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初中数学人教版八年级上册13.4课题学习 最短路径问题综合训练题
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这是一份初中数学人教版八年级上册13.4课题学习 最短路径问题综合训练题，共33页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
专题13.4 轴对称-最短路线问题（能力提升）
一、选择题。
1．（2022春•社旗县期末）如图，A、B是两个居民小区，快递公司准备在公路l上选取点P处建一个服务中心，使PA+PB最短．下面四种选址方案符合要求的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2021秋•寿光市期末）如图：等腰△ABC的底边BC长为6，面积是18，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．9 D．10
3．（2021秋•将乐县期中）一个小球从点A（3，3）出发，经过y轴上点C反弹后经过点B（1，0），则小球从A点经过点C到B点经过的最短路线长是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
4．（2021春•郯城县期中）如图，在锐角△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝2，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是（ ）
A．1 B．1.5 C． D．
5．（2021秋•磐石市期中）如图，直线l是一条河，P，Q是两个村庄，欲在l上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022春•连城县校级月考）如图，△ABC为边长3的等边三角形，AD⊥BC于点D，点E在AB边上，且AE＝1，P为线段AD上的一个动点，则PB+PE的最小值是（ ）
A．3 B． C． D．
7．（2022春•袁州区校级月考）已知在△ABC中，D为BC的中点，AD＝6，BD＝2.5，AB＝6.5，点P为AD边上的动点．点E为AB边上的动点，则PE+PB的最小值是（ ）
A．5 B．6 C． D．
8．（2021秋•重庆月考）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6cm，AD，CE是△ABC的两条中线，CE＝4cm，P是AD上的一个动点，则BP+EP的最小值是（ ）
A．3cm B．4cm C．6cm D．10cm
9．（2021春•惠安县校级月考）在平面直角坐标系xOy中，点A（0，4），B（m，m﹣4），则AB+OB的最小值是（ ）
A．4 B．8 C． D．4
10．（2021秋•北碚区校级月考）如图，在五边形ABCDE中，∠BAE＝150°，∠B＝∠E＝90°，AB＝BC，AE＝DE．在BC，DE上分别找一点M，N，使得△AMN的周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为（ ）
A．60° B．90° C．100° D．120°
二、填空题。
11．（2021•成华区模拟）如图，在边长为6的等边△ABC中，点D在边AC上，AD＝1，线段PQ在边AB上运动，PQ＝1，则四边形PCDQ面积的最大值为 ；四边形PCDQ周长的最小值为 ．
12．（2021春•敦化市校级期中）如图：知：AM⊥MN，BN⊥MN，垂足分别为M，N，点C是MN上使AC+BC的值最小的点．若AM＝3，BN＝5，MN＝15，则AC+BC＝ ．
13．（2022春•碑林区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，∠ACB＝90°，AC＝，分别以AC、BC为边，向上和向左作等边△ACD和△CBE，P、Q分别为CE、CD上的两个动点，连接DP、EQ，则PD+PQ+QE的最小值为 ．
14．（2022春•雁塔区校级月考）如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，AD是∠BAC的平分线，AC＝4，若点P是AD上一动点，且作PN⊥AC于点N，则PN+PC的最小值是 ．
15．（2022春•盐湖区月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，△ABC的面积为30，AC的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E，F．若D为BC的中点，P为线段EF上一动点，则△PCD周长的最小为 ．
16．（2022春•洪泽区校级月考）在等边△ABC中，AB＝4，点E在边BC上，点F在∠ACB的角平分线CD上，CE＝CF，则AE+AF的最小值为 ．
17．（2022春•碑林区校级月考）如图，∠AOB＝60°，点P是∠AOB内的定点，且OP＝，若点M、N分别是射线OA，OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是 ．
18．（2021秋•聊城月考）如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标（0，3），点B坐标（4，0），AB＝5，∠OAB的平分线交x轴于点C，点P、Q分别为线段AC、线段AO上的动点，则OP+PQ的最小值为 ．
三、解答题。
19．（2021春•东港市月考）如图所示，P为△BOA内任一点，在OB上找一点M，在OA上找一点N，使得△PMN的周长最短．
20．（2021春•龙口市月考）如图，直线a∥b，点A，D在直线b上，射线AB交直线a于点B，CD⊥a于点C，交射线AB于点E，AB＝15cm，BE：AE＝1：2，P为射线AB上一动点，P从A点出发沿射线AB方向运动，速度为1cm/s，设点P运动时间为t，M为直线a上一定点，连接PC，PD．
（1）当t＝m时，PC+PD有最小值，求m的值；
（2）当t＜m（m为（1）中的取值）时，探究∠PCM、∠PDA与∠CPD的关系，并说明理由；
（3）当t＞m（m为（1）中的取值）时，直接写出∠PCM、∠PDA与∠CPD的关系．
21．（2021秋•双辽市期末）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点E，若△ABC为等边三角形，AD⊥AB，AD＝DC＝4．
（1）求证：BD垂直平分AC；
（2）求BE的长；
（3）若点F为BC的中点，请在BD上找出一点P，使PC+PF取得最小值；PC+PF的最小值为 （直接写出结果）．
22．（2021春•香坊区校级期中）如图，点A、B分别在直线m的上方．
（1）在直线m上找到点P，使得AP+BP最短．（要求：保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）在（1）的条件下，若点A、B到直线m的距离分别为3.5cm、8.5cm，且点B在点A的东北方向，则AP+BP的最短距离为 cm．
23．（2021秋•高新区月考）如图红星村A和幸福村B在一条大河CD的同侧，它们到河岸的距离AC、BD分别为1千米和3千米，又知道CD的长为3千米，现要在河岸CD上建一水厂向两村输送自来水，铺设水管的工程费用每千米20000元．
（1）请在CD上选择水厂位置，使铺设管道的费用最省．
（2）并求出铺设水管的最省总费用．
24．（2021秋•高州市校级月考）如图牧童在A，B两处相距河岸的距离AC，BD分别为500m和300m，且C，D两处距离为600m天黑前牧童从A处将牛牵到河边去饮水再赶回家那么牧童最少要走多少米？
