八年级上册 数学 第十一章 三角形专题01 三角形的高线和角分线结合（含解析）

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专题01 三角形的高线和角分线结合

类型一 从一个顶点出发的高线和角分线
1．如图，在中，、分别是的高和角平分线，．

(1)若，求的度数；
(2)试用、的代数式表示的度数_________．
2．如图，在三角形ABC中，，AE平分∠BAC，，．

(1)∠BAE的度数是______．
(2)∠DAE的度数是______．
(3)探究：如果把条件，改成，你认为能得出∠DAE的度数吗？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由．
3．如图，在中，，平分，若，，求的度数？

4．如图，AD、AE分别是△ABC的角平分线和高线.
(1) 若∠B＝50°，∠C＝60°，求∠DAE的度数；
（2）若∠C ＞∠B，猜想∠DAE与∠C-∠B之间的数量关系，并加以证明.

5．如图，在中，为边上的高，点为边上的一点，连接．

（1）当为边上的中线时，若，的面积为30，求的长；
（2）当为的角平分线时，若，，求的度数．
6．如图，在△ABC中，AE为边BC上的高，点D为边BC上的一点，连接AD．

（1）当AD为边BC上的中线时．若AE=4，△ABC的面积为24，求CD的长；
（2）当AD为∠BAC的角平分线时．
①若∠C =65°，∠B =35°，求∠DAE的度数；
②若∠C-∠B =20°，则∠DAE =　 　°．
7．△ABC中， AD为∠BAC的平分线，AF为BC边上的高．
（1）若∠B=38°，∠C=76°，求∠DAF的度数．
（2）若∠B=m°，∠C=n°，（m （3）若∠C-∠B=30°，则∠DAF=_________度．（填空）

8．如图，在中，是高，是角平分线，，．

（）求、和的度数．
（）若图形发生了变化，已知的两个角度数改为：当，，则__________．
当，时，则__________．
当，时，则__________．
当，时，则__________．
（）若和的度数改为用字母和来表示，你能找到与和之间的关系吗？请直接写出你发现的结论．
9．已知中，是边上的高，平分．若，，，则的度数等于（       ）
A． B． C． D．
类型二 高线和角分线结合进阶
10．在中，是的角平分线，，

（1）如图1，是边上的高，，求的度数；
（2）如图2，点E在上，于F，猜想与、的数量关系，并证明你的结论．
11．如图一，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AE是BC边上的高，∠ABC＝30°，∠ACB＝70°．
（1）求∠DAE的度数．
（2）如图二，若点F为AD延长线上一点，过点F作FG⊥BC于点G，求∠AFG的度数．

12．在△ABC中，AD是角平分线．．

(1)如图（1），AE是高，，，求∠DAE的度数；
(2)如图（2），点E在AD上，于F，试探究∠DEF与∠B、∠C的大小关系，并证明你的结论；
(3)如图（3），点E在AD的延长线上．于F，试探究∠DEF与∠B、∠C的大小关系是___（直接写出结论，不需证明）．
类型三 从不同顶点出发的高线和角分线
13．如图，在△ABC中，CE平分∠ACB交AB于点E，AD是△ABC边BC上的高，AD与CE相交于点F，且∠ACB＝80°，求∠AFE的度数．

14．在△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠BAC＝50°，∠C＝70°，求∠DAE和∠AOB的度数．

15．如图，在△ABC中，AD，AF分别为△ABC的中线和高，BE为△ABD的角平分线．   

（1）若∠BED=40°，∠BAD=25°，求∠BAF的大小；
（2）若△ABC的面积为40，BD=5，求AF的长．



专题01 三角形的高线和角分线结合答案

类型一 从一个顶点出发的高线和角分线
1．如图，在中，、分别是的高和角平分线，．

(1)若，求的度数；
(2)试用、的代数式表示的度数_________．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据三角形的内角和定理求出∠ACB的值，再由角平分线的性质以及直角三角形的性质求出∠DCE．
（2）由（1）的解题思路即可得正确结果．
(1)
解：，
，
是的平分线，
．
是高线，
，
，
．
(2)
解：，
，
是的平分线，
．
是高线，
，
，
．
【点睛】
本题主要考查角平分线，高线以及角的转换，掌握角平分线，高线的性质是解题的关键．
2．如图，在三角形ABC中，，AE平分∠BAC，，．

