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数学八年级上册13.3.2 等边三角形精品课堂检测
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这是一份数学八年级上册13.3.2 等边三角形精品课堂检测，共28页。
专题13.3 等边三角形（专项训练）
1．（2021春•荣成市期中）如图，已知直线l1∥l2，将等边三角形如图放置，若∠α＝40°，则∠β等于（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
2．（2022•洪泽区一模）已知直线a∥b，将等边三角形ABC按如图方式放置，点B在直线b上，若∠2＝132°，则∠1的度数为（ ）
A．10° B．12° C．18° D．30°
3．（2022春•海淀区校级期中）如图，等边△ABC的边长为6，AD⊥BC于点D，则AD的长为（ ）
A．3 B．6 C．3 D．3
4．（2021秋•香洲区期中）如图，AD是等边△ABC的一条中线，若在边AC上取一点E，使得AE＝AD，则∠EDC的度数为（ ）
A．30° B．20° C．25° D．15°
5．（2022春•雁塔区校级月考）如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E的度数为（ ）
A．25° B．20° C．15° D．7.5°
6．（2021秋•盐都区期中）如图，△ABC是等边三角形，且BD＝CE，∠1＝15°，则∠2的度数为 °．
7.（2021秋•利通区期末）如图，△ABD，△ACE都是正三角形，BE和CD交于O点，则∠BOC＝ 度．
8．（2021秋•湘桥区期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠BEC＝90°，则∠ACE等于 ．
9．（2022春•市北区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，AD＝DE，如果∠BAD＝20°，∠AED＝60°，那么∠EDC的度数为 度．
10．（2021秋•禹州市期中）如图1所示的是某超市人口的双翼闸门，当它的双翼展开时，如图2，双翼边缘的端点A与B之间的距离为12cm，双翼的边缘AC＝BD＝62cm，且与闸机侧立面夹角∠ACP＝∠BDQ＝30°．求当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度．
11．（2019秋•泸县期末）等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论．
12．（2019秋•岳麓区校级月考）如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，B、C、D三点在一条直线上，AD与BE相交于点P，AC与BE相交于点M，AD、CE相交于点N．
（1）求证：△ACD≌△BCE；
（2）求∠APM的度数；
（3）连接MN，求证：△CMN是等边三角形．
13．（2022春•高州市期中）已知，如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AP⊥BC，垂足为D，且AP＝AB．
（1）求证：△ABP是等边三角形；
（2）若E是边AB上一点，∠EPF＝60°，PF交AC于点F，试判断BE与AF的数量关系，并说明理由．
14．（2020秋•渑池县期末）在等边△ABC中，
（1）如图1，P，Q是BC边上两点，AP＝AQ，∠BAP＝20°，求∠AQB的度数；
（2）点P，Q是BC边上的两个动点（不与B，C重合），点P在点Q的左侧，且AP＝AQ，点Q关于直线AC的对称点为M，连接AM，PM．
①依题意将图2补全；
②求证：PA＝PM．
15．（2021•宁德）如图，点O是等边△ABC内一点．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．已知∠AOB＝110°．
（1）求证：△COD是等边三角形；
（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．
16．（2021秋•东丽区期末）如图1，△ABD，△ACE都是等边三角形，
（1）求证：△ABE≌△ADC；
（2）若∠ACD＝15°，求∠AEB的度数；
（3）如图2，当△ABD与△ACE的位置发生变化，使C、E、D三点在一条直线上，求证：AC∥BE．
17．（2021秋•连云港期末）如图，在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC．
（1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由；
（2）若BC＝10，求△ODE的周长．
18．（2021秋•启东市期末）如图，在等边三角形ABC中，AD是∠BAC的平分线，E为AD上一点，以BE为一边且在BE下方作等边三角形BEF，连接CF．
（1）求证：△ABE≌△CBF；
（2）求∠ACF的度数．
19．（2021秋•平定县期末）已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作等边△ADE（顶点A、D、E按逆时针方向排列），连接CE．
（1）如图1，当点D在边BC上时，求证：①BD＝CE，②AC＝CE+CD；
（2）如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC＝CE+CD是否成立？若不成立，请写出AC、CE、CD之间存在的数量关系，并说明理由．
20．（2021秋•济宁期中）如图，△ABC是等边三角形，点D是边BC上一个动点（点D不与点B，C重合），连接AD，点E在边AC的延长线上，且DA＝DE．
（1）求证：∠BAD＝∠EDC：
（2）用等式表示线段CD，CE，AB之间的数量关系，并证明．
21．（2021秋•仁怀市期末）如图，已知△ABC是边长为10cm的等边三角形，点F为AC的中点，动点D，E同时从A，B两点出发，分别沿AB，BC匀速运动，其中点D运动的速度是1cm/s，点E运动的速度是2cm/s，设运动时为t秒．
（1）当t为何值时，△AFD与△CFE全等；
（2）当t为何值时，△BDE为直角三角形．
22．（2021秋•斗门区期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°．AD⊥BC于点D，若∠C＝30°，BD＝1，则线段CD的长为 ．
