人教A版高中数学必修第一册综合检测卷一含答案

综合检测卷一

一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.设集合A={x|2x-1≥1},B={y|y=log3x,x∈A},则∁BA等于(　B　)

(A)(0,1) (B)[0,1)

(C)(0,1] (D)[0,1]

解析:由题得A={x|2x-1≥20}={x|x≥1},B={y|y≥0},

所以∁BA={x|0≤x<1}.故选B.

2.设函数f(x)=则f(-3)+f(log23)等于(　B　)

(A) (B)

(C) (D)10

解析:f(-3)=log24=2,

f(log23)==,

所以f(-3)+f(log23)=2+=.

故选B.

3.函数f(x)=ax-b的图象如图所示,其中a,b为常数,则下列结论正确的是(　　)

(A)a>1,b<0    (B)a>1,b>0

(C)0<a<1,b>0 (D)0<a<1,b<0

解析:从曲线的变化趋势,可以得到函数f(x)为减函数,从而有0<a<1;从曲线位置看,是由函数y=ax(0<a<1)的图象向左平移-b个单位长度得到,所以-b>0,即b<0.故选D.

4.已知正实数x,y满足x+2y=2xy,则x+y的最小值为(　D　)

(A)4 (B)

(C) (D)+

解析:因为正实数x,y满足x+2y=2xy,

所以=2,即+=2,

所以x+y=()·(+)=+1++≥+2=+,

当且仅当x2=2y2时,等号成立.

故选D.

5.sin θ·tan θ<0是角θ为第二或第三象限角的(　A　)

(A)充要条件

(B)充分不必要条件

(C)必要不充分条件

(D)既不充分又不必要条件

解析:由题意可知,角θ的终边不在坐标轴上.

①若角θ为第一象限角,则sin θ>0,tan θ>0,

则sin θ·tan θ>0;

②若角θ为第二象限角,则sin θ>0,tan θ<0,

则sin θ·tan θ<0;

③若角θ为第三象限角,则sin θ<0,tan θ>0,

则sin θ·tan θ<0;

④若角θ为第四象限角,则sin θ<0,tan θ<0,

则sin θ·tan θ>0.

所以当sin θ·tan θ<0时,角θ为第二或第三象限角.

因此,sin θ·tan θ<0是角θ为第二或第三象限角的充要条件.

故选A.

6.已知函数f(x)=2x3+3x(x∈R),若不等式f(2m+mt2)+f(4t)<0对任意实数t≥1恒成立,则实数m的取值范围为(　C　)

(A)(-∞,-)∪(,+∞)

(B)(-∞,)

(C)(-∞,-)

(D)(-2,-)

解析:因为f(x)的定义域为R,

且f(-x)=-2x3-3x=-f(x),

所以f(x)是奇函数,且f(x)在R上单调递增,

则不等式f(2m+mt2)+f(4t)<0等价于f(2m+mt2)<-f(4t)=f(-4t),

所以2m+mt2<-4t,即m<-对t≥1恒成立,

因为-=-≥-=-,

当且仅当t=,即t=时等号成立,

所以m<-.

故选C.

7.若将函数f(x)=sin(2x+)图象上的每一个点都向左平移个单位长度,得到g(x)的图象,则函数g(x)的单调递增区间为(　A　)

(A)[kπ+,kπ+](k∈Z)

(B)[kπ-,kπ+](k∈Z)

(C)[kπ-,kπ-](k∈Z)

(D)[kπ-,kπ+](k∈Z)

解析:由题可知g(x)=sin[2(x+)+]=sin(2x+π)=-sin 2x,

令+2kπ≤2x≤+2kπ(k∈Z),

解得+kπ≤x≤+kπ(k∈Z),

所以g(x)的单调递增区间为[kπ+,kπ+](k∈Z).

故选A.

8.a克糖水中含有b克糖,糖的质量与糖水的质量比为,这个质量比决定了糖水的甜度,如果再添加m克糖,生活经验告诉我们糖水会变甜(仅考虑未达饱和度情况),对应的不等式为>(a>b>0,m>0).若x1=log32,x2=log1510,x3=log4520,则(　B　)

(A)x1<x2<x3 (B)x1<x3<x2

(C)x3<x1<x2 (D)x3<x2<x1

解析:因为x1=log32,x2=log1510,x3=log4520,

所以x1=,x2==,

x3=,

根据题意当a>b>0,m>0时,>成立,

又lg 3>lg 2>0,lg 5>0,

所以>,>,

即x2>x1,x3>x1.

又x2-x3=-

=>0,

所以x2>x3,

所以x1<x3<x2.

故选B.

二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求,全部选对得5分,有选错的得0分,选对但不全的得2分)

9.已知实数x,y满足<,则下列关系式中恒成立的是(　BD　)

(A)sin x>sin y (B)e2x+1>e2y+1

(C)< (D)x3>y3

解析:因为<,

所以x>y.

