2020-2021学年第十二章 全等三角形综合与测试精练

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2022-2023学年八年级上册第二单元检测卷（A卷）
数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
一、 选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分）。
1．在下列四组图形中，是全等形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：A．不是全等形，故此选项不合题意；
B．不是全等形，故此选项不合题意；
C．是全等形，故此选项符合题意；
D．不是全等形，故此选项不合题意；
故选：C．
2．如图，若△ABC≌△DEF，四个点B、E、C、F在同一直线上，BC＝7，EC＝5，则CF的长是（　　）

A．2 B．3 C．5 D．7
【答案】A
【解答】解：∵△ABC≌△DEF，
∴BC＝EF，
又BC＝7，
∴EF＝7，
∵EC＝5，
∵CF＝EF﹣EC＝7﹣5＝2．
故选：A．
3．如图，若△ABC≌△DEF，则∠E等于（　　）

A．30° B．50° C．60° D．100°
【答案】D
【解答】解：∵△ABC≌△DEF，
∴∠E＝∠B＝180°﹣50°﹣30°＝100°．
故选：D．
4．下列说法正确的是（　　）
A．有两边及一边的对角分别相等的两个三角形全等
B．有两边相等的两个直角三角形全等
C．有两个角及第三个角的对边分别相等的两个三角形全等
D．有两个角及一边相等的两个三角形全等
【答案】C
【解答】解：A、有两边及一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等，说法错误，不符合题意；
B、有两边相等的两个直角三角形不一定全等，说法错误，不符合题意；
C、有两个角及第三个角的对边分别相等的两个三角形全等，说法正确，符合题意；
D、有两个角及一边相等的两个三角形不一定全等，说法错误，不符合题意；
故选：C．
5．如图，在△ABC和△DEC中，已知AB＝DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是（　　）

A．BC＝EC，∠B＝∠E B．BC＝EC，AC＝DC
C．∠B＝∠E，∠A＝∠D D．BC＝DC，∠A＝∠D
【答案】D
【解答】解：A、已知AB＝DE，再加上条件BC＝EC，∠B＝∠E可利用SAS证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；
B、已知AB＝DE，再加上条件BC＝EC，AC＝DC可利用SSS证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；
C、已知AB＝DE，再加上条件∠B＝∠E，∠A＝∠D可利用ASA证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；
D、已知AB＝DE，再加上条件BC＝DC，∠A＝∠D不能证明△ABC≌△DEC，故此选项符合题意；
故选：D．
6．如图，在∠AOB的两边上，分别取OM＝ON，再分别过点M、N作OA、OB的垂线，交点为P，画射线OP，则OP平分∠AOB的依据是（　　）

A．SSS B．SAS C．AAS D．HL
【答案】D
【解答】解：∵PM⊥OA，PN⊥OB，
∴∠OMP＝∠ONP＝90°，
在Rt△OMP和Rt△ONP中，，
∴Rt△OMP≌Rt△ONP（HL），
∴∠MOP＝∠NOP，
∴OP是∠AOB的平分线．
故选：D．
7．如图，欲测量内部无法到达的古塔相对两点A，B间的距离，可延长AO至C，使CO＝AO，延长BO至D，使DO＝BO，则△COD≌△AOB，从而通过测量CD就可测得A，B间的距离，其全等的根据是（　　）

A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
【答案】A
【解答】解：在△COD和△AOB中，
∵，
∴△COD≌△AOB（SAS）．故选A
8．如图，在4×4正方形网格中，与△ABC有一条公共边且全等（不与△ABC重合）的格点三角形（顶点在格点上的三角形）共有（　　）

A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】B
【解答】解：如图所示，
△ABD，△BEC，△BFC，△BGC，共4个，
故选：B．




9．如图，直线a、b、c表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（　　）

A．一处 B．两处 C．三处 D．四处
【答案】D
【解答】解：∵△ABC内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，
∴△ABC内角平分线的交点满足条件；
如图：点P是△ABC两条外角平分线的交点，
过点P作PE⊥AB，PD⊥BC，PF⊥AC，
∴PE＝PF，PF＝PD，
∴PE＝PF＝PD，
∴点P到△ABC的三边的距离相等，
∴△ABC两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，满足这条件的点有3个；
综上，到三条公路的距离相等的点有4个，
∴可供选择的地址有4个．
故选：D．

10．小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一些块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带（　　）

A．第1块 B．第2块 C．第3块 D．第4块
【答案】B
【解答】解：1、3、4块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去，
只有第2块有完整的两角及夹边，符合ASA，满足题目要求的条件，是符合题意的．
故选：B．
11．如图，已知△ABC的周长是16，MB和MC分别平分∠ABC和∠ACB，过点M作BC的垂线交BC于点D，且MD＝4，则△ABC的面积是（　　）