23．（2020秋•莱芜区期末）如图：在△ABC中，AB＝BC＝AC，AE＝CD，AD与BE相交于点P，BQ⊥AD于Q．
求证：①△ADC≌△BEA；
②BP＝2PQ．
专题13.3 等边三角形（专项训练）答案
1．（2021春•荣成市期中）如图，已知直线l1∥l2，将等边三角形如图放置，若∠α＝40°，则∠β等于（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
【答案】A
【解答】解：过点A作AD∥l1，如图，
则∠BAD＝∠β．
∵l1∥l2，
∴AD∥l2，
∵∠DAC＝∠α＝40°．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∴∠β＝∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝60°﹣40°＝20°．
故选：A．
2．（2022•洪泽区一模）已知直线a∥b，将等边三角形ABC按如图方式放置，点B在直线b上，若∠2＝132°，则∠1的度数为（ ）
A．10° B．12° C．18° D．30°
【答案】B
【解答】解：如下图，
∵∠2＝132°，a∥b，
∴∠3＝∠2＝132°，∠3+∠4＝180°，
∴∠4＝180°﹣132°＝48°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∴∠1＝60°﹣∠4＝60°﹣48°＝12°，
故选：B．
3．（2022春•海淀区校级期中）如图，等边△ABC的边长为6，AD⊥BC于点D，则AD的长为（ ）
A．3 B．6 C．3 D．3
【答案】D
【解答】解：在等边△ABC中，
∵AD⊥BC，
∴D为BC的中点，
∵等边三角形的边长为6，
∴AB＝6，BD＝3，
根据勾股定理，得AD＝＝3，
故选：D．
4．（2021秋•香洲区期中）如图，AD是等边△ABC的一条中线，若在边AC上取一点E，使得AE＝AD，则∠EDC的度数为（ ）
A．30° B．20° C．25° D．15°
【答案】D
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∵AD是等边△ABC的一条中线，
∴AD⊥BC，∠CAD＝∠BAC＝30°，
∵AE＝AD，
∴∠ADE＝∠AED，
∵∠ADE+∠AED+∠CAD＝180°，
∴∠ADE＝75°，
∴∠EDC＝90°﹣75°＝15°，
故选：D．
5．（2022春•雁塔区校级月考）如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E的度数为（ ）
A．25° B．20° C．15° D．7.5°
【答案】C
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°．
∵∠ACB＝∠CGD+∠CDG，
∴∠CGD+∠CDG＝60°．
∵CG＝CD，
∴∠CGD＝∠CDG＝30°．
∵∠CDG＝∠DFE+∠E，
∴∠DFE+∠E＝30°．
∵DF＝DE，
∴∠E＝∠DFE＝15°．
故选：C．
6．（2021秋•盐都区期中）如图，△ABC是等边三角形，且BD＝CE，∠1＝15°，则∠2的度数为 °．
【答案】60
【解答】解：在△ABD和△BCE中，
，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠1＝∠CBE，
∵∠2＝∠1+∠ABE，
∴∠2＝∠CBE+∠ABE＝∠ABC＝60°．
故答案为：60．
7.（2021秋•利通区期末）如图，△ABD，△ACE都是正三角形，BE和CD交于O点，则∠BOC＝ 度．
【答案】120
【解答】解：∵△ABD，△ACE都是正三角形
∴AD＝AB，∠DAB＝∠EAC＝60°，AC＝AE，
∴∠DAC＝∠EAB
∴△DAC≌△BAE（SAS）
∴DC＝BE，∠ADC＝∠ABE，∠AEB＝∠ACD，
∴∠BOC＝∠CDB+∠DBE
＝∠CDB+∠DBA+∠ABE
＝∠ADC+∠CDB+∠DBA
＝120°．
故填120．
8．（2021秋•湘桥区期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠BEC＝90°，则∠ACE等于 ．
【答案】15°
【解答】解：∵等边三角形ABC中，AD⊥BC，
∴BD＝CD，即：AD是BC的垂直平分线，
∵点E在AD上，
∴BE＝CE，
∴∠EBC＝∠ECB，
∵∠EBC＝45°，
∴∠ECB＝45°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∴∠ACE＝∠ACB﹣∠ECB＝15°，
故答案为：15°
9．（2022春•市北区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，AD＝DE，如果∠BAD＝20°，∠AED＝60°，那么∠EDC的度数为 度．
【答案】10
【解答】解：∵AD＝DE，
∴∠DAE＝∠DEA＝60°，
∵∠BAD＝20°，
∴∠BAC＝80°，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝（180°﹣80°）＝50°，
∴∠EDC＝∠DEA﹣∠C＝60°﹣50°＝10°，
故答案为：10．
10．（2021秋•禹州市期中）如图1所示的是某超市人口的双翼闸门，当它的双翼展开时，如图2，双翼边缘的端点A与B之间的距离为12cm，双翼的边缘AC＝BD＝62cm，且与闸机侧立面夹角∠ACP＝∠BDQ＝30°．求当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度．
【解答】解：如图，过点A作AE⊥CP于点E，过点B作BF⊥DQ于点F，
在Rt△ACE中，∠ACE＝30°，
∴AE＝AC＝×62＝31（cm），
同理可得，BF＝31cm，
又∵双翼边缘的端点A与B之间的距离为12cm，
∴31+12+31＝74（cm），
∴当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为74cm．
11．（2019秋•泸县期末）等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论．
【解答】解：△APQ为等边三角形．
证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC．
