高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.5 函数的应用（二）当堂达标检测题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.5 函数的应用（二）当堂达标检测题，共11页。试卷主要包含了104)y,故y=lg1，8+1等内容，欢迎下载使用。

选题明细表
基础巩固
1.某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%,要增长到原来的x倍,需经过y年,则函数y=f(x)的图象大致是( D )
解析:设该林区的森林原有蓄积量为a,由题意知,ax=a(1+0.104)y,故y=lg1.104x(x≥1),所以y=f(x)的图象大致为D中图象.故选D.
2.(2021·四川泸州月考)尽管目前人类还无法准确预报地震,但科学家们通过研究,已经对地震有所了解.例如,地震释放出的能量E(单位:焦耳)与地震级数M之间的关系式为lg E=4.8+1.5M.若某次地震释放出的能量是另一次地震释放出的能量的300倍,则两次地震的震级数大约相差(参考数据:lg 3≈0.5)( B )
A.0.5 B.1.7 C.2 D.2.5
解析:设某次地震释放出的能量为E2,另一次为E1,
某次地震级数为M2,另一次为M1,
故E2=300E1,
代入关系式lg E=4.8+1.5M可得,
lg E2=4.8+1.5M2,lg E1=4.8+1.5M1,
故lg E2-lg E1=1.5(M2-M1),
即lgE2E1=1.5(M2-M1),
因为E2=300E1,
所以1.5(M2-M1)=lg 300=lg 3+lg 100=lg 3+2≈2.5,
所以M2-M1≈2.51.5≈1.7.故选B.
3.已知某种食品的保鲜时间y(单位:h)与储藏温度x(单位:℃)之间满足函数关系y=a·2b x.若该食品在4 ℃时的保鲜时间为192 h,在12 ℃时的保鲜时间为48 h,则该食品在28 ℃时的保鲜时间为( B )
A.2 h B.3 h C.4 h D.6 h
解析:由题可得,a·24b=192,①
a·212b=48,②
②式除以①式,得28b=14,则a·228b=a·212b+16b=a·212b·(28b)2=48×116=3.故选B.
4.某实验室开发一种新的抗病毒试剂,试剂在血液中的浓度(单位:
ml/L)与时间(单位:h)的关系为y=et-1,0≤t≤1,(12) t-3,t>1,如果试剂浓度不低于0.25 ml/L,则认为还有药效,则该试剂的药效持续时间约为(参考数据:ln 5≈1.6,ln 2≈0.7)( C )
A.3.6 hB.4.1 hC.4.8 hD.5 h
解析:当0≤t≤1时,由et-1≥0.25,得
t≥ln54=ln 5-2ln 2≈1.6-2×0.7=0.2,
即0.2≤t≤1;
当t>1时,由(12) t-3≥0.25=(12) 2,得t-3≤2,即1综上,0.2≤t≤5,
所以该试剂的药效持续时间约为5-0.2=4.8(h).故选C.
5.一个容器装有细沙a cm3,细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地漏出,t min后剩余的细沙量为y=ae-bt(单位:cm3),经过8 min后发现容器内还有一半的沙子,则再经过 min,容器中的沙子只有开始时的八分之一.
解析:依题意,有a·e-b·8=12a,
所以b=18ln 2,则y=a·e-t8ln2.
若容器中的沙子只有开始时的18,
则有a·e-t8ln2=18a,解得t=24,
所以再经过24-8=16 min容器中的沙子只有开始时的八分之一.
答案:16
6.某一处的声强级,是指该处的声强度I(单位:W/m2)与基准值I0=
10-12W/m2的比值的常用对数,其单位为贝尔.实际生活中一般用1贝尔的十分之一,即分贝(dB)来作为声强级的单位,公式为声强级y=
10lgII0.如果某工厂安静环境中一台机器(声源)单独运转时,发出的噪声声强级为80分贝,那么两台相同的机器一同运转时(声强度为原来的2倍),发出的噪声声强级为 分贝.(精确到0.1分贝)
解析:根据题意,80=10lgI10-12⇒I10-12=108⇒I=10-4,则两台相同的机器一同运转时,发出的噪声声强级10lg2I10-12=10lg2×10-410-12=10·lg(2×108)=
80+lg 1 024≈83.0(分贝).