25．（2021春•禹王台区校级月考）如图，C为线段BD上一动点，分别过点B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC，EC．已知AB＝2，DE＝1，BD＝4，设CD＝x．
（1）用含x的代数式表示AC+CE的值；
（2）探究：当点C满足什么条件时，AC+CE的值最小？最小值是多少？
（3）根据（2）中的结论，请构造图形求代数式的最小值．
26．（2022春•海淀区校级期中）请阅读下列材料：问题：如图1，点A、B在直线l的同侧，在直线l上找一点P，使得AP+BP的值最小．小明的思路是：如图2，作点A关于直线l的对称点A'，连接A'B，则A'B与直线l的交点P即为所求．
请你参考小明同学的思路，探究并解决下列问题：
（1）如图3，在图2的基础上，设AA'与直线l的交点为C，过点B作BD⊥l，垂足为D，若CP＝1，PD＝2，AC＝1，写出AP+BP的值；
（2）将（1）中的条件“AC＝1”去掉，换成“BD＝4﹣AC”，其它条件不变，写出此时AP+BP的值；
（3）请结合图形，求出的最小值．
专题13.4 轴对称-最短路线问题（能力提升）答案
一、选择题。
1．（2022春•社旗县期末）如图，A、B是两个居民小区，快递公司准备在公路l上选取点P处建一个服务中心，使PA+PB最短．下面四种选址方案符合要求的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A。
【解答】解：根据题意得，在公路l上选取点P，使PA+PB最短．
则选项A 符合要求，
故选：A．
2．（2021秋•寿光市期末）如图：等腰△ABC的底边BC长为6，面积是18，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．9 D．10
【答案】C。
【解答】解：连接AD，MA．
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝BC•AD＝×6×AD＝18，解得AD＝6，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点A关于直线EF的对称点为点C，MA＝MC，
∴MC+DM＝MA+DM≥AD，
∴AD的长为CM+MD的最小值，
∴△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝AD+BC＝6+×6＝6+3＝9．
故选：C．
3．（2021秋•将乐县期中）一个小球从点A（3，3）出发，经过y轴上点C反弹后经过点B（1，0），则小球从A点经过点C到B点经过的最短路线长是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B。
【解答】解：如果将y轴当成平面镜，设A点关于y轴的对称点为A′，则由小球路线知识可知，A′相当于A的像点，光线从A到C到B，相当于小球路线从A′直接到B，所以C点就是A′B与y轴的交点．
∵A点关于y轴的对称点为A′，A（3，3），
∴A′（﹣3，3），
进而由两点式写出A′B的直线方程为：y＝﹣（x﹣1）．
令x＝0，求得y＝．所以C点坐标为（0，）．
那么根据勾股定理，可得：
AC＝，BC＝．
因此，AC+BC＝5．
故选：B．
4．（2021春•郯城县期中）如图，在锐角△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝2，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是（ ）
A．1 B．1.5 C． D．
【答案】C。
【解答】解：如图，作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M′点，过M′点作M′N′⊥AB，垂足为N′，则BM′+M′N′为所求的最小值．
∵AD是∠BAC的平分线，
∴M′H＝M′N′，
∴BH是点B到直线AC的最短距离（垂线段最短），
∵AB＝2，∠BAC＝45°，
∴BH＝AB•sin45°＝2×＝．
∵BM+MN的最小值是BM′+M′N′＝BM′+M′H＝BH＝．
故选：C．
5．（2021秋•磐石市期中）如图，直线l是一条河，P，Q是两个村庄，欲在l上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C。
【解答】解：作点P关于直线l的对称点P′，连接QP′交直线l于M．
根据两点之间，线段最短，可知选项C铺设的管道，则所需管道最短．
故选：C．
6．（2022春•连城县校级月考）如图，△ABC为边长3的等边三角形，AD⊥BC于点D，点E在AB边上，且AE＝1，P为线段AD上的一个动点，则PB+PE的最小值是（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】B。
【解答】解：作E关于AD的对称点E′，连接BE′交AD于P，
则此时PE+PB有最小值，PE+PB的最小值＝BE′，
∴AE′＝AE＝1，
∴CE'＝3﹣1＝2，
作E'F⊥BC于F，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠C＝60°，
∴CF＝1，E'F＝，
∴BF＝3﹣1＝2，
∵AC＝BC＝3，
∴BE'＝＝＝．
故选：B．
7．（2022春•袁州区校级月考）已知在△ABC中，D为BC的中点，AD＝6，BD＝2.5，AB＝6.5，点P为AD边上的动点．点E为AB边上的动点，则PE+PB的最小值是（ ）
A．5 B．6 C． D．
【答案】C。
【解答】解：∵AD＝6，BD＝2.5，AB＝6.5，
∴AB2＝6.52＝42.25，AD2+BD2＝62+2.52＝42.25，
∴AB2＝AD2+BD2，
∴∠ADB＝90°，
∵D为BC的中点，BD＝CD，
∴AD垂直平分BC，
∴点B，点C关于直线AD对称，
过C作CE⊥AB交AD于P，则此时PE+PB＝CE的值最小，
∵S△ABC＝AB•CE＝BC•AD，
∴6.5•CE＝5×6，
∴CE＝，
∴PE+PB的最小值为，
故选：C．
8．（2021秋•重庆月考）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6cm，AD，CE是△ABC的两条中线，CE＝4cm，P是AD上的一个动点，则BP+EP的最小值是（ ）
A．3cm B．4cm C．6cm D．10cm
【答案】B。
【解答】解：连接CE交AD于点P，
∵AB＝AC，AD是BC的中线，
∴AD⊥BC，
∴BP＝CP，
∴BP+EP＝CP+EP≥CE，
∴BP+EP的最小值为CE的长，
∵CE＝4cm，
∴BP+EP的最小值为4cm，
故选：B．
9．（2021春•惠安县校级月考）在平面直角坐标系xOy中，点A（0，4），B（m，m﹣4），则AB+OB的最小值是（ ）
A．4 B．8 C． D．4
【答案】A。
【解答】解：如图，∵B（m，m﹣4），
∴点B在直线y＝x﹣4上，
设直线y＝x﹣4交x轴于D，交y轴于C，
∴OC＝OD＝4，
构造正方形OCED，
∴E（4，﹣4），
连接BE，AE．
∵四边形OCED是正方形，
∴OB＝BE，
∴AB+OB＝AB+BE，
∵AB+BE≥AE，
∴AB+OB的最小值为AE，
在Rt△ACE中，AC＝8，CE＝4，
∴AE＝＝4，
∴AB+OB的最小值为4，
故选：A．
10．（2021秋•北碚区校级月考）如图，在五边形ABCDE中，∠BAE＝150°，∠B＝∠E＝90°，AB＝BC，AE＝DE．在BC，DE上分别找一点M，N，使得△AMN的周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为（ ）
A．60° B．90° C．100° D．120°
【答案】A。
【解答】解：作A关于BC的对称点G，A关于DE的对称点H，
连接MG，NH，
则AM＝MG，AN＝NH，
∴△AMN的周长为AM+MN+AN＝MG+MN+NH，