在△ABP与△ACQ中，
∵，
∴△ABP≌△ACQ（SAS）．
∴AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ．
∵∠BAC＝∠BAP+∠PAC＝60°，
∴∠PAQ＝∠CAQ+∠PAC＝60°，
∴△APQ是等边三角形．
12．（2019秋•岳麓区校级月考）如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，B、C、D三点在一条直线上，AD与BE相交于点P，AC与BE相交于点M，AD、CE相交于点N．
（1）求证：△ACD≌△BCE；
（2）求∠APM的度数；
（3）连接MN，求证：△CMN是等边三角形．
【解答】（1）证明：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴BC＝AC，CE＝CD，∠BCA＝∠ECD＝60°，
∴∠BCA+∠ACE＝∠ECD+∠ACE，∠ACE＝60°，
∴∠BCE＝∠ACD，
在△ACD和△BCE中
，
∴△ACD≌△BCE（SAS）；
（2）由（1）知，△ACD≌△BCE，
则∠DAC＝∠EBC，
即∠PAM＝∠CBM，
∵∠AMP＝∠BMC，
∴∠APM＝∠BCM，
∵∠BCM＝60°，
∴∠APM＝60°；
（3）由（1）知，△ACD≌△BCE，
则∠ADC＝∠BEC，
即∠CDN＝∠CEM，
∵∠ACE＝60°，∠ECD＝60°，
∴∠MCE＝∠NCD，
在△MCE和△NCD中，
，
∴△MCE≌△NCD（AAS），
∴CM＝CN，
∵∠MCN＝60°，
∴△MCN是等边三角形．
13．（2022春•高州市期中）已知，如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AP⊥BC，垂足为D，且AP＝AB．
（1）求证：△ABP是等边三角形；
（2）若E是边AB上一点，∠EPF＝60°，PF交AC于点F，试判断BE与AF的数量关系，并说明理由．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，AP⊥BC，∠BAC＝120°，
∴∠BAD＝∠DAC＝∠BAC＝60°，
∵AP＝AB，
∴△ABP是等边三角形；
（2）解：BE＝AF．
理由：由（1）知，△ABP是等边三角形，
∴∠ABP＝∠APB＝60°，BP＝AP，
∵∠PAC＝60°，
∴∠EBP＝∠FAP，
∵∠EPF＝60°＝∠APB，
∴∠APB﹣∠APE＝∠EPF﹣∠APE，
∴∠BPE＝∠APF，
在△BPE与△APF中，
，
∴△BPE≌△APF（ASA），
∴BE＝AF．
14．（2020秋•渑池县期末）在等边△ABC中，
（1）如图1，P，Q是BC边上两点，AP＝AQ，∠BAP＝20°，求∠AQB的度数；
（2）点P，Q是BC边上的两个动点（不与B，C重合），点P在点Q的左侧，且AP＝AQ，点Q关于直线AC的对称点为M，连接AM，PM．
①依题意将图2补全；
②求证：PA＝PM．
【解答】解：（1）∵△ABC为等边三角形
∴∠B＝60°
∴∠APC＝∠BAP+∠B＝80°
∵AP＝AQ
∴∠AQB＝∠APC＝80°，
（2）①补全图形如图所示，
②证明：过点A作AH⊥BC于点H，如图．
由△ABC为等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，
∵AP＝AQ，
∴∠APQ＝∠AQP，
∴∠APQ﹣∠B＝∠AQP﹣∠C，
即∠PAB＝∠QAC，
∵点Q，M关于直线AC对称，
∴∠QAC＝∠MAC，AQ＝AM
∴∠MAC+∠PAC＝∠PAB+∠PAC＝60°，
∵AP＝AM，
∴△APM为等边三角形
∴PA＝PM．
15．（2021•宁德）如图，点O是等边△ABC内一点．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．已知∠AOB＝110°．
（1）求证：△COD是等边三角形；
（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．
【解答】（1）证明：∵CO＝CD，∠OCD＝60°，
∴△COD是等边三角形；（3分）
（2）解：当α＝150°，即∠BOC＝150°时，△AOD是直角三角形．（5分）
∵△BOC≌△ADC，
∴∠ADC＝∠BOC＝150°，
又∵△COD是等边三角形，
∴∠ODC＝60°，
∴∠ADO＝90°，
即△AOD是直角三角形；（7分）
（3）解：①要使AO＝AD，需∠AOD＝∠ADO．
∵∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠COD﹣α＝360°﹣110°﹣60°﹣α＝190°﹣α，∠ADO＝α﹣60°，
∴190°﹣α＝α﹣60°
∴α＝125°；
②要使OA＝OD，需∠OAD＝∠ADO．
∵∠AOD＝190°﹣α，∠ADO＝α﹣60°，
∴∠OAD＝180°﹣（∠AOD+∠ADO）＝50°，
∴α﹣60°＝50°
∴α＝110°；
③要使OD＝AD，需∠OAD＝∠AOD．
∵190°﹣α＝50°
∴α＝140°．
综上所述：当α的度数为125°，或110°，或140°时，△AOD是等腰三角形．（12分）
说明：第（3）小题考生答对1种得（2分），答对2种得（4分）．
16．（2021秋•东丽区期末）如图1，△ABD，△ACE都是等边三角形，
（1）求证：△ABE≌△ADC；
（2）若∠ACD＝15°，求∠AEB的度数；
（3）如图2，当△ABD与△ACE的位置发生变化，使C、E、D三点在一条直线上，求证：AC∥BE．
【解答】（1）证明：∵△ABD，△ACE都是等边三角形
∴AB＝AD，AE＝AC
∠DAB＝∠EAC＝60°
∴∠DAC＝∠BAE，
在△ABE和△ADC中
∴，
∴△ABE≌△ADC；
（2）由（1）知△ABE≌△ADC
∴∠AEB＝∠ACD
∵∠ACD＝15°
∴∠AEB＝15°；
（3）同上可证：△ABE≌△ADC
∴∠AEB＝∠ACD
又∵∠ACD＝60°
∴∠AEB＝60°
∵∠EAC＝60°
∴∠AEB＝∠EAC
∴AC∥BE．
17．（2021秋•连云港期末）如图，在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC．
（1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由；
（2）若BC＝10，求△ODE的周长．