A.当x=π,y=0时,显然符合x>y,但sin x>sin y不成立,故本关系式不恒成立.

B.y=ex在R上是增函数,故e2x+1>e2y+1,故本关系式恒成立.

C.当x=π,y=0时,显然符合x>y,但没有意义,故本关系式不恒

成立.

D.因为y=x3在R上是增函数,

所以x3>y3,故本关系式恒成立.

故选BD.

10.已知f(x)=角α的终边经过点(1,2),则下列结论正确的是(　AC　)

(A)f(cos α)=-1 (B)f(sin α)=1

(C)f(f(cos α))= (D)f(f(sin α))=2

解析:因为角α的终边经过点(1,2),

所以sin α=,cos α=,

所以f(cos α)=f()=log3=-1,

f(sin α)=f()=log3<0,

所以f(f(cos α))=f(-1)=2-1=,

f(f(sin α))=.

故选AC.

11.已知符号函数sgn(x)=下列说法正确的是(　ABD　)

(A)函数y=sgn(x)是奇函数

(B)对任意的x>1,sgn(ln x)=1

(C)函数y=ex·sgn(-x)的值域为(-∞,1)

(D)对任意的x∈R,|x|=x·sgn(x)

解析:A.由函数的图象可知函数y=sgn(x)是奇函数,

所以该选项正确.

B.因为x>1,

所以ln x>0,

所以对任意的x>1,sgn(ln x)=1,

所以该选项正确.

C.当x>0时,sgn(-x)=-1,因为此时ex>1,

所以y=ex·sgn(-x)的值域为(-∞,-1);

当x=0时,sgn(-x)=0,因为此时ex=1,

所以y=ex·sgn(-x)的值域为{0};

当x<0时,sgn(-x)=1,因为此时0<ex<1,

所以y=ex·sgn(-x)的值域为(0,1),

所以函数y=ex·sgn(-x)的值域为(-∞,-1)∪[0,1),

所以该选项错误.

D.当x>0时,x·sgn(x)=x·1=x=|x|;

当x=0时,x·sgn(x)=0×1=0=|x|;

当x<0时,x·sgn(x)=x·(-1)=-x=|x|,

所以对任意的x∈R,|x|=x·sgn(x).

所以该选项正确.

故选ABD.

12.函数f(x)=sin 2x-(cos2x-sin2x)的图象为C,则下结论正确的是(　ABC　)

(A)f(x)的最小正周期为π

(B)对任意的x∈R,都有f(x+)+f(-x)=0

(C)f(x)在(-,)上单调递增

(D)由y=2sin 2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C

解析:f(x)=sin 2x-(cos2x-sin2x)=sin 2x-cos 2x=2sin(2x-),

因为f(x)的最小正周期为=π,故A正确.

又f()=2sin(2×-)=2sin 0=0,

即函数关于(,0)成中心对称,即对任意的x∈R,都有f(x+)+f(-x)=0成立,故B正确.

当x∈(-,)时,2x∈(-,),2x-∈(-,),此时函数f(x)单调递增,即f(x)在(-,)上单调递增,故C正确.

由y=2sin 2x的图象向右平移个单位长度得到y=2sin[2(x-)]=2sin(2x-)的图象,故D错误.故选ABC.

三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)

13.定义在R上的函数f(x)满足f(x)=3x-1(0≤x<3),f(x)=f(x+3),则f(2 020)=　　　　. 

解析:因为f(x)=f(x+3),

所以y=f(x)表示周期为3的函数,

所以f(2 020)=f(1)=30=1.

答案:1

14.设x>0,y>0,x+y=4,则+的最小值为　　　　. 

解析:因为x+y=4,

所以+=(+)(x+y)

=(5++).

又x>0,y>0,

则+≥2=4(当且仅当=,即x=,y=时取等号),

则+≥×(5+4)=.

答案:

15.如图,在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,终边分别是射线OA和射线OB,且射线OA和射线OB关于x轴对称,射线OA与单位圆的交点为A(-,),则sin α=　　　　　,cos(β-α)的值是　　　　. 

解析:因为射线OA与单位圆的交点为A(-,),射线OA和射线OB关于x轴对称,

所以射线OB与单位圆的交点为B(-,-),

由三角函数的定义可知,cos α=-,sin α=,sin β=-,cos β=-,

可得cos(β-α)=cos βcos α+sin βsin α

=(-)×(-)+(-)×

=-.

答案:　-

16.已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递减,则满足f(ln x-1)>

f(-1)的x的取值范围是　　　　. 

解析:因为函数f(x)为偶函数,

所以f(ln x-1)=f(|ln x-1|),f(-1)=f(1),

所以不等式f(ln x-1)>f(-1)等价于f(|ln x-1|)>f(1).