(1)∠BAE的度数是______．
(2)∠DAE的度数是______．
(3)探究：如果把条件，改成，你认为能得出∠DAE的度数吗？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由．
【答案】(1)50°
(2)20°
(3)能，过程见解析
【解析】
【分析】
(1)根据三角形内角和定理得∠BAC，然后根据角平分线定义得∠BAE=∠BAC，即可；
(2)由于AD⊥BC，则∠ADE=90°， 根据三角形外角性质得∠ADE= ∠B+∠BAD，所以∠BAD=90°-∠B，然后利用∠DAE= ∠BAE-∠BAD进行计算；
(3)根据三角形内角和定理得∠BAC，再根据角平分线定义得∠BAE，加上∠ADE=∠B+∠BAD=90°，则∠BAD=90°-∠B，然后利用角的和差得∠DAE=∠BAE-∠BAD，即可求得∠DAE的度数等于∠B与∠C差的一半，即可求解；（本题方法不唯一）；
(1)
∵∠B+∠C+∠BAC = 180°
∴∠BAC = 180°-∠B-∠C= 180°- 60°- 20°= 100°，
∵ AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠BAC= 50°
(2)
∵AD⊥BC
∴∠ADE= 90°，
而∠ADE=∠B+∠BAD，
∠BAD= 90°-∠B= 90°- 60°=30°
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD= 50°- 30°= 20°
(3)
能得出∠DAE的度数．
（解法1）设，则，
∴．
∵AE平分∠BAC，     
∴．
∵，，
∴，
∴．
（解法2）∵，
∴．
∵AE平分∠BAC，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
【点睛】
本题考查了三角形的内角和定理，三角形的角平分线的定义，角的和差，三角形的外角的性质，解题的关键是理解并熟悉三角形的内角和定义，以及掌握角三角形的角平分线的定义．
3．如图，在中，，平分，若，，求的度数？

【答案】30°
【解析】
【分析】
根据AE平分∠BAC，可得∠BAE=∠EAC，由∠1=40°，∠2=20°，可求得∠EAD的度数，在直角三角形ABD在利用两锐角互余，即可求解．
【详解】
解：∵AE平分∠BAC，
∴∠1=∠EAC=∠EAD+∠2，
∴∠EAD=∠1-∠2=40°-20°=20°，
在Rt△ABD中，
∠B=90°-∠BAD=90°-40°-20°=30°．
【点睛】
本题考查了三角形的角平分线、中线和高的相关知识；求得∠EAD的度数是正确解答本题的关键．
4．如图，AD、AE分别是△ABC的角平分线和高线.
(1) 若∠B＝50°，∠C＝60°，求∠DAE的度数；
（2）若∠C ＞∠B，猜想∠DAE与∠C-∠B之间的数量关系，并加以证明.

【答案】（1）5°；（2）∠ DAE =(∠C-∠B). 证明见解析．
【解析】
【分析】
（1）先根据三角形内角和得到∠CAB=180°-∠B-∠C=70°，再根据角平分线与高线的定义得到∠CAD=∠CAB=35°，∠AEC=90°，则∠CAE=90°-∠C=30°，然后利用∠DAE=∠CAD-∠CAE计算即可．
（2）根据题意可以用∠B和∠C表示出∠CAD和∠CAE，从而可以得到∠DAE与∠C-∠B的关系．
【详解】
(1)在△ABC中,∵∠B=50°,∠C=60°,
∴∠BAC=180°-50°-60°=70°.
∵AD是∠BAC的角平分线,
∴∠BAD=∠DAC=∠BAC=35°.
又∵AE是BC上的高,
∴∠AEC=90°.
在△CAE中,∠CAE=90°-∠C=90°-60°=30°,
∴∠DAE=∠CAD-∠CAE=35°-30°=5°.
（2）∠ DAE =(∠C-∠B).
证明如下：
∵AE是△ABC的高，
∴∠AEC=90°，
∴∠EAC=90°-∠C，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠DAC=∠BAC.
∵∠BAC=180°-∠B-∠C，
∴∠DAC=(180°-∠B-∠C) ，
∴∠DAE=∠DAC-∠EAC
=(180°-∠B-∠C) - (90°-∠C)
=(∠C-∠B)
【点睛】
本题考查三角形内角和定理、角的平分线的性质、直角三角形的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
5．如图，在中，为边上的高，点为边上的一点，连接．