【解答】解：（1）△ODE是等边三角形；理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°；
∵OD∥AB，OE∥AC，
∴∠ODE＝∠ABC＝60°，∠OED＝∠ACB＝60°，
∴△ODE为等边三角形．
（2）∵OB平分∠ABC，OD∥AB，
∴∠ABO＝∠DOB，∠ABO＝∠DBO，
∴∠DOB＝∠DBO，
∴BD＝OD；同理可证CE＝OE；
∴△ODE的周长＝BC＝10．
18．（2021秋•启东市期末）如图，在等边三角形ABC中，AD是∠BAC的平分线，E为AD上一点，以BE为一边且在BE下方作等边三角形BEF，连接CF．
（1）求证：△ABE≌△CBF；
（2）求∠ACF的度数．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABE+∠EBC＝60°，
∵△BEF是等边三角形，
∴BE＝BF，∠CBF+∠EBC＝60°，
∴∠ABE＝∠CBF，
在△ABE和△CBF，，
∴△ABE≌△CBF（SAS）；
（2）解：∵等边△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，
∴∠BAE＝30°，∠ACB＝60°，
∵△ABE≌△CBF，
∴∠BCF＝∠BAE＝30°，
∴∠ACF＝∠BCF+∠ACB＝30°+60°＝90°．
19．（2021秋•平定县期末）已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作等边△ADE（顶点A、D、E按逆时针方向排列），连接CE．
（1）如图1，当点D在边BC上时，求证：①BD＝CE，②AC＝CE+CD；
（2）如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC＝CE+CD是否成立？若不成立，请写出AC、CE、CD之间存在的数量关系，并说明理由．
【解答】解：（1）①∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴∠BAC＝∠DAE＝60°，AB＝BC＝AC，AD＝DE＝AE．
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
∴∠BAD＝∠EAC．
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE．
②∵△ABD≌△ACE，
∴BD＝CE．
∵BC＝BD+CD，
∴BC＝CE+CD．
∵BC＝AC，
∴AC＝CE+CD．
（2）BC+CD＝CE．
∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴∠BAC＝∠DAE＝60°，AB＝BC＝AC，AD＝DE＝AE．
∴∠BAC+∠DAC＝∠DAE+∠DAC，
∴∠BAD＝∠EAC．
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）．
∴BD＝CE．
∵BD＝BC+CD，
∴CE＝BC+CD，
∵BC＝AC，
∴AC＝CE﹣CD．
20．（2021秋•济宁期中）如图，△ABC是等边三角形，点D是边BC上一个动点（点D不与点B，C重合），连接AD，点E在边AC的延长线上，且DA＝DE．
（1）求证：∠BAD＝∠EDC：
（2）用等式表示线段CD，CE，AB之间的数量关系，并证明．
【解答】（1）证明：延长BC至F，使CF＝CE，连接EF，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠B＝∠ACB＝60°，
∴∠ECF＝∠ACB＝60°，
∵CF＝CE，
∴△CEF为等边三角形，
∴∠F＝∠CEF＝60°，
∵DA＝DE，
∴∠DAE＝∠DEA，
∵∠ADB＝∠DAE+∠ACB＝∠DAE+60°，
∠DEF＝∠CEF+∠DEA＝60°+∠DEA，
∴∠ADB＝∠DEF，
在△ADB和△DEF中，
，
∴△ADB≌△DEF（AAS），
∴∠BAD＝∠EDF，
即∠BAD＝∠EDC．
（2）解：AB＝CD+CE．
证明：∵△ADB≌△DEF，
∴AB＝DF，BD＝EF，
∵DF＝DC+CF＝CD+CE，
∴AB＝CD+CE．
21．（2021秋•仁怀市期末）如图，已知△ABC是边长为10cm的等边三角形，点F为AC的中点，动点D，E同时从A，B两点出发，分别沿AB，BC匀速运动，其中点D运动的速度是1cm/s，点E运动的速度是2cm/s，设运动时为t秒．
（1）当t为何值时，△AFD与△CFE全等；
（2）当t为何值时，△BDE为直角三角形．
【解答】解：（1）由题意可得：t秒时，AD＝tcm，BE＝2tcm，
在等边△ABC中，∠A＝∠C＝∠B＝60°，AC＝BC＝AB＝10cm，
∵点F为AC的中点，
∴AF＝CF＝5cm，
①当△AFD≌△CFE时，AD＝CE，
∴t＝10﹣2t，
解得：t＝，
②当△AFD≌△CEF时，AF＝CE，
∴10﹣2t＝5，
解得：t＝，
此时AD＝≠CF，故此情况不成立，
综上，当t＝时，△AFD与△CFE全等；
（2）∵∠B＝60°，
当∠DEB＝90°时，则∠BDE＝30°，
∴BE＝BD，
∴2t＝×（10﹣t），
解得：t＝2，
当∠BDE＝90°时，则∠DEB＝30°，
∴BD＝BE，
10﹣t＝2t，
解得：t＝5，
综上，当t＝2或5时，△BDE为直角三角形
22．（2021秋•斗门区期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°．AD⊥BC于点D，若∠C＝30°，BD＝1，则线段CD的长为 ．
【答案】3
【解答】解：∵AD⊥BC于点D，∠C＝30°，
∴∠DAC＝60°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝30°，
∴在Rt△ABD中，AB＝2BD＝2，
∴Rt△ABC中，∠C＝30°，
∴BC＝2AB＝4，
∴CD＝BC﹣BD＝4﹣1＝3．
故答案为：3．
23．（2020秋•莱芜区期末）如图：在△ABC中，AB＝BC＝AC，AE＝CD，AD与BE相交于点P，BQ⊥AD于Q．
求证：①△ADC≌△BEA；
②BP＝2PQ．
【解答】证明：（1）∵AB＝BC＝AC，
∴△ABC是等边三角形．
∴∠BAC＝∠C＝60°．
∵AB＝AC，AE＝CD，
∴△ADC≌△BEA．
（2）∵△ADC≌△BEA，
∴∠ABE＝∠CAD．
∵∠CAD+∠BAD＝60°，