又因为函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递减,

所以|ln x-1|<1,得0<ln x<2,

解得1<x<e2,

所以x的取值范围是(1,e2).

答案:(1,e2)

四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(本小题满分10分)

已知f(x)=

(1)作出函数f(x)的图象,并写出单调区间;

(2)若函数y=f(x)-m有两个零点,求实数m的取值范围.

解:(1)画出函数f(x)的图象,如图所示.

由图象得f(x)在(-∞,0],(0,+∞)上单调递增,无单调减区间.

(2)若函数y=f(x)-m有两个零点,

则f(x)和y=m的图象有2个交点,

结合图象得m的取值范围为(1,2].

18.(本小题满分12分)

已知函数f(x)=log3(3x+1)-x(k∈R).

若不等式f(x)-x-a≥0对x∈(-∞,0]恒成立,求实数a的取值范围.

解:因为不等式f(x)-x-a≥0在区间(-∞,0]上恒成立,

即a≤log3(3x+1)-x在区间(-∞,0]上恒成立.

令g(x)=log3(3x+1)-x=log3(1+),

x∈(-∞,0],

因为x∈(-∞,0],所以1+≥2,

所以g(x)=log3(1+)≥log32,

所以a≤log32,

所以a的取值范围是(-∞,log32].

19.(本小题满分12分)

已知sin(β-)=,cos(α+β)=-,其中0<α<,0<β<.

(1)求sin 2β的值;

(2)求cos(α+)的值.

解:(1)因为sin(β-)=(sin β-cos β)=,

所以sin β-cos β=,

所以(sin β-cos β)2=sin2β+cos2β-2sin βcos β=1-sin 2β=,

所以sin 2β=.

(2)因为sin(β-)=,cos(α+β)=-,

其中0<α<,0<β<,

所以cos(β-)=,sin(α+β)=,

所以cos(α+)=cos[(α+β)-(β-)]

=cos(α+β)cos(β-)+sin(α+β)sin(β-)

=(-)×+×

=.

20.(本小题满分12分)

已知函数f(x)=sin2x+sin xcos x,x∈R.

(1)求函数f(x)的最小正周期与对称中心;

(2)求函数f(x)的单调递增区间.

解:(1)函数f(x)=sin2x+sin xcos x=+sin 2x=sin(2x-)+,

所以函数的最小正周期为=π.

令2x-=kπ(k∈Z),

解得x=+(k∈Z),

所以函数f(x)的对称中心为(+,)(k∈Z).

(2)由于f(x)=sin(2x-)+,

令-+2kπ≤2x-≤+2kπ(k∈Z),

解得-+kπ≤x≤+kπ(k∈Z),

所以函数f(x)的单调递增区间为[-+kπ,+kπ](k∈Z).

21.(本小题满分12分)

如图,在平面直角坐标系xOy中,角α的始边与x轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A点,它的终边与单位圆相交于x轴上方一点B,始边不动,终边在运动.

(1)若点B的横坐标为-,求tan α的值;

(2)若△AOB为等边三角形,写出与角α终边相同的角β的集合;

(3)若α∈(0,),写出弓形AB的面积S与α的函数关系式.

解:(1)由题意及点B的横坐标为-,可得点B的坐标为(-,),

所以tan α===-.

(2)若△AOB为等边三角形,则B(,),

所以tan α==,

所以α=,

所以与角α终边相同的角β的集合为{β|β=2kπ+,k∈Z}.

(3)弓形AB的面积S=S扇形AOB-S△AOB

=·α·12-×1×1×sin α

=(α-sin α),α∈(0,).

故S=α-sin α,α∈(0,).

22.(本小题满分12分)

已知函数f(x)=log4(2x+1)+kx(k∈R)为偶函数.

(1)求k的值.

(2)若函数g(x)=+m·4x-1,x∈[0,log25],是否存在实数m使得g(x)的最小值为0?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.

解:(1)由函数f(x)是偶函数可得f(-x)=f(x),

所以log4(2x+1)+kx=log4(2-x+1)-kx,

即log4=-2kx,

即x=-2kx对一切x∈R恒成立,

解得k=-.

(2)由(1)知,g(x)=2x+m·4x,

令t=2x∈[1,5],则h(t)=mt2+t.

①当m=0时,h(t)=t在[1,5]上单调递增,

所以h(t)min=h(1)=1,不符合题意.

②当m>0时,h(t)图象的对称轴t=-<0,

则h(t)在[1,5]上单调递增,

所以h(t)min=h(1)=0,

所以m=-1(舍去).

③当m<0时,h(t)图象的对称轴t=-,

(ⅰ)当-<3,即m<-时,

h(t)min=h(5)=0,

所以25m+5=0,

所以m=-.

(ⅱ)当-≥3,即-≤m<0时,

h(t)min=h(1)=0,

所以m+1=0,

所以m=-1(舍去).

综上,存在m=-使得g(x)的最小值为0.