（1）当为边上的中线时，若，的面积为30，求的长；
（2）当为的角平分线时，若，，求的度数．
【答案】（1）5；（2）15°
【解析】
【分析】
（1）利用三角形的面积公式求出BC即可解决问题；
（2）先根据三角形内角和求得∠BAC的度数，再根据AD平分∠BAC，AE⊥BC，求得∠BAE，∠BAD的度数，最后根据∠DAE=∠BAE-∠BAD计算即可．
【详解】
解：（1）∵AE⊥BC，AE=6，△ABC的面积为30，
∴×BC×AE=30，
∴×BC×6=30，
∴BC=10，
∵AD是△ABC的中线，
∴CD=BC=5；
（2）∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-36°-66°=78°
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠BAC=39°，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB=90°，
∴∠BAE=90°-∠B=54°，
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=54°-39°=15°．
【点睛】
本题考查三角形的面积，三角形的中线与高等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中基础题．
6．如图，在△ABC中，AE为边BC上的高，点D为边BC上的一点，连接AD．

（1）当AD为边BC上的中线时．若AE=4，△ABC的面积为24，求CD的长；
（2）当AD为∠BAC的角平分线时．
①若∠C =65°，∠B =35°，求∠DAE的度数；
②若∠C-∠B =20°，则∠DAE =　 　°．
【答案】（1）6 ；（2）①15°；②10．
【解析】
【分析】
（1）利用三角形的面积公式求出BC即可解决问题；
（2）①根据三角形内角和求出∠BAC和∠CAE的度数，然后根据角平分线的定义求得∠CAD的度数，从而求解；
②设∠C=x°，则∠B=（x+20）°，然后根据三角形内角和用含x的式子表示出∠BAC和∠CAE的度数，然后根据角平分线的定义求得∠CAD的度数，从而求解．
【详解】
解：（1）由题意可知：AE⊥BC，AE=4，△ABC的面积为24，
∴×BC×AE=24，
∴×BC×4=24，
∴BC=12，
∵AD是△ABC的中线，
∴CD=BC=6，
（2）①在△ABC中，∠BAC=180°-∠C-∠B =80°，
在△AEC中，∵AE⊥BC
∴∠CAE=180°-90°-∠C=25°
∵AD为∠BAC的角平分线
∴∠CAD=
∴∠DAE的度数为∠CAD -∠CAE =15°
②设∠C=x°，则∠B=（x+20）°
在△ABC中，∠BAC=180°-∠C-∠B =（160-2x）°，
在△AEC中，∵AE⊥BC
∴∠CAE=180°-90°-∠C=（90-x）°
∵AD为∠BAC的角平分线
∴∠CAD=
∴∠DAE的度数为∠CAE- ∠CAD =10°
故答案为：10．
【点睛】
本题考查三角形的面积，三角形的中线与高等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中基础题．
7．△ABC中， AD为∠BAC的平分线，AF为BC边上的高．
（1）若∠B=38°，∠C=76°，求∠DAF的度数．
（2）若∠B=m°，∠C=n°，（m （3）若∠C-∠B=30°，则∠DAF=_________度．（填空）