∴∠ABE+∠BAD＝60°．
∴∠BPQ＝60°．
∵BQ⊥AD，
∴∠PBQ＝30°．
∴BP＝2PQ．
专题13.3 等边三角形（专项训练）
1．（2021春•荣成市期中）如图，已知直线l1∥l2，将等边三角形如图放置，若∠α＝40°，则∠β等于（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
2．（2022•洪泽区一模）已知直线a∥b，将等边三角形ABC按如图方式放置，点B在直线b上，若∠2＝132°，则∠1的度数为（ ）
A．10° B．12° C．18° D．30°
3．（2022春•海淀区校级期中）如图，等边△ABC的边长为6，AD⊥BC于点D，则AD的长为（ ）
A．3 B．6 C．3 D．3
4．（2021秋•香洲区期中）如图，AD是等边△ABC的一条中线，若在边AC上取一点E，使得AE＝AD，则∠EDC的度数为（ ）
A．30° B．20° C．25° D．15°
5．（2022春•雁塔区校级月考）如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E的度数为（ ）
A．25° B．20° C．15° D．7.5°
6．（2021秋•盐都区期中）如图，△ABC是等边三角形，且BD＝CE，∠1＝15°，则∠2的度数为 °．
7.（2021秋•利通区期末）如图，△ABD，△ACE都是正三角形，BE和CD交于O点，则∠BOC＝ 度．
8．（2021秋•湘桥区期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠BEC＝90°，则∠ACE等于 ．
9．（2022春•市北区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，AD＝DE，如果∠BAD＝20°，∠AED＝60°，那么∠EDC的度数为 度．
10．（2021秋•禹州市期中）如图1所示的是某超市人口的双翼闸门，当它的双翼展开时，如图2，双翼边缘的端点A与B之间的距离为12cm，双翼的边缘AC＝BD＝62cm，且与闸机侧立面夹角∠ACP＝∠BDQ＝30°．求当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度．
11．（2019秋•泸县期末）等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论．
12．（2019秋•岳麓区校级月考）如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，B、C、D三点在一条直线上，AD与BE相交于点P，AC与BE相交于点M，AD、CE相交于点N．
（1）求证：△ACD≌△BCE；
（2）求∠APM的度数；
（3）连接MN，求证：△CMN是等边三角形．
13．（2022春•高州市期中）已知，如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AP⊥BC，垂足为D，且AP＝AB．
（1）求证：△ABP是等边三角形；
（2）若E是边AB上一点，∠EPF＝60°，PF交AC于点F，试判断BE与AF的数量关系，并说明理由．
14．（2020秋•渑池县期末）在等边△ABC中，
（1）如图1，P，Q是BC边上两点，AP＝AQ，∠BAP＝20°，求∠AQB的度数；
（2）点P，Q是BC边上的两个动点（不与B，C重合），点P在点Q的左侧，且AP＝AQ，点Q关于直线AC的对称点为M，连接AM，PM．
①依题意将图2补全；
②求证：PA＝PM．
15．（2021•宁德）如图，点O是等边△ABC内一点．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．已知∠AOB＝110°．
（1）求证：△COD是等边三角形；
（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．
16．（2021秋•东丽区期末）如图1，△ABD，△ACE都是等边三角形，
（1）求证：△ABE≌△ADC；
（2）若∠ACD＝15°，求∠AEB的度数；
（3）如图2，当△ABD与△ACE的位置发生变化，使C、E、D三点在一条直线上，求证：AC∥BE．
17．（2021秋•连云港期末）如图，在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC．
（1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由；
（2）若BC＝10，求△ODE的周长．
18．（2021秋•启东市期末）如图，在等边三角形ABC中，AD是∠BAC的平分线，E为AD上一点，以BE为一边且在BE下方作等边三角形BEF，连接CF．
（1）求证：△ABE≌△CBF；
（2）求∠ACF的度数．
19．（2021秋•平定县期末）已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作等边△ADE（顶点A、D、E按逆时针方向排列），连接CE．
（1）如图1，当点D在边BC上时，求证：①BD＝CE，②AC＝CE+CD；
（2）如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC＝CE+CD是否成立？若不成立，请写出AC、CE、CD之间存在的数量关系，并说明理由．
20．（2021秋•济宁期中）如图，△ABC是等边三角形，点D是边BC上一个动点（点D不与点B，C重合），连接AD，点E在边AC的延长线上，且DA＝DE．
（1）求证：∠BAD＝∠EDC：
（2）用等式表示线段CD，CE，AB之间的数量关系，并证明．
21．（2021秋•仁怀市期末）如图，已知△ABC是边长为10cm的等边三角形，点F为AC的中点，动点D，E同时从A，B两点出发，分别沿AB，BC匀速运动，其中点D运动的速度是1cm/s，点E运动的速度是2cm/s，设运动时为t秒．
（1）当t为何值时，△AFD与△CFE全等；
（2）当t为何值时，△BDE为直角三角形．
22．（2021秋•斗门区期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°．AD⊥BC于点D，若∠C＝30°，BD＝1，则线段CD的长为 ．
23．（2020秋•莱芜区期末）如图：在△ABC中，AB＝BC＝AC，AE＝CD，AD与BE相交于点P，BQ⊥AD于Q．
求证：①△ADC≌△BEA；