答案:83.0
能力提升
7.药物治疗作用与血液中药物浓度(简称血药浓度)有关,血药浓度C(t)(单位:mg/mL)随时间t(单位:h)的变化规律可近似表示为C(t)=
C0·e-λt,其中C0表示第一次静脉注射后人体内的初始血药浓度,λ表示该药物在人体内的衰减常数.已知某病人第一次注射一种药剂1 h后测得血药浓度为1.2×10-3 mg/mL,2 h后测得血药浓度为0.8×
10-3 mg/mL,为了达到预期的治疗效果,当血药浓度为0.4×10-3 mg/mL时需进行第二次注射,则第二次注射与第一次注射的时间间隔约为(参考数据:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1)( C )
A.3.0 h B.3.5 h C.3.7 h D.4.2 h
解析:由题意得C0e-λ=1.2×10-3,C0e-2λ=0.8×10-3,两式相除,得λ=ln32,把λ=ln32代入C0e-λ=1.2×10-3,解得C0=1.8×10-3,所以C(t)=0.001 8·e-tln 32,令C(t)=0.4×10-3,得0.001 8·e-tln 32=0.4×10-3,解得t=2ln3-ln2ln3-ln2,
由换底公式得t=2ln3-ln2ln3-ln2=2lg3-lg2lg3-lg2,
所以t=2lg3-lg2lg3-lg2≈2×0.477 1-0.301 00.477 1-0.301 0≈3.7.
故选C.
8.(多选题)为预防流感病毒感染,某学校每天定时对教室进行喷洒消毒,教室内每立方米空气中的含药量y(单位:mg)随时间x(单位:h)的变化情况如图所示.在药物释放过程中,y与x成正比,药物释放完毕后,y与x的关系式为y=(18) x-a(a为常数),则( AD )
A.当0≤x≤0.2时,y=5x
B.当x>0.2时,y=(18) x-0.1
C.2330 h后,教室内每立方米空气中的含药量可降低到0.25 mg以下
D.1315 h后,教室内每立方米空气中的含药量可降低到0.25 mg以下
解析:当0≤x≤0.2时,设y=kx,则1=0.2k,故k=5,所以y=5x,故A
正确;
当x>0.2时,把(0.2,1)代入y=(18) x-a,
得(18) 0.2-a=1,所以a=0.2,
则y=(18) x-0.2,故B错误;
令(18) x-0.2<0.25,得(12) 3x-0.6<(12) 2,
解得x>1315,故C错误,D正确.故选AD.
9.已知某种药物在血液中以每小时20%的比例衰减.现给某病人静脉注射了该药物2 500 mg,设经过x h后,药物在病人血液中的量为y mg.
(1)y与x的关系式为 ;
(2)当该药物在病人血液中的量保持在1 500 mg以上时,才有疗效;低于500 mg时,病人就有危险.则要使病人没有危险,再次注射该药物的时间不能超过 h.(精确到0.1)
(参考数据:0.20.3≈0.6,0.82.3≈0.6,0.87.2≈0.2,0.89.9≈0.1)
解析:(1)由题意知,该种药物在血液中以每小时20%的比例衰减,给某病人注射了该药物2 500 mg,经过x h后,药物在病人血液中的量为y=2 500×(1-20%)x=2 500×0.8x(mg),即y与x的关系式为y=
2 500×0.8x.
(2)因为该药物在病人血液中的量保持在1 500 mg以上时,才有疗效;低于500 mg时,病人就有危险,所以令2 500×0.8x≥500,即
0.8x≥0.2.