【答案】(1)19°；(2)；(3)15°
【解析】
【分析】
（1）由三角形的内角和是180°，可求∠BAC=66°，因为AD为∠BAC的平分线，得∠BAD=33°；又由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得∠ADC=∠BAD+∠B=71°；又已知AF为BC边上的高，所以∠DAF=90°-∠ADC=19°；
（2）求出∠BAC度数，求出∠DAC，根据角平分线求出∠BAD，根据三角形外角的性质求出∠ADC的度数，即可求出∠DAF度数；
（3）利用（2）的结论即可求出答案．
【详解】
解：(1)∵∠BAC+∠B+∠C=180°,
又∵∠B=38°，∠C=76°,
∴∠BAC=66°．
∵AD为∠BAC的平分线,
∴∠BAD=33°,
∴∠ADC=∠BAD+∠B=71°．
又∵AF为BC边上的高,
∴∠DAF=90°-∠ADC=19°．
(2)∵∠BAC+∠B+∠C=180°,
又∵∠B=m°，∠C=n°,
∴∠BAC=180°- m°-n°．
∵AD为∠BAC的平分线,
∴∠BAD=,
∴∠ADC=∠BAD+∠B=
又∵AF为BC边上的高,
∴∠DAF=90°-∠ADC=．
(3)由（2）可知∠DAF=90°-∠ADC=
∵∠C-∠B=30°
∴∠DAF=15°
故答案为：15°
【点睛】
本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°这一隐含的条件；解答的关键是沟通外角和内角的关系．
8．如图，在中，是高，是角平分线，，．

（）求、和的度数．
（）若图形发生了变化，已知的两个角度数改为：当，，则__________．
当，时，则__________．
当，时，则__________．
当，时，则__________．
（）若和的度数改为用字母和来表示，你能找到与和之间的关系吗？请直接写出你发现的结论．
【答案】（1）30°，70°，20°；（2）15°，5°，0°，5°；（3）当时，；当时，．
【解析】
【分析】
（1）先利用三角形内角和定理求出的度数，再根据角平分线和高的性质分别得出和的度数，进而可求和的度数；
（2）先利用三角形内角和定理求出的度数，再根据角平分线和高的性质分别得出和的度数，则前三问利用即可得出答案，第4问利用即可得出答案；
（3）按照（2）的方法，将相应的数换成字母即可得出答案．
【详解】
（1）∵，，
∴ ．
∵平分，
∴．
∵是高，
，
，
，
．
（2）当，时，
∵，，
∴．
∵平分，
∴．
∵是高，
，
，
；
当，时，
∵，，
∴ ．
∵平分，
∴．
∵是高，
，
，
；
当，时，
∵，，
∴．
∵平分，
∴．
∵是高，
，
，
；
当，时，
∵，，
∴．
∵平分，
∴．
∵是高，
，
，
．
（3）当 时，即时，
∵，，
∴ ．
∵平分，
∴．
∵是高，
，
，
；
当 时，即时，
∵，，
∴ ．
∵平分，
∴．
∵是高，
，
，
；
综上所述，当时，；当时，．
【点睛】
本题主要考查三角形内角和定理和三角形的角平分线，高，掌握三角形内角和定理和直角三角形两锐角互余是解题的关键．
9．已知中，是边上的高，平分．若，，，则的度数等于（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
题目由于在三角形中未确定大小，所以需要进行分类讨论：（1），作出符合题意的相应图形，由图可得：，根据角平分线的性质得：，在中，，故可得；（2）时，由图可得：，，在中，，故可得；综上可得：．
【详解】
解：（1）如图1所示：时，
图1


∵CD是AB边上的高，
∴，，
∵，，
∴，
∵CE平分，
∴，
在中，，
∴；
（2）如图2所示：时，
图2


∵CD是AB边上的高，
∴，，
∵，，
∴，
∵CE平分，
∴，
在中，，
∴；
综合（1）（2）两种情况可得：．
故选：D．
【点睛】
题目主要考查对三角形分类讨论、数形结合思想，主要知识点是三角形的角平分线、高线的基本性质及图形内角的运算，题目难点是在依据题意进行分类讨论的情况下，作出相应的三角形图形．
类型二 高线和角分线结合进阶
10．在中，是的角平分线，，