A．64 B．48 C．32 D．42
【答案】C
【解答】解：连接AM，过M作ME⊥AB于E，MF⊥AC于F，

∵MB和MC分别平分∠ABC和∠ACB，MD⊥BC，MD＝4，
∴ME＝MD＝4，MF＝MD＝4，
∵△ABC的周长是16，
∴AB+BC+AC＝16，
∴△ABC的面积S＝S△AMC+S△BCM+S△ABM
＝
＝×AC×4++
＝2（AC+BC+AB）
＝2×16＝32，
故选：C．

12．如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P，延长BA、BC，则下列结论中正确的个数（　　）
①CP平分∠ACF；
②∠ABC+2∠APC＝180°；
③∠ACB＝2∠APB；
④若PM⊥BE，PN⊥BC，则AM+CN＝AC．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解答】解：①作PD⊥AC于D，PM⊥BE于M，PN⊥BC于N，
∵PB平分∠ABC，PA平分∠EAC，PM⊥BE，PN⊥BF，
∴PM＝PN，PM＝PD，
∴PM＝PN＝PD，
∴点P在∠ACF的角平分线上，故①正确；
②∵PM⊥AB，PN⊥BC，
∴∠ABC+90°+∠MPN+90°＝360°，
∴∠ABC+∠MPN＝180°，
在Rt△PAM和Rt△PAD中，，
∴Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），
∴∠APM＝∠APD，
同理：Rt△PCD≌Rt△PCN（HL），
∴∠CPD＝∠CPN，
∴∠MPN＝2∠APC，
∴∠ABC+2∠APC＝180°，②正确；
③∵PA平分∠CAE，BP平分∠ABC，
∴∠CAE＝∠ABC+∠ACB，∠PAM＝∠ABC+∠APB，
∴∠ACB＝2∠APB，③正确；
④∵Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），
∴AD＝AM，
同理：Rt△PCD≌Rt△PCN（HL），
∴CD＝CN，
∴AM+CN＝AD+CD＝AC，④正确；
故选：D．

二、 填空题(本题共6题，每小题3分，共18分）。
13．如图，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，且DE＝DF，若∠DBC＝50°，则∠ABC＝　100　（度）．

【答案】100．
【解答】解：∵DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，且DE＝DF，
∴BD平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠DBC，
∵∠DBC＝50°，
∴∠ABC＝100°，
故答案为：100．
14．如图，AB＝AC，要使△ABE≌△ACD，应添加的条件是　　（添加一个条件即可）．

【答案】∠B＝∠C或AE＝AD

15．如图，要测量池塘AB的宽度，在池塘外选取一点P，连接AP、BP并各自延长，使PC＝PA，PD＝PB，连接CD，测得CD长为25m，则池塘宽AB为　25　m．

【答案】25
【解答】解：在△APB和△DPC中
，
∴△APB≌△DPC（SAS）；
∴AB＝CD＝25米（全等三角形的对应边相等）．
答：池塘两端的距离是25米．
故答案为：25．
16．如图，在△ABC中，∠C＝90o，AD平分∠CAB，BC＝8，BD＝5，那么D点到直线AB的距离是　 　．

【答案】3
【解答】解：作DE⊥AB于E，如图，
∵BC＝8，BD＝5，
∴DC＝BC﹣BD＝3，
∵AD平分∠CAB，DC⊥AC，DE⊥AB，
∴DE＝DC＝3．
即D点到直线AB的距离是3．
故答案为3．

17．如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1﹣∠2+∠3＝　 　．

【答案】45°
【解答】解：观察图形可知：△ABC≌△BDE，
∴∠1＝∠DBE，
又∵∠DBE+∠3＝90°，
∴∠1+∠3＝90°．
∵∠2＝45°，
∴∠1﹣∠2+∠3＝90°﹣45°＝45°．
故答案为：45°．
18．如图，已知点A（﹣4，4），一个以A为顶点的45°角绕点A旋转，角的两边分别交x轴正半轴，y轴负半轴于E、F，连接EF．当△AEF是直角三角形时，点E的坐标是　 　

【答案】（8，0）或（4，0）
【解答】解：①如图所示：当∠AFE＝90°，
∴∠AFD+∠OFE＝90°，
∵∠OEF+∠OFE＝90°，
∴∠AFD＝∠OEF
∵∠AFE＝90°，∠EAF＝45°，
∴∠AEF＝45°＝∠EAF，
∴AF＝EF，
在△ADF和△FOE中，
，
∴△ADF≌△FOE（AAS），
∴FO＝AD＝4，OE＝DF＝OD+FO＝8，
∴E（8，0）
②当∠AEF＝90°时，同①的方法得，OF＝8，OE＝4，
∴E（4，0），
综上所述，满足条件的点E坐标为（8，0）或（4，0）
三、解答题（本题共6题，19题6分，20题8分，21-24题10分，25题12分）。
19．已知AB∥DE，BC∥EF，D，C在AF上，且AD＝CF，
求证：△ABC≌△DEF．

