八年级上册第十二章 全等三角形12.3 角的平分线的性质练习题

这是一份八年级上册第十二章 全等三角形12.3 角的平分线的性质练习题，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
专题12.3 角的平分线的性质（能力提升）
一、选择题。
1．（2022•嘉祥县一模）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，BC＝5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为（　　）

A．7.5 B．8 C．15 D．无法确定
2．（2021秋•绵竹市期末）如图，直线a、b、c表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（　　）

A．一处 B．两处 C．三处 D．四处
3．（2021秋•丛台区校级期末）在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是（　　）

A．点M B．点N C．点P D．点Q
4．（2021秋•青县期末）如图所示，在△ABC中，P为BC上一点，PR⊥AB，垂足为R，PS⊥AC，垂足为S，AQ＝PQ，PR＝PS．下面三个结论：①AS＝AR；②QP∥AR；③△BRP≌△CSP．正确的是（　　）

A．①和② B．②和③ C．①和③ D．全对
5．（2021春•毕节市期末）如图，已知△ABC中，∠C＝90o，AC＝BC，AD平分∠CAB，交BC于点D，DE⊥AB于点E，且AB＝10，则△DEB的周长为（　　）

A．9 B．5 C．10 D．不能确定
6．（2021秋•临湘市期末）如图，三条公路把A，B，C三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（　　）

A．在AC，BC两边高线的交点处
B．在AC，BC两边中线的交点处
C．在∠A，∠B两边角平分线的交点处
D．在AC，BC两边垂直平分线的交点处
7．（2021春•罗湖区校级期末）如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积等于（　　）

A．10 B．5 C．4 D．7
8．（2021秋•虎林市期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，CF⊥AB，交AB于点F，交BE于点D，若BC＝8cm，DF＝3cm，则△CDB的面积为（　　）

A．12cm2 B．8cm2 C．6cm2 D．4cm2
9．（2021秋•丰台区期末）如图所示，点O是△ABC内一点，BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D，连接OA，若OD＝5，AB＝20，则△AOB的面积是（　　）

A．20 B．30 C．50 D．100
10．（2021•叙州区模拟）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB＝10，S△ABD＝15，则CD的长为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题。
11．（2021秋•西平县期末）如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝4，△ABC的面积是　 　．

12．（2021秋•仪征市期末）如图所示，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝6，CD＝2，则△ABD的面积是　 　．

13．（2022春•青羊区校级月考）已知：如图，△ABC中，∠C＝90°，点O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点D、E、F分别是垂足，且AB＝10cm，BC＝8cm，CA＝6cm，则点O到三边AB、AC和BC的距离分别等于　 　．

14．（2021秋•思明区校级期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，若CD：DB＝3：5，BC＝16cm，则点D到AB的距离为　 　cm．

15．（2021秋•遵义期末）如图，已知△ABC的周长是22，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝3，△ABC的面积是 　 　．

16．（2021春•历下区期末）如图，OC是∠AOB的角平分线，点P是OC上一点，PM⊥OB于点M，点N是射线OA上的一个动点，若PM＝6，则PN的最小值为 　 　．

17．（2021秋•长沙期末）如图，△ABC的三条角平分线交于点O，O到AB的距离为3，且△ABC的周长为18，则△ABC的面积为 　 　．

18．（2021秋•郎溪县期末）如图，已知∠AOB＝30°，P是∠AOB平分线上一点，CP∥OB，交OA于点C，PD⊥OB，垂足为点D，且PC＝4，则PD等于 　2　．

三、解答题。
19．（2021秋•靖西市期末）如图：已知OA和OB两条公路，以及C、D两个村庄，建立一个车站P，使车站到两个村庄距离相等即PC＝PD，且P到OA，OB两条公路的距离相等．


20．（2022春•秦都区期末）如图，点B，C分别在∠A的两边上，点D是∠A内一点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且AB＝AC，DE＝DF．求证：BD＝CD．






21．（2022春•碑林区校级月考）如图所示，AD是△ABC的中线，DF⊥AC，DE⊥AB，垂足分别为F，E，BE＝CF．求证：AD平分∠BAC．






22．（2021秋•龙江县期末）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．
（1）说明BE＝CF的理由；
（2）如果AB＝5，AC＝3，求AE、BE的长．










23．（2021春•侯马市期末）如图，△ABE中，∠E＝90°，AC是∠BAE的角平分线．
（1）若∠B＝40°，求∠BAC的度数；
（2）若D是BC的中点，△ADC的面积为16，AE＝8，求BC的长．