（1）如图1，是边上的高，，求的度数；
（2）如图2，点E在上，于F，猜想与、的数量关系，并证明你的结论．
【答案】（1）17°（2）∠DEF＝（∠C−∠B），证明见解析
【解析】
【分析】
（1）依据角平分线的定义以及垂线的定义，即可得到∠CAD＝∠BAC，∠CAE＝90°−∠C，进而得出∠DAE＝（∠C−∠B），由此即可解决问题．
（2）过A作AG⊥BC于G，依据平行线的性质可得∠DAG＝∠DEF，依据（1）中结论即可得到∠DEF＝（∠C−∠B）．
【详解】
解答：解：（1）如图1，∵AD平分∠BAC，

∴∠CAD＝∠BAC，
∵AE⊥BC，
∴∠CAE＝90°−∠C，
∴∠DAE＝∠CAD−∠CAE
＝∠BAC−（90°−∠C）
＝（180°−∠B−∠C）−（90°−∠C）
＝∠C−∠B
＝（∠C−∠B），
∵，
∴∠DAE＝（70°−36°）＝17°．
（2）结论：∠DEF＝（∠C−∠B）．
理由：如图2，过A作AG⊥BC于G，

∵EF⊥BC，
∴AGEF，
∴∠DAG＝∠DEF，
由（1）可得，∠DAG＝（∠C−∠B），
∴∠DEF＝（∠C−∠B）．
【点睛】
此题主要考查了角平分线的性质、三角形内角和定理和直角三角形的性质，解题时注意：三角形内角和是180°．
11．如图一，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AE是BC边上的高，∠ABC＝30°，∠ACB＝70°．
（1）求∠DAE的度数．
（2）如图二，若点F为AD延长线上一点，过点F作FG⊥BC于点G，求∠AFG的度数．

【答案】（1）20°；（2）20°．
【解析】
【分析】
（1）先利用三角形内角和定理求出，再利用角平分线求出，进而求出，最后用三角形的内角和定理 即可得出结论；
（2）先判断出，即可得出结论．
【详解】
解：（1）在中，
，，

平分
，
在中，
为三角形的高，
．
在中，．
（2）




由（1）可知
．
【点睛】
此题主要考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，高线的定义，平行线的判定和性质，求出是解本题的关键．
12．在△ABC中，AD是角平分线．．

(1)如图（1），AE是高，，，求∠DAE的度数；
(2)如图（2），点E在AD上，于F，试探究∠DEF与∠B、∠C的大小关系，并证明你的结论；
(3)如图（3），点E在AD的延长线上．于F，试探究∠DEF与∠B、∠C的大小关系是___（直接写出结论，不需证明）．
【答案】(1)15°
(2)，证明见解析
(3)
【解析】
【分析】
（1）根据AE是高确定∠CEA的度数，再结合三角形内角和定理确定∠BAC和∠CAE的度数，根据AD是角平分线确定∠DAC的度数，进而即可求出∠DAE的度数．
（2）过点A作AG⊥BC于G．根据两直线平行的判定定理和性质得到∠DEF=∠DAG，根据AG⊥BC确定∠CGA的度数，再结合三角形内角和定理用∠B和∠C表示∠BAC和∠CAG，根据AD是角平分线得到∠DAC，进而求出∠DAG，即可得到∠DEF与∠B、∠C的大小关系．
（3）过点A作AG⊥BC于G．根据两直线平行的判定定理和性质得到∠DEF=∠DAG，根据AG⊥BC确定∠CGA的度数，再结合三角形内角和定理用∠B和∠C表示∠BAC和∠CAG，根据AD是角平分线得到∠DAC，进而求出∠DAG，即可得到∠DEF与∠B、∠C的大小关系．
(1)
解：∵∠B=35°，∠C=65°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=80°．
∵AD是角平分线，AE是高，
∴，∠CEA=90°．
∴∠CAE=180°-∠C-∠CEA=25°．
∴∠DAE=∠DAC-∠CAE=15°．
(2)
解：如下图所示，过点A作AG⊥BC于G．