由两点之间，线段最短可知：当G、M、N、H共线时，△AMN的周长最小，
∵∠BAE＝150°，
∴∠G+∠H＝30°，
∵AM＝MG，AN＝NH，
∴∠G＝∠GAM，∠H＝∠HAN，
∠AMN+∠ANM＝2∠G+2∠H＝2×30°＝60°，
故选：A．
二、填空题。
11．（2021•成华区模拟）如图，在边长为6的等边△ABC中，点D在边AC上，AD＝1，线段PQ在边AB上运动，PQ＝1，则四边形PCDQ面积的最大值为 ；四边形PCDQ周长的最小值为 6+ ．
【答案】，6+。
【解答】解：设AQ＝x，则四边形PCDQ的面积＝S△ABC﹣S△ADQ﹣S△BCP＝﹣•x•×1﹣×（6﹣x﹣1）××6＝+x，
∵x的最大值为6﹣1＝5，
∴x＝5时，四边形PCDQ的面积最大，最大值＝，
如图，作点D关于AB的对称点D'，连接D'Q，以D'Q、PQ为边作平行四边形PQD'M，则DQ＝D'Q＝MP，DD'＝2×AD×sin60°＝，D'M＝PQ＝1，
过C作CH⊥AB，交D'M的延长线于N，则∠N＝90°，CH＝BC×sin60°＝3，NH＝DD'＝，
∴MN＝AH﹣D'M﹣AD×cos60°＝AC×cos60°﹣1﹣＝3﹣1﹣＝，
CN＝NH+CH＝＝，
当M，P，C在同一直线上时，MP+CP的最小值等于CM的长，即DQ+CP的最小值等于CM的长，
此时，Rt△MNC中，CM＝＝＝，
又∵PQ＝1，CD＝6﹣1＝5，
∴四边形PCDQ周长的最小值为+6．
故答案为：，6+．
12．（2021春•敦化市校级期中）如图：知：AM⊥MN，BN⊥MN，垂足分别为M，N，点C是MN上使AC+BC的值最小的点．若AM＝3，BN＝5，MN＝15，则AC+BC＝ 17 ．
【答案】17。
【解答】解：作A点关于直线MN的对称点A′，连接A′B交MN于C，则AC+BC＝A′C+BC＝A′B，A′B就是AC+BC的最小值；
延长BN使ND＝A′M，连接A′D，
∵AM⊥MN，BN⊥MN，
∴AA′∥BD，
∴四边形A′DNM是矩形，
∴ND＝AM＝3，A′D＝MN＝15，
∴BD＝BN+ND＝5+3＝8，
∴A′B＝＝17，
∴AC+BC＝17，
故答案为17．
13．（2022春•碑林区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，∠ACB＝90°，AC＝，分别以AC、BC为边，向上和向左作等边△ACD和△CBE，P、Q分别为CE、CD上的两个动点，连接DP、EQ，则PD+PQ+QE的最小值为 2 ．
【答案】2。
【解答】解：如图，连接PA，BQ．
由作图可知：CE垂直平分AD，
∴PA＝PD，
由作图可知CD垂直平分EB，
∴QB＝QE，
∴PD+PQ+QE＝PA+PQ+QB≥AB，
∵AC＝，∠ABC＝30°，∠ACB＝90°，
∴AB＝2，
∴PD+PQ+QE的最小值为2．
故答案为2．
14．（2022春•雁塔区校级月考）如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，AD是∠BAC的平分线，AC＝4，若点P是AD上一动点，且作PN⊥AC于点N，则PN+PC的最小值是 2 ．
【答案】2。
【解答】解：作点N关于AD的对称点E，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴PN＝PE，
∴PN+PC＝PE+PC≥EC，
且当CE⊥AB时，PN+PC最短，
在直角△ACE中，CE＝AC•sin∠BAC＝4×＝2，
即PN+PC的最小值是2．
故答案是：2．
15．（2022春•盐湖区月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，△ABC的面积为30，AC的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E，F．若D为BC的中点，P为线段EF上一动点，则△PCD周长的最小为 13 ．
【答案】13。
【解答】解：连接AD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝BC•AD＝×6×AD＝30，
解得AD＝10，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点C关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为CP+PD的最小值，
∴△CDP的周长最短＝（CP+PD）+CD＝AD+BC＝10+×6＝13．
故答案为：13．
16．（2022春•洪泽区校级月考）在等边△ABC中，AB＝4，点E在边BC上，点F在∠ACB的角平分线CD上，CE＝CF，则AE+AF的最小值为 4 ．
【答案】。
【解答】解：过点C作CG⊥AC，并截取CG＝AC，连接EG，如图所示：
∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝4，∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，
∵CD平分∠ACB．
∴∠ACD＝∠BCD＝∠ACB＝30°，
∵∠ACG＝90°，
∴BCG＝∠ACG﹣∠ACB＝90°﹣60°＝30°，
∴∠ACD＝∠BCG，
∴△GCE≌△ACF（SAS），
∴AF＝GE，
∴AF+AE＝GE+AE，
当A、G、E三个点在同一直线上时，GE+AE的和最小，即AF+AE最小．
∴AF+AE的值最小为：＝＝4．
故答案为：
17．（2022春•碑林区校级月考）如图，∠AOB＝60°，点P是∠AOB内的定点，且OP＝，若点M、N分别是射线OA，OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是 3 ．
【答案】3。
【解答】解：作P点分别关于OA、OB的对称点C、D，连接CD分别交OA、OB于M、N，如图，
则MP＝MC，NP＝ND，OP＝OD＝OC＝，∠BOP＝∠BOD，∠AOP＝∠AOC，
∴PN+PM+MN＝ND+MN+MC＝DC，∠COD＝∠BOP+∠BOD+∠AOP+∠AOC＝2∠AOB＝120°，
∴此时△PMN周长最小，
作OH⊥CD于H，则CH＝DH，
∵∠OCH＝30°，
∴OH＝OC＝，
CH＝OH＝，
∴CD＝2CH＝3．
∴△PMN周长的最小值是3
故答案为：3．
18．（2021秋•聊城月考）如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标（0，3），点B坐标（4，0），AB＝5，∠OAB的平分线交x轴于点C，点P、Q分别为线段AC、线段AO上的动点，则OP+PQ的最小值为 ．
【答案】。
【解答】解：在AB上取一点G，使AG＝AQ，连接PG，过点O作OH⊥AB与H，
∵∠CAO＝∠BAC，AP＝AP，
∴△APQ≌△APG（SAS），
∴PQ＝PG，
∴OP+PQ＝OP+PG，
∵点O到直线AB上垂线段最短，
∴OP+PG最小值为OH的长度，
∵S△ABC＝AB•OH＝AO•BO，
∴OH＝＝＝，
∴OP+PQ的最小值为，
故答案为：．
三、解答题。
19．（2021春•东港市月考）如图所示，P为△BOA内任一点，在OB上找一点M，在OA上找一点N，使得△PMN的周长最短．
【解答】解：如图．
作点P关于OA、OB的对称点P''、P'，连接P'P''，
分别交OA、OB于点N、M，即M、N为所求．
此时△PMN的周长为PM+PN+MN＝P''N+MN+P'M≥P'P''，
即最小值为P'P''的长度．
20．（2021春•龙口市月考）如图，直线a∥b，点A，D在直线b上，射线AB交直线a于点B，CD⊥a于点C，交射线AB于点E，AB＝15cm，BE：AE＝1：2，P为射线AB上一动点，P从A点出发沿射线AB方向运动，速度为1cm/s，设点P运动时间为t，M为直线a上一定点，连接PC，PD．