②BP＝2PQ．
专题13.3 等边三角形（专项训练）答案
1．（2021春•荣成市期中）如图，已知直线l1∥l2，将等边三角形如图放置，若∠α＝40°，则∠β等于（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
【答案】A
【解答】解：过点A作AD∥l1，如图，
则∠BAD＝∠β．
∵l1∥l2，
∴AD∥l2，
∵∠DAC＝∠α＝40°．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∴∠β＝∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝60°﹣40°＝20°．
故选：A．
2．（2022•洪泽区一模）已知直线a∥b，将等边三角形ABC按如图方式放置，点B在直线b上，若∠2＝132°，则∠1的度数为（ ）
A．10° B．12° C．18° D．30°
【答案】B
【解答】解：如下图，
∵∠2＝132°，a∥b，
∴∠3＝∠2＝132°，∠3+∠4＝180°，
∴∠4＝180°﹣132°＝48°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∴∠1＝60°﹣∠4＝60°﹣48°＝12°，
故选：B．
3．（2022春•海淀区校级期中）如图，等边△ABC的边长为6，AD⊥BC于点D，则AD的长为（ ）
A．3 B．6 C．3 D．3
【答案】D
【解答】解：在等边△ABC中，
∵AD⊥BC，
∴D为BC的中点，
∵等边三角形的边长为6，
∴AB＝6，BD＝3，
根据勾股定理，得AD＝＝3，
故选：D．
4．（2021秋•香洲区期中）如图，AD是等边△ABC的一条中线，若在边AC上取一点E，使得AE＝AD，则∠EDC的度数为（ ）
A．30° B．20° C．25° D．15°
【答案】D
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∵AD是等边△ABC的一条中线，
∴AD⊥BC，∠CAD＝∠BAC＝30°，
∵AE＝AD，
∴∠ADE＝∠AED，
∵∠ADE+∠AED+∠CAD＝180°，
∴∠ADE＝75°，
∴∠EDC＝90°﹣75°＝15°，
故选：D．
5．（2022春•雁塔区校级月考）如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E的度数为（ ）
A．25° B．20° C．15° D．7.5°
【答案】C
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°．
∵∠ACB＝∠CGD+∠CDG，
∴∠CGD+∠CDG＝60°．
∵CG＝CD，
∴∠CGD＝∠CDG＝30°．
∵∠CDG＝∠DFE+∠E，
∴∠DFE+∠E＝30°．
∵DF＝DE，
∴∠E＝∠DFE＝15°．
故选：C．
6．（2021秋•盐都区期中）如图，△ABC是等边三角形，且BD＝CE，∠1＝15°，则∠2的度数为 °．
【答案】60
【解答】解：在△ABD和△BCE中，
，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠1＝∠CBE，
∵∠2＝∠1+∠ABE，
∴∠2＝∠CBE+∠ABE＝∠ABC＝60°．
故答案为：60．
7.（2021秋•利通区期末）如图，△ABD，△ACE都是正三角形，BE和CD交于O点，则∠BOC＝ 度．
【答案】120
【解答】解：∵△ABD，△ACE都是正三角形
∴AD＝AB，∠DAB＝∠EAC＝60°，AC＝AE，
∴∠DAC＝∠EAB
∴△DAC≌△BAE（SAS）
∴DC＝BE，∠ADC＝∠ABE，∠AEB＝∠ACD，
∴∠BOC＝∠CDB+∠DBE
＝∠CDB+∠DBA+∠ABE
＝∠ADC+∠CDB+∠DBA
＝120°．
故填120．
8．（2021秋•湘桥区期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠BEC＝90°，则∠ACE等于 ．
【答案】15°
【解答】解：∵等边三角形ABC中，AD⊥BC，
∴BD＝CD，即：AD是BC的垂直平分线，
∵点E在AD上，
∴BE＝CE，
∴∠EBC＝∠ECB，
∵∠EBC＝45°，
∴∠ECB＝45°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∴∠ACE＝∠ACB﹣∠ECB＝15°，
故答案为：15°
9．（2022春•市北区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，AD＝DE，如果∠BAD＝20°，∠AED＝60°，那么∠EDC的度数为 度．
【答案】10
【解答】解：∵AD＝DE，
∴∠DAE＝∠DEA＝60°，
∵∠BAD＝20°，
∴∠BAC＝80°，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝（180°﹣80°）＝50°，
∴∠EDC＝∠DEA﹣∠C＝60°﹣50°＝10°，
故答案为：10．
10．（2021秋•禹州市期中）如图1所示的是某超市人口的双翼闸门，当它的双翼展开时，如图2，双翼边缘的端点A与B之间的距离为12cm，双翼的边缘AC＝BD＝62cm，且与闸机侧立面夹角∠ACP＝∠BDQ＝30°．求当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度．
【解答】解：如图，过点A作AE⊥CP于点E，过点B作BF⊥DQ于点F，
在Rt△ACE中，∠ACE＝30°，
∴AE＝AC＝×62＝31（cm），
同理可得，BF＝31cm，
又∵双翼边缘的端点A与B之间的距离为12cm，
∴31+12+31＝74（cm），
∴当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为74cm．
11．（2019秋•泸县期末）等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论．
【解答】解：△APQ为等边三角形．
证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC．
在△ABP与△ACQ中，
∵，
∴△ABP≌△ACQ（SAS）．
∴AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ．