24．（2021春•东港市月考）△ABC中，∠C＝90°，AD为角平分线，BC＝64，BD：DC＝9：7，求D到AB的距离．





25．（2021春•高新区校级月考）如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，连接EF交AD于G，试判断AD与EF垂直吗？并说明理由．





26．（2021秋•密山市校级期末）如图，已知BD为∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD于M，PN⊥CD于N，求证：PM＝PN．













专题12.3 角的平分线的性质（能力提升）答案
一、选择题。
1．（2022•嘉祥县一模）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，BC＝5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为（　　）

A．7.5 B．8 C．15 D．无法确定
【答案】A。
【解答】解：如图，过点D作DE⊥BC于点E．
∵∠A＝90°，
∴AD⊥AB．
∴AD＝DE＝3．
又∵BC＝5，
∴S△BCD＝BC•DE＝×5×3＝7.5．
故选：A．

2．（2021秋•绵竹市期末）如图，直线a、b、c表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（　　）

A．一处 B．两处 C．三处 D．四处
【答案】D。
【解答】解：∵△ABC内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，
∴△ABC内角平分线的交点满足条件；
如图：点P是△ABC两条外角平分线的交点，
过点P作PE⊥AB，PD⊥BC，PF⊥AC，
∴PE＝PF，PF＝PD，
∴PE＝PF＝PD，
∴点P到△ABC的三边的距离相等，
∴△ABC两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，满足这条件的点有3个；
综上，到三条公路的距离相等的点有4个，
∴可供选择的地址有4个．
故选：D．

3．（2021秋•丛台区校级期末）在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是（　　）

A．点M B．点N C．点P D．点Q
【答案】A。
【解答】解：观察图形可知点M在∠AOB的角平分线上，
∴点M到∠AOB两边距离相等．
故选：A．
4．（2021秋•青县期末）如图所示，在△ABC中，P为BC上一点，PR⊥AB，垂足为R，PS⊥AC，垂足为S，AQ＝PQ，PR＝PS．下面三个结论：①AS＝AR；②QP∥AR；③△BRP≌△CSP．正确的是（　　）

A．①和② B．②和③ C．①和③ D．全对
【答案】A。
【解答】解：连接AP，∵PR＝PS，PR⊥AB，垂足为R，PS⊥AC，垂足为S，
∴AP是∠BAC的平分线，∠1＝∠2，
∴△APR≌△APS，
∴AS＝AR，
又AQ＝PQ，
∴∠2＝∠3，
又∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∴QP∥AR，
BC只是过点P，没有办法证明△BRP≌△CSP，③不成立．
故选：A．

5．（2021春•毕节市期末）如图，已知△ABC中，∠C＝90o，AC＝BC，AD平分∠CAB，交BC于点D，DE⊥AB于点E，且AB＝10，则△DEB的周长为（　　）

A．9 B．5 C．10 D．不能确定
【答案】C。
【解答】解：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DE＝DC，
在Rt△ACD和Rt△AED中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC＝AE，
∵AC＝BC，
∴BC＝AE，
∴△DEB的周长＝BD+DE+BE＝BD+CD+BE＝BC+BE＝AE+BE＝AB＝10．
故选：C．
6．（2021秋•临湘市期末）如图，三条公路把A，B，C三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（　　）

A．在AC，BC两边高线的交点处
B．在AC，BC两边中线的交点处
C．在∠A，∠B两边角平分线的交点处
D．在AC，BC两边垂直平分线的交点处
【答案】C。
【解答】解：根据角平分线的性质，集贸市场应建在∠A、∠B两内角平分线的交点处．
故选：C．
7．（2021春•罗湖区校级期末）如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积等于（　　）

A．10 B．5 C．4 D．7
【答案】B。
【解答】解：作EF⊥BC于F，
∵BE平分∠ABC，EF⊥BC，ED⊥AB，
∴EF＝DE＝2，
∴△BCE的面积＝×BC×EF＝5．
故选：B．

8．（2021秋•虎林市期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，CF⊥AB，交AB于点F，交BE于点D，若BC＝8cm，DF＝3cm，则△CDB的面积为（　　）