（1）当t＝m时，PC+PD有最小值，求m的值；
（2）当t＜m（m为（1）中的取值）时，探究∠PCM、∠PDA与∠CPD的关系，并说明理由；
（3）当t＞m（m为（1）中的取值）时，直接写出∠PCM、∠PDA与∠CPD的关系．
【解答】解：（1）在△PCD中，PC+PD＞CD，
当点P与E重合时，此时PC+PD＝CD最小，
∴AP＝AE，
∵BE：AE＝1：2，AB＝15cm，
∴AE＝AB＝10cm，
∴t＝m＝＝10s．
故m＝10时，PC+PD值最小；
（2）如图，当t＜m即t＜10时，点P在AE上，过点P作PN∥a，
∵a∥b，
∴PN∥a∥b，
∴∠PCM＝∠CPN，∠PDA＝∠DPN，
∴∠PCM+∠PDA＝∠CPN+∠DPN，
∵∠CPD＝∠CPN+∠DPN，
∴∠PCM+∠PDA＝∠CPD．
（3）当t＞m即t＞4时，点P在BE上，过点P作PH∥a，如图：
又∵a∥b，
∴PH∥a∥b，
∴∠PCM+∠CPH＝180°，∠PDA+∠DPH＝180°，
∴∠PCM+∠CPH+∠PDA+∠DPH＝360°，
又∵∠CPD＝∠CPH+∠DPH，
∴∠PCM+∠CPD+∠PDA＝360°，
即当12≥t＞4时，∠PCM+∠CPD+∠PDA＝360°．
当t＞12时，同法可得∠PCM＝∠CPD+∠PDA．
综上所述，t＞4时，∠PCM+∠CPD+∠PDA＝360°或∠PCM＝∠CPD+∠PDA．
21．（2021秋•双辽市期末）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点E，若△ABC为等边三角形，AD⊥AB，AD＝DC＝4．
（1）求证：BD垂直平分AC；
（2）求BE的长；
（3）若点F为BC的中点，请在BD上找出一点P，使PC+PF取得最小值；PC+PF的最小值为 6 （直接写出结果）．
【解答】解：（1）∵AB＝BC，AD＝CD，BD＝BD，
∴△ABD≌△CBD（SSS），
∴∠ADB＝∠CDB，
∵AD＝EC，∠ADB＝∠CDB，DE＝DE，
∴△ADE≌△CDE（SAS），
∴AE＝ED，∠AED＝∠DEC＝90°，
∴BD垂直平分AC；
（2）∵DB⊥AC，
∴BE平分∠ABC，
∵∠ABC＝∠BAC＝60°，
∴∠ABD＝30°，
∵∠BAD＝90°，
∴∠DAE＝30°，
∵AD＝4，
∴BD＝8，DE＝2，
∴BE＝6；
（3）连接AF交BD于点P，连接PC，
∵BD是AC的垂直平分线，
∴A、C关于BD对称，
∴AP＝PC，
∴PC+PF＝AP+PF≥AF，
∴PC+PF的最小值为AF，
∵F是BC的中点，
∴AF⊥BC，
∵BE＝6，
∴AF＝6，
故答案为：6．
22．（2021春•香坊区校级期中）如图，点A、B分别在直线m的上方．
（1）在直线m上找到点P，使得AP+BP最短．（要求：保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）在（1）的条件下，若点A、B到直线m的距离分别为3.5cm、8.5cm，且点B在点A的东北方向，则AP+BP的最短距离为 13 cm．
【解答】解：（1）如图，作点A关于直线m的对称点A'，连接A'B，交直线m于点P．
AP+BP＝A'P+BP，最小值为A'B．
（2）如图，DE＝A'C＝AC＝3.5cm，BE＝8.5cm，
∴BD＝BE+DE＝8.5+3.5＝12cm，
∵点B在点A的东北方向，
∴∠BAF＝45°，
∴AF＝BF＝8.5﹣3.5＝5cm，
∴A'D＝5cm，
∴A'B＝＝＝13cm．
故答案为：13．
23．（2021秋•高新区月考）如图红星村A和幸福村B在一条大河CD的同侧，它们到河岸的距离AC、BD分别为1千米和3千米，又知道CD的长为3千米，现要在河岸CD上建一水厂向两村输送自来水，铺设水管的工程费用每千米20000元．
（1）请在CD上选择水厂位置，使铺设管道的费用最省．
（2）并求出铺设水管的最省总费用．
【解答】解：（1）
延长AC到F，使AC＝CF，连接BF，交CD于E，
则在CD上选择水厂位置是E时，使铺设管道的费用最省；
（2）
过B作BN⊥CA，交CA的延长线于N，
∵AC⊥CD，BD⊥CD，
∴∠BNC＝∠NCD＝∠BDC＝90°，
∴四边形NCDB是矩形，
∴BN＝CD＝3千米，BD＝CN＝3千米，
∵AC＝CF＝1千米，
∴NF＝3千米+1千米＝4千米，
在Rt△BNF中，由勾股定理得：BF＝＝＝5（千米），
∵AC⊥CD，AC＝CF，
∴AE＝FE，
∴AE+BE＝EF+BE＝BF＝5千米，
∴铺设水管的最省总费用是：20000元/千米×5千米＝100000元．
24．（2021秋•高州市校级月考）如图牧童在A，B两处相距河岸的距离AC，BD分别为500m和300m，且C，D两处距离为600m天黑前牧童从A处将牛牵到河边去饮水再赶回家那么牧童最少要走多少米？
【解答】解：作点A关于CD的对称点A′，连接A′B，则A′B的长即为AP+BP的最小值，过点B作BE⊥AC，垂足为E，
∵CD＝600m，BD＝300m，AC＝500m，
∴A′C＝AC＝500m，CE＝BD＝300m，CD＝BE＝600m，
∴A′E＝A′C+CE＝500+300＝800m，
在Rt△A′EB中，
A′B＝＝＝1000m．
答：牧童最少要走1000米．
25．（2021春•禹王台区校级月考）如图，C为线段BD上一动点，分别过点B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC，EC．已知AB＝2，DE＝1，BD＝4，设CD＝x．
（1）用含x的代数式表示AC+CE的值；
（2）探究：当点C满足什么条件时，AC+CE的值最小？最小值是多少？
（3）根据（2）中的结论，请构造图形求代数式的最小值．
【解答】解：（1）∵AC＝＝，
CE＝＝，
∴AC+CE＝+；
（2）当A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小，
过A作AF⊥DE交ED的延长线于F，
∴DF＝AB＝5，
∴AE＝＝5，
∴AC+CE的最小值是5；
（3）如图2所示，作BD＝12，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB＝2，ED＝3，连接AE交BD于点C，
设BC＝x，则AE的长即为代数式+的最小值．
过点A作AF∥BD交ED的延长线于点F，得矩形ABDF，
则AB＝DF＝2，AF＝BD＝12，EF＝ED+DF＝3+2＝5，
所以AE＝＝＝13，
即+的的最小值为13．
26．（2022春•海淀区校级期中）请阅读下列材料：问题：如图1，点A、B在直线l的同侧，在直线l上找一点P，使得AP+BP的值最小．小明的思路是：如图2，作点A关于直线l的对称点A'，连接A'B，则A'B与直线l的交点P即为所求．
请你参考小明同学的思路，探究并解决下列问题：
（1）如图3，在图2的基础上，设AA'与直线l的交点为C，过点B作BD⊥l，垂足为D，若CP＝1，PD＝2，AC＝1，写出AP+BP的值；
（2）将（1）中的条件“AC＝1”去掉，换成“BD＝4﹣AC”，其它条件不变，写出此时AP+BP的值；
（3）请结合图形，求出的最小值．
【解答】解：（1）如图2，∵AA′⊥l，AC＝1，PC＝1，
∴AC＝CP，∠ACP＝90°，
∴∠CAP＝∠CPA＝45°，
∴PA＝＝，
∵点A关于直线l的对称点为A'，
∴PA′＝PA＝，
∴∠CPA′＝∠CPA＝45°，
∵BD⊥l，∠BPD＝∠CPA′＝45°，
∴∠PBD＝90°﹣45°＝45°＝∠BPD，
∴BD＝PD＝2，
∴PB＝＝＝2，
∴AP+PB＝+2＝3；
（2）作AE∥l，交BD的延长线于E，如图3，
则四边形A′EDC是矩形，
∴AE＝DC＝PC+PD＝3，DE＝A′C＝AC，
∵BD＝4﹣AC，
∴BD+AC＝BD+DE＝4，
即BE＝4，
在RT△A′BE中，A′B＝＝5，
∴AP+BP＝5；
（3）如图3，设AC＝2m﹣2，PC＝1，则PA＝，