∵∠BAC＝∠BAP+∠PAC＝60°，
∴∠PAQ＝∠CAQ+∠PAC＝60°，
∴△APQ是等边三角形．
12．（2019秋•岳麓区校级月考）如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，B、C、D三点在一条直线上，AD与BE相交于点P，AC与BE相交于点M，AD、CE相交于点N．
（1）求证：△ACD≌△BCE；
（2）求∠APM的度数；
（3）连接MN，求证：△CMN是等边三角形．
【解答】（1）证明：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴BC＝AC，CE＝CD，∠BCA＝∠ECD＝60°，
∴∠BCA+∠ACE＝∠ECD+∠ACE，∠ACE＝60°，
∴∠BCE＝∠ACD，
在△ACD和△BCE中
，
∴△ACD≌△BCE（SAS）；
（2）由（1）知，△ACD≌△BCE，
则∠DAC＝∠EBC，
即∠PAM＝∠CBM，
∵∠AMP＝∠BMC，
∴∠APM＝∠BCM，
∵∠BCM＝60°，
∴∠APM＝60°；
（3）由（1）知，△ACD≌△BCE，
则∠ADC＝∠BEC，
即∠CDN＝∠CEM，
∵∠ACE＝60°，∠ECD＝60°，
∴∠MCE＝∠NCD，
在△MCE和△NCD中，
，
∴△MCE≌△NCD（AAS），
∴CM＝CN，
∵∠MCN＝60°，
∴△MCN是等边三角形．
13．（2022春•高州市期中）已知，如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AP⊥BC，垂足为D，且AP＝AB．
（1）求证：△ABP是等边三角形；
（2）若E是边AB上一点，∠EPF＝60°，PF交AC于点F，试判断BE与AF的数量关系，并说明理由．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，AP⊥BC，∠BAC＝120°，
∴∠BAD＝∠DAC＝∠BAC＝60°，
∵AP＝AB，
∴△ABP是等边三角形；
（2）解：BE＝AF．
理由：由（1）知，△ABP是等边三角形，
∴∠ABP＝∠APB＝60°，BP＝AP，
∵∠PAC＝60°，
∴∠EBP＝∠FAP，
∵∠EPF＝60°＝∠APB，
∴∠APB﹣∠APE＝∠EPF﹣∠APE，
∴∠BPE＝∠APF，
在△BPE与△APF中，
，
∴△BPE≌△APF（ASA），
∴BE＝AF．
14．（2020秋•渑池县期末）在等边△ABC中，
（1）如图1，P，Q是BC边上两点，AP＝AQ，∠BAP＝20°，求∠AQB的度数；
（2）点P，Q是BC边上的两个动点（不与B，C重合），点P在点Q的左侧，且AP＝AQ，点Q关于直线AC的对称点为M，连接AM，PM．
①依题意将图2补全；
②求证：PA＝PM．
【解答】解：（1）∵△ABC为等边三角形
∴∠B＝60°
∴∠APC＝∠BAP+∠B＝80°
∵AP＝AQ
∴∠AQB＝∠APC＝80°，
（2）①补全图形如图所示，
②证明：过点A作AH⊥BC于点H，如图．
由△ABC为等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，
∵AP＝AQ，
∴∠APQ＝∠AQP，
∴∠APQ﹣∠B＝∠AQP﹣∠C，
即∠PAB＝∠QAC，
∵点Q，M关于直线AC对称，
∴∠QAC＝∠MAC，AQ＝AM
∴∠MAC+∠PAC＝∠PAB+∠PAC＝60°，
∵AP＝AM，
∴△APM为等边三角形
∴PA＝PM．
15．（2021•宁德）如图，点O是等边△ABC内一点．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．已知∠AOB＝110°．
（1）求证：△COD是等边三角形；
（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．
【解答】（1）证明：∵CO＝CD，∠OCD＝60°，
∴△COD是等边三角形；（3分）
（2）解：当α＝150°，即∠BOC＝150°时，△AOD是直角三角形．（5分）
∵△BOC≌△ADC，
∴∠ADC＝∠BOC＝150°，
又∵△COD是等边三角形，
∴∠ODC＝60°，
∴∠ADO＝90°，
即△AOD是直角三角形；（7分）
（3）解：①要使AO＝AD，需∠AOD＝∠ADO．
∵∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠COD﹣α＝360°﹣110°﹣60°﹣α＝190°﹣α，∠ADO＝α﹣60°，
∴190°﹣α＝α﹣60°
∴α＝125°；
②要使OA＝OD，需∠OAD＝∠ADO．
∵∠AOD＝190°﹣α，∠ADO＝α﹣60°，
∴∠OAD＝180°﹣（∠AOD+∠ADO）＝50°，
∴α﹣60°＝50°
∴α＝110°；
③要使OD＝AD，需∠OAD＝∠AOD．
∵190°﹣α＝50°
∴α＝140°．
综上所述：当α的度数为125°，或110°，或140°时，△AOD是等腰三角形．（12分）
说明：第（3）小题考生答对1种得（2分），答对2种得（4分）．
16．（2021秋•东丽区期末）如图1，△ABD，△ACE都是等边三角形，
（1）求证：△ABE≌△ADC；
（2）若∠ACD＝15°，求∠AEB的度数；
（3）如图2，当△ABD与△ACE的位置发生变化，使C、E、D三点在一条直线上，求证：AC∥BE．
【解答】（1）证明：∵△ABD，△ACE都是等边三角形
∴AB＝AD，AE＝AC
∠DAB＝∠EAC＝60°
∴∠DAC＝∠BAE，
在△ABE和△ADC中
∴，
∴△ABE≌△ADC；
（2）由（1）知△ABE≌△ADC
∴∠AEB＝∠ACD
∵∠ACD＝15°
∴∠AEB＝15°；
（3）同上可证：△ABE≌△ADC
∴∠AEB＝∠ACD
又∵∠ACD＝60°
∴∠AEB＝60°
∵∠EAC＝60°
∴∠AEB＝∠EAC
∴AC∥BE．
17．（2021秋•连云港期末）如图，在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC．
（1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由；
（2）若BC＝10，求△ODE的周长．
【解答】解：（1）△ODE是等边三角形；理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°；
∵OD∥AB，OE∥AC，
∴∠ODE＝∠ABC＝60°，∠OED＝∠ACB＝60°，