A．12cm2 B．8cm2 C．6cm2 D．4cm2
【答案】A。
【解答】解：作DH⊥BC于点H，如图：

∵BE平分∠ABC，CF⊥AB，DH⊥BC．
∴DH＝DF．
∵DF＝3cm．
∴DH＝3cm．
∵BC＝8cm．
∴△CDB的面积为：＝12cm2．
故选：A．
9．（2021秋•丰台区期末）如图所示，点O是△ABC内一点，BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D，连接OA，若OD＝5，AB＝20，则△AOB的面积是（　　）

A．20 B．30 C．50 D．100
【答案】C。
【解答】解：过O作OE⊥AB于点E，

∵BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D，
∴OE＝OD＝5，
∴△AOB的面积＝，
故选：C．
10．（2021•叙州区模拟）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB＝10，S△ABD＝15，则CD的长为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B。
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，
∴DE＝CD，
∴S△ABD＝AB•DE＝×10•DE＝15，
解得：DE＝3，
∴CD＝3．
故选：B．

二、填空题。
11．（2021秋•西平县期末）如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝4，△ABC的面积是　42　．

【答案】42。
【解答】解：
过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，
∵OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC，
∴OE＝OD，OD＝OF，
即OE＝OF＝OD＝4，
∴△ABC的面积是：S△AOB+S△AOC+S△OBC
＝×AB×OE+×AC×OF+×BC×OD
＝×4×（AB+AC+BC）
＝×4×21＝42，
故答案为：42．
12．（2021秋•仪征市期末）如图所示，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝6，CD＝2，则△ABD的面积是　6　．

【答案】6。
【解答】解：∵AD平分∠BAC，CD⊥AC，
∴D点到AB的距离等于CD长度2．
所以△ABD面积＝×6×2＝6．
故答案为6．
13．（2022春•青羊区校级月考）已知：如图，△ABC中，∠C＝90°，点O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点D、E、F分别是垂足，且AB＝10cm，BC＝8cm，CA＝6cm，则点O到三边AB、AC和BC的距离分别等于　2cm，2cm，2cm　．

【答案】2cm，2cm，2cm。
【解答】解：连接OB，
∵点O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点D、E、F分别是垂足，
∴OE＝OF＝OD，
又∵OB是公共边，
∴Rt△BOF≌Rt△BOD（HL），
∴BD＝BF，
同理，AE＝AF，CE＝CD，
∵∠C＝90°，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，OD＝OE，
∴OECD是正方形，
设OE＝OF＝OD＝x，则CE＝CD＝x，BD＝BF＝8﹣x，AF＝AE＝6﹣x，
∴BF+FA＝AB＝10，即6﹣x+8﹣x＝10，
解得x＝2．
则OE＝OF＝OD＝2．
即点O到三边AB、AC和BC的距离分别等于2，2，2．
故答案为：2cm，2cm，2cm．

14．（2021秋•思明区校级期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，若CD：DB＝3：5，BC＝16cm，则点D到AB的距离为　6　cm．

【答案】6。
【解答】解：过点D作DE⊥AB于E，
∵在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，
即AC⊥CD，
∴DE＝DC，
∵CD：DB＝3：5，BC＝16cm，
∴CD＝×16＝6（cm），
∴DE＝6cm，
即点D到AB的距离为6cm．
故答案为：6．

15．（2021秋•遵义期末）如图，已知△ABC的周长是22，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝3，△ABC的面积是 　33　．

【答案】33。
【解答】解：如图，连接OA，
∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，
∴点O到AB、AC、BC的距离都相等，
∵△ABC的周长是22，OD⊥BC于D，且OD＝3，
∴S△ABC＝×22×3＝33．
故答案为：33．

16．（2021春•历下区期末）如图，OC是∠AOB的角平分线，点P是OC上一点，PM⊥OB于点M，点N是射线OA上的一个动点，若PM＝6，则PN的最小值为 　6　．

【答案】6。
【解答】解：过P点作PH⊥OA，如图，
∵OC是∠AOB的角平分线，PM⊥OB，PH⊥OA，
∴PH＝PM＝6，
∵点N是射线OA上的一个动点，
∴PN的最小值为6．
故答案为6．

17．（2021秋•长沙期末）如图，△ABC的三条角平分线交于点O，O到AB的距离为3，且△ABC的周长为18，则△ABC的面积为 　27　．

【答案】27。
【解答】解：作OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，OH⊥AC于H，
∵△ABC的三条角平分线交于点O，OE⊥AB，OF⊥BC，OH⊥AC，
∴OF＝OH＝OE＝3，
∴△ABC的面积＝×（AB+BC+AC）×3＝27，
故答案为：27．