设BD＝8﹣2m，PD＝2，则PB＝，
∵DE＝AC＝2m﹣2，
∴BE＝BD+DE＝6，A′E＝CD＝PC+PD＝3，
∴PA+PB＝A′B＝＝＝3，
∴的最小值是3．
专题13.4 轴对称-最短路线问题（能力提升）
一、选择题。
1．（2022春•社旗县期末）如图，A、B是两个居民小区，快递公司准备在公路l上选取点P处建一个服务中心，使PA+PB最短．下面四种选址方案符合要求的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2021秋•寿光市期末）如图：等腰△ABC的底边BC长为6，面积是18，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．9 D．10
3．（2021秋•将乐县期中）一个小球从点A（3，3）出发，经过y轴上点C反弹后经过点B（1，0），则小球从A点经过点C到B点经过的最短路线长是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
4．（2021春•郯城县期中）如图，在锐角△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝2，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是（ ）
A．1 B．1.5 C． D．
5．（2021秋•磐石市期中）如图，直线l是一条河，P，Q是两个村庄，欲在l上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022春•连城县校级月考）如图，△ABC为边长3的等边三角形，AD⊥BC于点D，点E在AB边上，且AE＝1，P为线段AD上的一个动点，则PB+PE的最小值是（ ）
A．3 B． C． D．
7．（2022春•袁州区校级月考）已知在△ABC中，D为BC的中点，AD＝6，BD＝2.5，AB＝6.5，点P为AD边上的动点．点E为AB边上的动点，则PE+PB的最小值是（ ）
A．5 B．6 C． D．
8．（2021秋•重庆月考）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6cm，AD，CE是△ABC的两条中线，CE＝4cm，P是AD上的一个动点，则BP+EP的最小值是（ ）
A．3cm B．4cm C．6cm D．10cm
9．（2021春•惠安县校级月考）在平面直角坐标系xOy中，点A（0，4），B（m，m﹣4），则AB+OB的最小值是（ ）
A．4 B．8 C． D．4
10．（2021秋•北碚区校级月考）如图，在五边形ABCDE中，∠BAE＝150°，∠B＝∠E＝90°，AB＝BC，AE＝DE．在BC，DE上分别找一点M，N，使得△AMN的周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为（ ）
A．60° B．90° C．100° D．120°
二、填空题。
11．（2021•成华区模拟）如图，在边长为6的等边△ABC中，点D在边AC上，AD＝1，线段PQ在边AB上运动，PQ＝1，则四边形PCDQ面积的最大值为 ；四边形PCDQ周长的最小值为 ．
12．（2021春•敦化市校级期中）如图：知：AM⊥MN，BN⊥MN，垂足分别为M，N，点C是MN上使AC+BC的值最小的点．若AM＝3，BN＝5，MN＝15，则AC+BC＝ ．
13．（2022春•碑林区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，∠ACB＝90°，AC＝，分别以AC、BC为边，向上和向左作等边△ACD和△CBE，P、Q分别为CE、CD上的两个动点，连接DP、EQ，则PD+PQ+QE的最小值为 ．
14．（2022春•雁塔区校级月考）如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，AD是∠BAC的平分线，AC＝4，若点P是AD上一动点，且作PN⊥AC于点N，则PN+PC的最小值是 ．
15．（2022春•盐湖区月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，△ABC的面积为30，AC的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E，F．若D为BC的中点，P为线段EF上一动点，则△PCD周长的最小为 ．
16．（2022春•洪泽区校级月考）在等边△ABC中，AB＝4，点E在边BC上，点F在∠ACB的角平分线CD上，CE＝CF，则AE+AF的最小值为 ．
17．（2022春•碑林区校级月考）如图，∠AOB＝60°，点P是∠AOB内的定点，且OP＝，若点M、N分别是射线OA，OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是 ．
18．（2021秋•聊城月考）如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标（0，3），点B坐标（4，0），AB＝5，∠OAB的平分线交x轴于点C，点P、Q分别为线段AC、线段AO上的动点，则OP+PQ的最小值为 ．
三、解答题。
19．（2021春•东港市月考）如图所示，P为△BOA内任一点，在OB上找一点M，在OA上找一点N，使得△PMN的周长最短．
20．（2021春•龙口市月考）如图，直线a∥b，点A，D在直线b上，射线AB交直线a于点B，CD⊥a于点C，交射线AB于点E，AB＝15cm，BE：AE＝1：2，P为射线AB上一动点，P从A点出发沿射线AB方向运动，速度为1cm/s，设点P运动时间为t，M为直线a上一定点，连接PC，PD．
（1）当t＝m时，PC+PD有最小值，求m的值；
（2）当t＜m（m为（1）中的取值）时，探究∠PCM、∠PDA与∠CPD的关系，并说明理由；
（3）当t＞m（m为（1）中的取值）时，直接写出∠PCM、∠PDA与∠CPD的关系．
21．（2021秋•双辽市期末）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点E，若△ABC为等边三角形，AD⊥AB，AD＝DC＝4．
（1）求证：BD垂直平分AC；
（2）求BE的长；
（3）若点F为BC的中点，请在BD上找出一点P，使PC+PF取得最小值；PC+PF的最小值为 （直接写出结果）．
22．（2021春•香坊区校级期中）如图，点A、B分别在直线m的上方．
（1）在直线m上找到点P，使得AP+BP最短．（要求：保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）在（1）的条件下，若点A、B到直线m的距离分别为3.5cm、8.5cm，且点B在点A的东北方向，则AP+BP的最短距离为 cm．
23．（2021秋•高新区月考）如图红星村A和幸福村B在一条大河CD的同侧，它们到河岸的距离AC、BD分别为1千米和3千米，又知道CD的长为3千米，现要在河岸CD上建一水厂向两村输送自来水，铺设水管的工程费用每千米20000元．
（1）请在CD上选择水厂位置，使铺设管道的费用最省．
（2）并求出铺设水管的最省总费用．
24．（2021秋•高州市校级月考）如图牧童在A，B两处相距河岸的距离AC，BD分别为500m和300m，且C，D两处距离为600m天黑前牧童从A处将牛牵到河边去饮水再赶回家那么牧童最少要走多少米？
25．（2021春•禹王台区校级月考）如图，C为线段BD上一动点，分别过点B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC，EC．已知AB＝2，DE＝1，BD＝4，设CD＝x．
（1）用含x的代数式表示AC+CE的值；
（2）探究：当点C满足什么条件时，AC+CE的值最小？最小值是多少？