因为0.87.2≈0.2,y=0.8x是减函数,
所以x≤7.2,
所以要使病人没有危险,再次注射该药物的时间不能超过7.2 h.
答案:(1)y=2 500×0.8x (2)7.2
10.某商业公司为全面激发每一位职工工作的积极性、创造性,确保当年超额完成销售任务,年初该公司制定了一个激励销售人员的奖励方案,每季度销售利润不超过15万元时,则按其销售利润的10%进行奖励,当季销售利润超过15万元时,若超过部分为A万元,则超过部分按y=2lg5(A+1)进行奖励,没超过部分仍按季销售利润的10%进行奖励,记奖金总额为y(单位:万元),季销售利润为x(单位:万元).
(1)请写出该公司激励销售人员的奖励方案的函数表达式;
(2)如果业务员李某在本年的第三季度获得5.5万元的奖金,那么,他在该季度的销售利润是多少万元?
解:(1)因为当销售利润不超过15万元时,按销售利润的10%进行
奖励;
当销售利润超过15万元时,若超过部分为A万元,则超出部分按2lg5(A+1)进行奖励,
所以当0当x>15时,y=1.5+2lg5(x-14),
所以该公司激励销售人员的奖励方案的函数模型为y=
0.1x,015.
(2)因为01.5,
所以x>15,
所以1.5+2lg5(x-14)=5.5,解得x=39,
所以李某在该季度的销售利润是39万元.
11.目前某县有100万人,经过x年后为y万人.如果年平均增长率是1.2%,请回答下列问题:(参考数据:1.01210≈1.126 7,1.01211≈
1.140 2,lg 1.2≈0.079,lg 1.012≈0.005)
(1)写出y关于x的函数解析式;
(2)计算10年后该县的人口总数;(精确到0.1万人)
(3)计算大约多少年后该县的人口总数将达到120万.(精确到1年)
解:(1)由题意,y关于x的函数解析式为y=100(1+1.2%)x(x∈N*).
(2)当x=10时,y=100×(1+1.2%)10=100×1.01210≈112.7.
故10年后该县约有112.7万人.
(3)设x年后该县的人口总数为120万,
即100×(1+1.2%)x=120,
解得x=lg1.012120100≈16.
故大约16年后该县的人口总数将达到120万.
应用创新
12.芦荟是一种经济价值很高的观赏、食用植物,不仅可美化居室、净化空气,又可美容保健,因此深受人们欢迎,在国内占有很大的市场.某人准备进军芦荟市场,栽培芦荟,为了了解行情,进行市场调研,从4月1日起,芦荟的种植成本Q(单位:元/10 kg)与上市时间t(单位:天)的数据情况如表
(1)根据表中数据,从下列函数中选取一个最能反映芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系:Q=at+b,Q=at2+bt+c,Q=a·bt,Q=algb t,并说明理由;
(2)利用你选择的函数,求芦荟种植成本最低时的上市天数及最低种植成本.
解:(1)由所提供的数据可知,刻画芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数不可能是常数函数,若用函数Q=at+b,Q=a·bt,Q=algb t中的任意一个来反映时都应有a≠0,且上述三个函数均为单调函数,这与表格所提供的数据不符合,所以应选用二次函数Q=at2+bt+c进行描述.将表格所提供的三组数据分别代入函数Q=at2+bt+c,可得150=2 500a+50b+c,108=12 100a+110b+c,150=62 500a+250b+c,
解得a=1200,b=-32,c=4252,
所以刻画芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数表达式为Q=1200t2-32t+4252.
(2)当t=--322×1200=150(天)时,芦荟种植成本最低为Q=1200×1502-32×
150+4252=100(元/10 kg).
知识点、方法
题号
利用已知函数模型解实际问题
2,3,4,5,6
自建确定性函数模型解实际问题
1,9,10,11
函数模型的综合应用
7,8,12
t
50
110
250
Q
150
108
150