∵EF⊥BC于F，
∴．
∴∠DEF=∠DAG．
∵∠B+∠C+∠BAC=180°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C．
∵AD是角平分线，AG⊥BC，
∴，∠CGA=90°．
∴∠CAG=180°-∠C-∠CGA=90°-∠C．
∴∠DAG=∠DAC-∠CAG=．
∴．
∴．
(3)
解：如下图所示，过点A作AG⊥BC于G．

∵EF⊥BC于F，
∴．
∴∠DEF=∠DAG．
∵∠B+∠C+∠BAC=180°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C．
∵AD是角平分线，AG⊥BC，
∴，∠CGA=90°．
∴∠CAG=180°-∠C-∠CGA=90°-∠C．
∴∠DAG=∠DAC-∠CAG=．
∴．
∴．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理，两直线平行的判定定理和性质，角平分线的性质，综合应用这些知识点是解题关键．
类型三 从不同顶点出发的高线和角分线
13．如图，在△ABC中，CE平分∠ACB交AB于点E，AD是△ABC边BC上的高，AD与CE相交于点F，且∠ACB＝80°，求∠AFE的度数．

【答案】∠AFE=50°．
【解析】
【分析】
根据CE平分∠ACB，∠ACB＝80°，得出∠ECB=，根据高线性质得出∠ADC=90°，根据三角形内角和得出∠DFC=180°-∠ADC-∠ECB=180°-90°-40°=50°，利用对顶角性质得出∠AFE=∠DFC=50°即可．
【详解】
解：∵CE平分∠ACB，∠ACB＝80°，
∴∠ECB=，
∵AD是△ABC边BC上的高，AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴∠DFC=180°-∠ADC-∠ECB=180°-90°-40°=50°，
∴∠AFE=∠DFC=50°．
【点睛】
本题考查角平分线定义，垂线性质，三角形内角和，对顶角性质，掌握角平分线定义，垂线性质，三角形内角和，对顶角性质是解题关键．
14．在△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠BAC＝50°，∠C＝70°，求∠DAE和∠AOB的度数．

【答案】∠DAE的度数为 5°；∠AOB的度数为125°
【解析】
【分析】
根据三角形内角和定理求得，根据角平分线的性质求得，，进而根据高线的定义以及三角形内角和定理求得，根据，即可求得，根据即可求得∠AOB．
【详解】
解：∠BAC＝50°，∠C＝70°，

AE、BF是△ABC的角平分线，∠BAC＝50°，
,


AD是高线，
，
，
，
【点睛】
本题考查了角平分线的定义，高线的定义，三角形内角和定理，掌握以上知识是解题的关键．
15．如图，在△ABC中，AD，AF分别为△ABC的中线和高，BE为△ABD的角平分线．   

（1）若∠BED=40°，∠BAD=25°，求∠BAF的大小；
（2）若△ABC的面积为40，BD=5，求AF的长．
【答案】（1）60°；（2）8
【解析】
【分析】
（1）先利用三角形的外角性质计算出∠ABE=15°，再利用角平分线定义得到∠ABC=2∠ABE=30°，然后根据高的定义和互余可求出∠BAF的度数；
（2）先根据中线定义得到BC=2BD=10，然后利用三角形面积公式求AF的长．
【详解】
（1）∵∠BED=∠ABE+∠BAE，
∴∠ABE=40°-25°=15°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠ABE=30°，
∵AF为高，
∴∠AFB=90°，
∴∠BAF=90°-∠ABF=90°-30°=60°；
（2）∵AD为中线，
∴BD=CD=5，
∵S△ABC=AF•BC=40，
∴AF==8．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．也考查了三角形外角性质和三角形面积公式．本题的关键是充分应用三角形的角平分线、高和中线的定义．