（3）根据（2）中的结论，请构造图形求代数式的最小值．
26．（2022春•海淀区校级期中）请阅读下列材料：问题：如图1，点A、B在直线l的同侧，在直线l上找一点P，使得AP+BP的值最小．小明的思路是：如图2，作点A关于直线l的对称点A'，连接A'B，则A'B与直线l的交点P即为所求．
请你参考小明同学的思路，探究并解决下列问题：
（1）如图3，在图2的基础上，设AA'与直线l的交点为C，过点B作BD⊥l，垂足为D，若CP＝1，PD＝2，AC＝1，写出AP+BP的值；
（2）将（1）中的条件“AC＝1”去掉，换成“BD＝4﹣AC”，其它条件不变，写出此时AP+BP的值；
（3）请结合图形，求出的最小值．
专题13.4 轴对称-最短路线问题（能力提升）答案
一、选择题。
1．（2022春•社旗县期末）如图，A、B是两个居民小区，快递公司准备在公路l上选取点P处建一个服务中心，使PA+PB最短．下面四种选址方案符合要求的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A。
【解答】解：根据题意得，在公路l上选取点P，使PA+PB最短．
则选项A 符合要求，
故选：A．
2．（2021秋•寿光市期末）如图：等腰△ABC的底边BC长为6，面积是18，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．9 D．10
【答案】C。
【解答】解：连接AD，MA．
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝BC•AD＝×6×AD＝18，解得AD＝6，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点A关于直线EF的对称点为点C，MA＝MC，
∴MC+DM＝MA+DM≥AD，
∴AD的长为CM+MD的最小值，
∴△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝AD+BC＝6+×6＝6+3＝9．
故选：C．
3．（2021秋•将乐县期中）一个小球从点A（3，3）出发，经过y轴上点C反弹后经过点B（1，0），则小球从A点经过点C到B点经过的最短路线长是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B。
【解答】解：如果将y轴当成平面镜，设A点关于y轴的对称点为A′，则由小球路线知识可知，A′相当于A的像点，光线从A到C到B，相当于小球路线从A′直接到B，所以C点就是A′B与y轴的交点．
∵A点关于y轴的对称点为A′，A（3，3），
∴A′（﹣3，3），
进而由两点式写出A′B的直线方程为：y＝﹣（x﹣1）．
令x＝0，求得y＝．所以C点坐标为（0，）．
那么根据勾股定理，可得：
AC＝，BC＝．
因此，AC+BC＝5．
故选：B．
4．（2021春•郯城县期中）如图，在锐角△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝2，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是（ ）
A．1 B．1.5 C． D．
【答案】C。
【解答】解：如图，作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M′点，过M′点作M′N′⊥AB，垂足为N′，则BM′+M′N′为所求的最小值．
∵AD是∠BAC的平分线，
∴M′H＝M′N′，
∴BH是点B到直线AC的最短距离（垂线段最短），
∵AB＝2，∠BAC＝45°，
∴BH＝AB•sin45°＝2×＝．
∵BM+MN的最小值是BM′+M′N′＝BM′+M′H＝BH＝．
故选：C．
5．（2021秋•磐石市期中）如图，直线l是一条河，P，Q是两个村庄，欲在l上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C。
【解答】解：作点P关于直线l的对称点P′，连接QP′交直线l于M．
根据两点之间，线段最短，可知选项C铺设的管道，则所需管道最短．
故选：C．
6．（2022春•连城县校级月考）如图，△ABC为边长3的等边三角形，AD⊥BC于点D，点E在AB边上，且AE＝1，P为线段AD上的一个动点，则PB+PE的最小值是（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】B。
【解答】解：作E关于AD的对称点E′，连接BE′交AD于P，
则此时PE+PB有最小值，PE+PB的最小值＝BE′，
∴AE′＝AE＝1，
∴CE'＝3﹣1＝2，
作E'F⊥BC于F，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠C＝60°，
∴CF＝1，E'F＝，
∴BF＝3﹣1＝2，
∵AC＝BC＝3，
∴BE'＝＝＝．
故选：B．
7．（2022春•袁州区校级月考）已知在△ABC中，D为BC的中点，AD＝6，BD＝2.5，AB＝6.5，点P为AD边上的动点．点E为AB边上的动点，则PE+PB的最小值是（ ）
A．5 B．6 C． D．
【答案】C。
【解答】解：∵AD＝6，BD＝2.5，AB＝6.5，
∴AB2＝6.52＝42.25，AD2+BD2＝62+2.52＝42.25，
∴AB2＝AD2+BD2，
∴∠ADB＝90°，
∵D为BC的中点，BD＝CD，
∴AD垂直平分BC，
∴点B，点C关于直线AD对称，
过C作CE⊥AB交AD于P，则此时PE+PB＝CE的值最小，
∵S△ABC＝AB•CE＝BC•AD，
∴6.5•CE＝5×6，
∴CE＝，
∴PE+PB的最小值为，
故选：C．
8．（2021秋•重庆月考）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6cm，AD，CE是△ABC的两条中线，CE＝4cm，P是AD上的一个动点，则BP+EP的最小值是（ ）
A．3cm B．4cm C．6cm D．10cm
【答案】B。
【解答】解：连接CE交AD于点P，
∵AB＝AC，AD是BC的中线，
∴AD⊥BC，
∴BP＝CP，
∴BP+EP＝CP+EP≥CE，
∴BP+EP的最小值为CE的长，
∵CE＝4cm，
∴BP+EP的最小值为4cm，
故选：B．
9．（2021春•惠安县校级月考）在平面直角坐标系xOy中，点A（0，4），B（m，m﹣4），则AB+OB的最小值是（ ）
A．4 B．8 C． D．4
【答案】A。
【解答】解：如图，∵B（m，m﹣4），
∴点B在直线y＝x﹣4上，
设直线y＝x﹣4交x轴于D，交y轴于C，
∴OC＝OD＝4，
构造正方形OCED，
∴E（4，﹣4），
连接BE，AE．
∵四边形OCED是正方形，
∴OB＝BE，
∴AB+OB＝AB+BE，
∵AB+BE≥AE，
∴AB+OB的最小值为AE，
在Rt△ACE中，AC＝8，CE＝4，
∴AE＝＝4，
∴AB+OB的最小值为4，
故选：A．
10．（2021秋•北碚区校级月考）如图，在五边形ABCDE中，∠BAE＝150°，∠B＝∠E＝90°，AB＝BC，AE＝DE．在BC，DE上分别找一点M，N，使得△AMN的周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为（ ）
A．60° B．90° C．100° D．120°
【答案】A。
【解答】解：作A关于BC的对称点G，A关于DE的对称点H，
连接MG，NH，
则AM＝MG，AN＝NH，
∴△AMN的周长为AM+MN+AN＝MG+MN+NH，
由两点之间，线段最短可知：当G、M、N、H共线时，△AMN的周长最小，
∵∠BAE＝150°，
∴∠G+∠H＝30°，
∵AM＝MG，AN＝NH，
∴∠G＝∠GAM，∠H＝∠HAN，
∠AMN+∠ANM＝2∠G+2∠H＝2×30°＝60°，
故选：A．
二、填空题。
