝1 200－≤1 200－160＝1 040，

即当x＝80时，g(x)取得最大值g(80)＝1 040，

综上所述：当年产量为8000台时，年利润最大，且最大年利润为1040万元．