∴△ODE为等边三角形．
（2）∵OB平分∠ABC，OD∥AB，
∴∠ABO＝∠DOB，∠ABO＝∠DBO，
∴∠DOB＝∠DBO，
∴BD＝OD；同理可证CE＝OE；
∴△ODE的周长＝BC＝10．
18．（2021秋•启东市期末）如图，在等边三角形ABC中，AD是∠BAC的平分线，E为AD上一点，以BE为一边且在BE下方作等边三角形BEF，连接CF．
（1）求证：△ABE≌△CBF；
（2）求∠ACF的度数．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABE+∠EBC＝60°，
∵△BEF是等边三角形，
∴BE＝BF，∠CBF+∠EBC＝60°，
∴∠ABE＝∠CBF，
在△ABE和△CBF，，
∴△ABE≌△CBF（SAS）；
（2）解：∵等边△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，
∴∠BAE＝30°，∠ACB＝60°，
∵△ABE≌△CBF，
∴∠BCF＝∠BAE＝30°，
∴∠ACF＝∠BCF+∠ACB＝30°+60°＝90°．
19．（2021秋•平定县期末）已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作等边△ADE（顶点A、D、E按逆时针方向排列），连接CE．
（1）如图1，当点D在边BC上时，求证：①BD＝CE，②AC＝CE+CD；
（2）如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC＝CE+CD是否成立？若不成立，请写出AC、CE、CD之间存在的数量关系，并说明理由．
【解答】解：（1）①∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴∠BAC＝∠DAE＝60°，AB＝BC＝AC，AD＝DE＝AE．
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
∴∠BAD＝∠EAC．
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE．
②∵△ABD≌△ACE，
∴BD＝CE．
∵BC＝BD+CD，
∴BC＝CE+CD．
∵BC＝AC，
∴AC＝CE+CD．
（2）BC+CD＝CE．
∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴∠BAC＝∠DAE＝60°，AB＝BC＝AC，AD＝DE＝AE．
∴∠BAC+∠DAC＝∠DAE+∠DAC，
∴∠BAD＝∠EAC．
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）．
∴BD＝CE．
∵BD＝BC+CD，
∴CE＝BC+CD，
∵BC＝AC，
∴AC＝CE﹣CD．
20．（2021秋•济宁期中）如图，△ABC是等边三角形，点D是边BC上一个动点（点D不与点B，C重合），连接AD，点E在边AC的延长线上，且DA＝DE．
（1）求证：∠BAD＝∠EDC：
（2）用等式表示线段CD，CE，AB之间的数量关系，并证明．
【解答】（1）证明：延长BC至F，使CF＝CE，连接EF，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠B＝∠ACB＝60°，
∴∠ECF＝∠ACB＝60°，
∵CF＝CE，
∴△CEF为等边三角形，
∴∠F＝∠CEF＝60°，
∵DA＝DE，
∴∠DAE＝∠DEA，
∵∠ADB＝∠DAE+∠ACB＝∠DAE+60°，
∠DEF＝∠CEF+∠DEA＝60°+∠DEA，
∴∠ADB＝∠DEF，
在△ADB和△DEF中，
，
∴△ADB≌△DEF（AAS），
∴∠BAD＝∠EDF，
即∠BAD＝∠EDC．
（2）解：AB＝CD+CE．
证明：∵△ADB≌△DEF，
∴AB＝DF，BD＝EF，
∵DF＝DC+CF＝CD+CE，
∴AB＝CD+CE．
21．（2021秋•仁怀市期末）如图，已知△ABC是边长为10cm的等边三角形，点F为AC的中点，动点D，E同时从A，B两点出发，分别沿AB，BC匀速运动，其中点D运动的速度是1cm/s，点E运动的速度是2cm/s，设运动时为t秒．
（1）当t为何值时，△AFD与△CFE全等；
（2）当t为何值时，△BDE为直角三角形．
【解答】解：（1）由题意可得：t秒时，AD＝tcm，BE＝2tcm，
在等边△ABC中，∠A＝∠C＝∠B＝60°，AC＝BC＝AB＝10cm，
∵点F为AC的中点，
∴AF＝CF＝5cm，
①当△AFD≌△CFE时，AD＝CE，
∴t＝10﹣2t，
解得：t＝，
②当△AFD≌△CEF时，AF＝CE，
∴10﹣2t＝5，
解得：t＝，
此时AD＝≠CF，故此情况不成立，
综上，当t＝时，△AFD与△CFE全等；
（2）∵∠B＝60°，
当∠DEB＝90°时，则∠BDE＝30°，
∴BE＝BD，
∴2t＝×（10﹣t），
解得：t＝2，
当∠BDE＝90°时，则∠DEB＝30°，
∴BD＝BE，
10﹣t＝2t，
解得：t＝5，
综上，当t＝2或5时，△BDE为直角三角形
22．（2021秋•斗门区期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°．AD⊥BC于点D，若∠C＝30°，BD＝1，则线段CD的长为 ．
【答案】3
【解答】解：∵AD⊥BC于点D，∠C＝30°，
∴∠DAC＝60°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝30°，
∴在Rt△ABD中，AB＝2BD＝2，
∴Rt△ABC中，∠C＝30°，
∴BC＝2AB＝4，
∴CD＝BC﹣BD＝4﹣1＝3．
故答案为：3．
23．（2020秋•莱芜区期末）如图：在△ABC中，AB＝BC＝AC，AE＝CD，AD与BE相交于点P，BQ⊥AD于Q．
求证：①△ADC≌△BEA；
②BP＝2PQ．
【解答】证明：（1）∵AB＝BC＝AC，
∴△ABC是等边三角形．
∴∠BAC＝∠C＝60°．
∵AB＝AC，AE＝CD，
∴△ADC≌△BEA．
（2）∵△ADC≌△BEA，
∴∠ABE＝∠CAD．
∵∠CAD+∠BAD＝60°，
∴∠ABE+∠BAD＝60°．
∴∠BPQ＝60°．
∵BQ⊥AD，
∴∠PBQ＝30°．
∴BP＝2PQ．
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