11．（2021•成华区模拟）如图，在边长为6的等边△ABC中，点D在边AC上，AD＝1，线段PQ在边AB上运动，PQ＝1，则四边形PCDQ面积的最大值为 ；四边形PCDQ周长的最小值为 6+ ．
【答案】，6+。
【解答】解：设AQ＝x，则四边形PCDQ的面积＝S△ABC﹣S△ADQ﹣S△BCP＝﹣•x•×1﹣×（6﹣x﹣1）××6＝+x，
∵x的最大值为6﹣1＝5，
∴x＝5时，四边形PCDQ的面积最大，最大值＝，
如图，作点D关于AB的对称点D'，连接D'Q，以D'Q、PQ为边作平行四边形PQD'M，则DQ＝D'Q＝MP，DD'＝2×AD×sin60°＝，D'M＝PQ＝1，
过C作CH⊥AB，交D'M的延长线于N，则∠N＝90°，CH＝BC×sin60°＝3，NH＝DD'＝，
∴MN＝AH﹣D'M﹣AD×cos60°＝AC×cos60°﹣1﹣＝3﹣1﹣＝，
CN＝NH+CH＝＝，
当M，P，C在同一直线上时，MP+CP的最小值等于CM的长，即DQ+CP的最小值等于CM的长，
此时，Rt△MNC中，CM＝＝＝，
又∵PQ＝1，CD＝6﹣1＝5，
∴四边形PCDQ周长的最小值为+6．
故答案为：，6+．
12．（2021春•敦化市校级期中）如图：知：AM⊥MN，BN⊥MN，垂足分别为M，N，点C是MN上使AC+BC的值最小的点．若AM＝3，BN＝5，MN＝15，则AC+BC＝ 17 ．
【答案】17。
【解答】解：作A点关于直线MN的对称点A′，连接A′B交MN于C，则AC+BC＝A′C+BC＝A′B，A′B就是AC+BC的最小值；
延长BN使ND＝A′M，连接A′D，
∵AM⊥MN，BN⊥MN，
∴AA′∥BD，
∴四边形A′DNM是矩形，
∴ND＝AM＝3，A′D＝MN＝15，
∴BD＝BN+ND＝5+3＝8，
∴A′B＝＝17，
∴AC+BC＝17，
故答案为17．
13．（2022春•碑林区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，∠ACB＝90°，AC＝，分别以AC、BC为边，向上和向左作等边△ACD和△CBE，P、Q分别为CE、CD上的两个动点，连接DP、EQ，则PD+PQ+QE的最小值为 2 ．
【答案】2。
【解答】解：如图，连接PA，BQ．
由作图可知：CE垂直平分AD，
∴PA＝PD，
由作图可知CD垂直平分EB，
∴QB＝QE，
∴PD+PQ+QE＝PA+PQ+QB≥AB，
∵AC＝，∠ABC＝30°，∠ACB＝90°，
∴AB＝2，
∴PD+PQ+QE的最小值为2．
故答案为2．
14．（2022春•雁塔区校级月考）如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，AD是∠BAC的平分线，AC＝4，若点P是AD上一动点，且作PN⊥AC于点N，则PN+PC的最小值是 2 ．
【答案】2。
【解答】解：作点N关于AD的对称点E，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴PN＝PE，
∴PN+PC＝PE+PC≥EC，
且当CE⊥AB时，PN+PC最短，
在直角△ACE中，CE＝AC•sin∠BAC＝4×＝2，
即PN+PC的最小值是2．
故答案是：2．
15．（2022春•盐湖区月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，△ABC的面积为30，AC的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E，F．若D为BC的中点，P为线段EF上一动点，则△PCD周长的最小为 13 ．
【答案】13。
【解答】解：连接AD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝BC•AD＝×6×AD＝30，
解得AD＝10，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点C关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为CP+PD的最小值，
∴△CDP的周长最短＝（CP+PD）+CD＝AD+BC＝10+×6＝13．
故答案为：13．
16．（2022春•洪泽区校级月考）在等边△ABC中，AB＝4，点E在边BC上，点F在∠ACB的角平分线CD上，CE＝CF，则AE+AF的最小值为 4 ．
【答案】。
【解答】解：过点C作CG⊥AC，并截取CG＝AC，连接EG，如图所示：
∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝4，∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，
∵CD平分∠ACB．
∴∠ACD＝∠BCD＝∠ACB＝30°，
∵∠ACG＝90°，
∴BCG＝∠ACG﹣∠ACB＝90°﹣60°＝30°，
∴∠ACD＝∠BCG，
∴△GCE≌△ACF（SAS），
∴AF＝GE，
∴AF+AE＝GE+AE，
当A、G、E三个点在同一直线上时，GE+AE的和最小，即AF+AE最小．
∴AF+AE的值最小为：＝＝4．
故答案为：
17．（2022春•碑林区校级月考）如图，∠AOB＝60°，点P是∠AOB内的定点，且OP＝，若点M、N分别是射线OA，OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是 3 ．
【答案】3。
【解答】解：作P点分别关于OA、OB的对称点C、D，连接CD分别交OA、OB于M、N，如图，
则MP＝MC，NP＝ND，OP＝OD＝OC＝，∠BOP＝∠BOD，∠AOP＝∠AOC，
∴PN+PM+MN＝ND+MN+MC＝DC，∠COD＝∠BOP+∠BOD+∠AOP+∠AOC＝2∠AOB＝120°，
∴此时△PMN周长最小，
作OH⊥CD于H，则CH＝DH，
∵∠OCH＝30°，
∴OH＝OC＝，
CH＝OH＝，
∴CD＝2CH＝3．
∴△PMN周长的最小值是3
故答案为：3．
18．（2021秋•聊城月考）如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标（0，3），点B坐标（4，0），AB＝5，∠OAB的平分线交x轴于点C，点P、Q分别为线段AC、线段AO上的动点，则OP+PQ的最小值为 ．
【答案】。
【解答】解：在AB上取一点G，使AG＝AQ，连接PG，过点O作OH⊥AB与H，
∵∠CAO＝∠BAC，AP＝AP，
∴△APQ≌△APG（SAS），
∴PQ＝PG，
∴OP+PQ＝OP+PG，
∵点O到直线AB上垂线段最短，
∴OP+PG最小值为OH的长度，
∵S△ABC＝AB•OH＝AO•BO，
∴OH＝＝＝，
∴OP+PQ的最小值为，
故答案为：．
三、解答题。
19．（2021春•东港市月考）如图所示，P为△BOA内任一点，在OB上找一点M，在OA上找一点N，使得△PMN的周长最短．
【解答】解：如图．
作点P关于OA、OB的对称点P''、P'，连接P'P''，
分别交OA、OB于点N、M，即M、N为所求．
此时△PMN的周长为PM+PN+MN＝P''N+MN+P'M≥P'P''，
即最小值为P'P''的长度．
20．（2021春•龙口市月考）如图，直线a∥b，点A，D在直线b上，射线AB交直线a于点B，CD⊥a于点C，交射线AB于点E，AB＝15cm，BE：AE＝1：2，P为射线AB上一动点，P从A点出发沿射线AB方向运动，速度为1cm/s，设点P运动时间为t，M为直线a上一定点，连接PC，PD．
（1）当t＝m时，PC+PD有最小值，求m的值；
（2）当t＜m（m为（1）中的取值）时，探究∠PCM、∠PDA与∠CPD的关系，并说明理由；
（3）当t＞m（m为（1）中的取值）时，直接写出∠PCM、∠PDA与∠CPD的关系．
【解答】解：（1）在△PCD中，PC+PD＞CD，