18．（2021秋•郎溪县期末）如图，已知∠AOB＝30°，P是∠AOB平分线上一点，CP∥OB，交OA于点C，PD⊥OB，垂足为点D，且PC＝4，则PD等于 　2　．

【答案】2。
【解答】解：作PE⊥OA于E，
∵CP∥OB，
∴∠OPC＝∠POD，
∵P是∠AOB平分线上一点，
∴∠POA＝∠POD＝15°，
∴∠ACP＝∠OPC+∠POA＝30°，
∴PE＝PC＝2，
∵P是∠AOB平分线上一点，PD⊥OB，PE⊥OA，
∴PD＝PE＝2，
故答案为：2．

三、解答题。
19．（2021秋•靖西市期末）如图：已知OA和OB两条公路，以及C、D两个村庄，建立一个车站P，使车站到两个村庄距离相等即PC＝PD，且P到OA，OB两条公路的距离相等．

【解答】解：如图，点P为所作．

20．（2022春•秦都区期末）如图，点B，C分别在∠A的两边上，点D是∠A内一点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且AB＝AC，DE＝DF．求证：BD＝CD．

【解答】证明：连接AD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，DE＝DF，
∴∠BAD＝∠CAD，
在△ABD和△ACD中
，
∴△ABD≌△ACD，（SAS），
∴BD＝CD．

21．（2022春•碑林区校级月考）如图所示，AD是△ABC的中线，DF⊥AC，DE⊥AB，垂足分别为F，E，BE＝CF．求证：AD平分∠BAC．

【解答】证明：如图，∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD．
又∵DF⊥AC，DE⊥AB，
∴∠BED＝∠CFD＝90°，
∴在Rt△BDE与Rt△CDF中，，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴DE＝DF．
∴AD平分∠BAC．
22．（2021秋•龙江县期末）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．
（1）说明BE＝CF的理由；
（2）如果AB＝5，AC＝3，求AE、BE的长．

【解答】（1）证明：连接BD，CD，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°，
∵DG⊥BC且平分BC，
∴BD＝CD，
在Rt△BED与Rt△CFD中，
，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴BE＝CF；

（2）解：在△AED和△AFD中，
，
∴△AED≌△AFD（AAS），
∴AE＝AF，
设BE＝x，则CF＝x，
∵AB＝5，AC＝3，AE＝AB﹣BE，AF＝AC+CF，
∴5﹣x＝3+x，
解得：x＝1，
∴BE＝1，AE＝AB﹣BE＝5﹣1＝4．

23．（2021春•侯马市期末）如图，△ABE中，∠E＝90°，AC是∠BAE的角平分线．
（1）若∠B＝40°，求∠BAC的度数；
（2）若D是BC的中点，△ADC的面积为16，AE＝8，求BC的长．

【解答】解：（1）∵∠B＝40°，∠E＝90°，
∴∠BAE＝90°﹣40°＝50°，
∵AC是∠BAE的角平分线，
∴∠BAC＝∠BAE＝25°；
（2）∵S△ADC＝DC•AE，
∴×DC×8＝16，
∴DC＝4，
∵D是BC的中点，
∴BC＝2CD＝8．
24．（2021春•东港市月考）△ABC中，∠C＝90°，AD为角平分线，BC＝64，BD：DC＝9：7，求D到AB的距离．

【解答】解：∵BD：DC＝9：7，BC＝64，
∴CD＝＝28，
∵AD为角平分线，∠C＝90°，DE⊥AB，
∴DE＝DC＝28．
答：D到AB的距离为28．
25．（2021春•高新区校级月考）如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，连接EF交AD于G，试判断AD与EF垂直吗？并说明理由．

【解答】解：AD⊥EF．理由如下：
∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，
在Rt△AED和Rt△AFD中，
∵，
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴AE＝AF，
∵AD平分∠EAF，
∴AD⊥EF（等腰三角形三线合一）．
26．（2021秋•密山市校级期末）如图，已知BD为∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD于M，PN⊥CD于N，求证：PM＝PN．

【解答】证明：∵BD为∠ABC的平分线，
∴∠ABD＝∠CBD，
在△ABD和△CBD中，
，
∴△ABD≌△CBD（SAS），
∴∠ADB＝∠CDB，
∵点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，
∴PM＝PN．