【解答】证明：∵AB∥DE，BC∥EF
∴∠A＝∠EDF，∠F＝∠BCA
又∵AD＝CF
∴AC＝DF
∴△ABC≌△DEF．（ASA）
20．如图，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，EC＝AD，求证：AB＝BE．

【解答】证明：∵∠1＝∠2，∴∠ABD＝∠EBC，
∵∠3＝∠4，∴∠A＝∠E．
又EC＝AD，
∴△ABD≌△EBC．
∴AB＝BE．
21．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD与BE相交于点F，且AD＝BD．求证：AF+DC＝BD．

【解答】证明：∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠BDF＝∠ADC＝90°，
∴∠DBF+∠C＝90°，∠DAC+∠C＝90°，
∴∠DBF＝∠DAC，
在△BDF和△ADC中，
，
∴△BDF≌△ADC（ASA），
∴DF＝DC，
∴AF+DC＝AF+DF＝AD＝BD，
即AF+DC＝BD．
22．如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC中点，DM平分∠ADC，求证：AM平分∠DAB．

【解答】证明：作ME⊥AD，
∵MC⊥DC，ME⊥DA，MD平分∠ADC，
∴ME＝MC，
∵M为BC中点，
∴MB＝MC，
又∵ME＝MC，
∴ME＝MB，
又∵ME⊥AD，MB⊥AB，
∴AM平分∠DAB．

23．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD＝DF．说明：
（1）CF＝EB；
（2）AB＝AF+2EB．

【解答】证明：（1）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DE＝DC，
在Rt△CFD和Rt△EBD中，，
∴Rt△CFD≌Rt△EBD（HL），
∴CF＝EB；
（2）在△ACD和△AED中，，
∴△ACD≌△AED（AAS），
∴AC＝AE，
由（1）知，CF＝EB，
∴AB＝AE+EB＝AC+EB＝AF+FC+EB＝AF+2EB．
24．如图（1），AB＝7cm，AC⊥AB，BD⊥AB垂足分别为A、B，AC＝5cm．点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在射线BD上运动．它们运动的时间为t（s）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．

（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由；
（2）如图（2），若“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA”，点Q的运动速度为xcm/s，其它条件不变，当点P、Q运动到何处时有△ACP与△BPQ全等，求出相应的x的值．
【解答】解：（1）△ACP≌△BPQ，PC⊥PQ．
理由如下：∵AC⊥AB，BD⊥AB，
∴∠A＝∠B＝90°，
∵AP＝BQ＝2，
∴BP＝5，
∴BP＝AC，
在△ACP和△BPQ中
，
∴△ACP≌△BPQ（SAS）；
∴∠C＝∠BPQ，
∵∠C+∠APC＝90°，
∴∠APC+∠BPQ＝90°，
∴∠CPQ＝90°，
∴PC⊥PQ；
（2）①若△ACP≌△BPQ，
则AC＝BP，AP＝BQ，可得：5＝7﹣2t，2t＝xt
解得：x＝2，t＝1；
②若△ACP≌△BQP，
则AC＝BQ，AP＝BP，可得：5＝xt，2t＝7﹣2t
解得：x＝，t＝．
综上所述，当△ACP与△BPQ全等时x的值为2或
25．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．A、B两点的坐标分别为A（m，0）、B（0，n），且，点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线AO匀速运动，设点P运动时间为t秒．
（1）求OA、OB的长；
（2）连接PB，若△POB的面积不大于3且不等于0，求t的范围；
（3）过P作直线AB的垂线，垂足为D，直线PD与y轴交于点E，在点P运动的过程中，是否存在这样的点P，使△EOP≌△AOB？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）∵|m﹣n﹣3|+＝0，
∴m﹣n﹣3＝0，2n﹣6＝0，
解得：n＝3，m＝6，
∴OA＝6，OB＝3；
（2）分为两种情况：①当P在线段OA上时，
AP＝t，PO＝6﹣t，
∴△BOP的面积S＝×（6﹣t）×3＝9﹣t，
∵若△POB的面积不大于3且不等于0，
∴0＜9﹣t≤3，
解得：4≤t＜6；
②当P在线段OA的延长线上时，如图，
AP＝t，PO＝t﹣6，∴△BOP的面积S＝×（t﹣6）×3＝t﹣9，
∵若△POB的面积不大于3且不等于0，
∴0＜t﹣9≤3，
解得：6＜t≤8；
即t的范围是4≤t≤8且t≠6；
（3）当OP＝OB＝3时，分为两种情况（如图）：第一个图中t＝3，
第二个图中AP＝6+3＝9，即t＝9；
即存在这样的点P，使△EOP≌△AOB，t的值是3或9．