当点P与E重合时，此时PC+PD＝CD最小，
∴AP＝AE，
∵BE：AE＝1：2，AB＝15cm，
∴AE＝AB＝10cm，
∴t＝m＝＝10s．
故m＝10时，PC+PD值最小；
（2）如图，当t＜m即t＜10时，点P在AE上，过点P作PN∥a，
∵a∥b，
∴PN∥a∥b，
∴∠PCM＝∠CPN，∠PDA＝∠DPN，
∴∠PCM+∠PDA＝∠CPN+∠DPN，
∵∠CPD＝∠CPN+∠DPN，
∴∠PCM+∠PDA＝∠CPD．
（3）当t＞m即t＞4时，点P在BE上，过点P作PH∥a，如图：
又∵a∥b，
∴PH∥a∥b，
∴∠PCM+∠CPH＝180°，∠PDA+∠DPH＝180°，
∴∠PCM+∠CPH+∠PDA+∠DPH＝360°，
又∵∠CPD＝∠CPH+∠DPH，
∴∠PCM+∠CPD+∠PDA＝360°，
即当12≥t＞4时，∠PCM+∠CPD+∠PDA＝360°．
当t＞12时，同法可得∠PCM＝∠CPD+∠PDA．
综上所述，t＞4时，∠PCM+∠CPD+∠PDA＝360°或∠PCM＝∠CPD+∠PDA．
21．（2021秋•双辽市期末）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点E，若△ABC为等边三角形，AD⊥AB，AD＝DC＝4．
（1）求证：BD垂直平分AC；
（2）求BE的长；
（3）若点F为BC的中点，请在BD上找出一点P，使PC+PF取得最小值；PC+PF的最小值为 6 （直接写出结果）．
【解答】解：（1）∵AB＝BC，AD＝CD，BD＝BD，
∴△ABD≌△CBD（SSS），
∴∠ADB＝∠CDB，
∵AD＝EC，∠ADB＝∠CDB，DE＝DE，
∴△ADE≌△CDE（SAS），
∴AE＝ED，∠AED＝∠DEC＝90°，
∴BD垂直平分AC；
（2）∵DB⊥AC，
∴BE平分∠ABC，
∵∠ABC＝∠BAC＝60°，
∴∠ABD＝30°，
∵∠BAD＝90°，
∴∠DAE＝30°，
∵AD＝4，
∴BD＝8，DE＝2，
∴BE＝6；
（3）连接AF交BD于点P，连接PC，
∵BD是AC的垂直平分线，
∴A、C关于BD对称，
∴AP＝PC，
∴PC+PF＝AP+PF≥AF，
∴PC+PF的最小值为AF，
∵F是BC的中点，
∴AF⊥BC，
∵BE＝6，
∴AF＝6，
故答案为：6．
22．（2021春•香坊区校级期中）如图，点A、B分别在直线m的上方．
（1）在直线m上找到点P，使得AP+BP最短．（要求：保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）在（1）的条件下，若点A、B到直线m的距离分别为3.5cm、8.5cm，且点B在点A的东北方向，则AP+BP的最短距离为 13 cm．
【解答】解：（1）如图，作点A关于直线m的对称点A'，连接A'B，交直线m于点P．
AP+BP＝A'P+BP，最小值为A'B．
（2）如图，DE＝A'C＝AC＝3.5cm，BE＝8.5cm，
∴BD＝BE+DE＝8.5+3.5＝12cm，
∵点B在点A的东北方向，
∴∠BAF＝45°，
∴AF＝BF＝8.5﹣3.5＝5cm，
∴A'D＝5cm，
∴A'B＝＝＝13cm．
故答案为：13．
23．（2021秋•高新区月考）如图红星村A和幸福村B在一条大河CD的同侧，它们到河岸的距离AC、BD分别为1千米和3千米，又知道CD的长为3千米，现要在河岸CD上建一水厂向两村输送自来水，铺设水管的工程费用每千米20000元．
（1）请在CD上选择水厂位置，使铺设管道的费用最省．
（2）并求出铺设水管的最省总费用．
【解答】解：（1）
延长AC到F，使AC＝CF，连接BF，交CD于E，
则在CD上选择水厂位置是E时，使铺设管道的费用最省；
（2）
过B作BN⊥CA，交CA的延长线于N，
∵AC⊥CD，BD⊥CD，
∴∠BNC＝∠NCD＝∠BDC＝90°，
∴四边形NCDB是矩形，
∴BN＝CD＝3千米，BD＝CN＝3千米，
∵AC＝CF＝1千米，
∴NF＝3千米+1千米＝4千米，
在Rt△BNF中，由勾股定理得：BF＝＝＝5（千米），
∵AC⊥CD，AC＝CF，
∴AE＝FE，
∴AE+BE＝EF+BE＝BF＝5千米，
∴铺设水管的最省总费用是：20000元/千米×5千米＝100000元．
24．（2021秋•高州市校级月考）如图牧童在A，B两处相距河岸的距离AC，BD分别为500m和300m，且C，D两处距离为600m天黑前牧童从A处将牛牵到河边去饮水再赶回家那么牧童最少要走多少米？
【解答】解：作点A关于CD的对称点A′，连接A′B，则A′B的长即为AP+BP的最小值，过点B作BE⊥AC，垂足为E，
∵CD＝600m，BD＝300m，AC＝500m，
∴A′C＝AC＝500m，CE＝BD＝300m，CD＝BE＝600m，
∴A′E＝A′C+CE＝500+300＝800m，
在Rt△A′EB中，
A′B＝＝＝1000m．
答：牧童最少要走1000米．
25．（2021春•禹王台区校级月考）如图，C为线段BD上一动点，分别过点B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC，EC．已知AB＝2，DE＝1，BD＝4，设CD＝x．
（1）用含x的代数式表示AC+CE的值；
（2）探究：当点C满足什么条件时，AC+CE的值最小？最小值是多少？
（3）根据（2）中的结论，请构造图形求代数式的最小值．
【解答】解：（1）∵AC＝＝，
CE＝＝，
∴AC+CE＝+；
（2）当A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小，
过A作AF⊥DE交ED的延长线于F，
∴DF＝AB＝5，
∴AE＝＝5，
∴AC+CE的最小值是5；
（3）如图2所示，作BD＝12，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB＝2，ED＝3，连接AE交BD于点C，
设BC＝x，则AE的长即为代数式+的最小值．
过点A作AF∥BD交ED的延长线于点F，得矩形ABDF，
则AB＝DF＝2，AF＝BD＝12，EF＝ED+DF＝3+2＝5，
所以AE＝＝＝13，
即+的的最小值为13．
26．（2022春•海淀区校级期中）请阅读下列材料：问题：如图1，点A、B在直线l的同侧，在直线l上找一点P，使得AP+BP的值最小．小明的思路是：如图2，作点A关于直线l的对称点A'，连接A'B，则A'B与直线l的交点P即为所求．
请你参考小明同学的思路，探究并解决下列问题：
（1）如图3，在图2的基础上，设AA'与直线l的交点为C，过点B作BD⊥l，垂足为D，若CP＝1，PD＝2，AC＝1，写出AP+BP的值；
（2）将（1）中的条件“AC＝1”去掉，换成“BD＝4﹣AC”，其它条件不变，写出此时AP+BP的值；
（3）请结合图形，求出的最小值．
【解答】解：（1）如图2，∵AA′⊥l，AC＝1，PC＝1，
∴AC＝CP，∠ACP＝90°，
∴∠CAP＝∠CPA＝45°，
∴PA＝＝，
∵点A关于直线l的对称点为A'，
∴PA′＝PA＝，
∴∠CPA′＝∠CPA＝45°，
∵BD⊥l，∠BPD＝∠CPA′＝45°，
∴∠PBD＝90°﹣45°＝45°＝∠BPD，
∴BD＝PD＝2，
∴PB＝＝＝2，
∴AP+PB＝+2＝3；
（2）作AE∥l，交BD的延长线于E，如图3，
则四边形A′EDC是矩形，
∴AE＝DC＝PC+PD＝3，DE＝A′C＝AC，
∵BD＝4﹣AC，
∴BD+AC＝BD+DE＝4，
即BE＝4，
在RT△A′BE中，A′B＝＝5，
∴AP+BP＝5；
（3）如图3，设AC＝2m﹣2，PC＝1，则PA＝，
设BD＝8﹣2m，PD＝2，则PB＝，
∵DE＝AC＝2m﹣2，
∴BE＝BD+DE＝6，A′E＝CD＝PC+PD＝3，
∴PA+PB＝A′B＝＝＝3，
∴的最小值是3．
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