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专题13.3 等腰三角形（能力提升）（含解析）测试题
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这是一份专题13.3 等腰三角形（能力提升）（含解析）测试题，共24页。
专题13.3 等腰三角形（能力提升）
一、选择题。
1．（2021秋•盱眙县期末）如果等腰三角形两边长是5cm和2cm，那么它的周长是（ ）
A．7cm B．9cm C．9cm或12cm D．12cm
2．（2021秋•临海市期末）如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，下列结论中不正确的是（ ）
A．∠B＝∠C B．AD⊥BC C．AD平分∠BAC D．AB＝2BD
3．（2021春•灞桥区校级月考）△ABC是等边三角形，D，E，F为各边中点，则图中共有正三角形（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4．（2021秋•常宁市期末）如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，若AB＝10，BD＝6，则△ADE的周长为（ ）
A．4 B．30 C．18 D．12
5．（2021秋•舞阳县期末）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE＝2BF．下列四个结论中：①DE＝DF；②DB＝DC；③AD⊥BC；④AB＝3BF．其中正确的结论共有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
6．（2021秋•庆阳期末）如图，下列4个三角形中，均有AB＝AC，则经过三角形的一个顶点的一条直线能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是（ ）
A．①③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
7．（2021秋•天河区期末）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（ ）
A．6个 B．7个 C．8个 D．9个
8．（2021秋•克东县期末）如图，直线a，b相交形成的夹角中，锐角为52°，交点为O，点A在直线a上，直线b上存在点B，使以点O，A，B为顶点的三角形是等腰三角形，这样的点B有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（2021秋•勃利县期末）如图，已知△ABC中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAE＝30°，则∠DEC等于（ ）
A．7.5° B．10° C．15° D．18°
10．（2021秋•富川县期末）如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC于E，BF交AC于F，过点O作OD⊥BC于D，下列三个结论：①∠AOB＝90°+∠C；②当∠C＝60°时，AF+BE＝AB；③若OD＝a，AB+BC+CA＝2b，则S△ABC＝ab．其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①②③ D．①③
二、填空题。
11．（2022•新会区模拟）如图，△ABC是等边三角形．P是∠ABC的平分线BD上一点，PE⊥AB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为点Q．若BF＝2，则PE的长为 ．
12．（2021秋•高州市期末）已知Rt△ABC中，∠C＝90゜，AB＝2BC，则∠A＝ ．
13．（2021秋•崆峒区期末）如图，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D．则∠DBC的大小为 ．
14．（2021秋•佳木斯期末）如图，AB＝AC＝8cm，DB＝DC，若∠ABC＝60°，则BE＝ cm．
15．（2021秋•唐县期末）等腰三角形一个角为50°，则此等腰三角形顶角为 ．
16．（2021春•花都区期末）如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，AB＝6，则BC＝ 3 ．
17．（2022春•紫金县期末）一个等腰三角形的两边长分别是4和9，则周长是 ．
18．（2022春•萍乡期末）如图，已知∠A＝15°，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，则∠FEG的度数为 度．
三、解答题。
19．（2022春•佛山月考）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，BD与CE相交于点O，且EB＝DC．求证：△BOC是等腰三角形．
20．（2022春•岷县月考）如图，在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．
（1）求证：OE＝OF；
（2）若CE＝12，CF＝5，求OC的长．
21．（2022春•萍乡月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90，D是AB上的一点，BD＝BC，过点D作AB的垂线交AC于点E，CD交BE于点F．
（1）求证：BE垂直平分CD；
（2）若点D是AB的中点，求证：△CBD是等边三角形．
22．（2022春•西安月考）如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，边AC的垂直平分线分别交边BC、AC于点D、E，DC＝6．求AB的长．
23．（2021秋•临江市期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．
24．（2022春•西安月考）已知：如图，E为△ABC的外角平分线上的一点，AE∥BC，BF＝AE，求证：
（1）△ABC是等腰三角形；
（2）AF＝CE．
25．（2022春•通川区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为CA延长线上一点，且DE⊥BC交AB于点F．
（1）求证：△ADF是等腰三角形；
（2）若AC＝10，BE＝3，F为AB中点，求DF的长．
26．（2022春•上杭县校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．
（1）求证：AE＝DF；
（2）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．
专题13.3 等腰三角形（能力提升）答案
一、选择题。
1．（2021秋•盱眙县期末）如果等腰三角形两边长是5cm和2cm，那么它的周长是（ ）
A．7cm B．9cm C．9cm或12cm D．12cm
【答案】D。
【解答】解：当三边是2cm，2cm，5cm时，不符合三角形的三边关系；
当三角形的三边是5cm，5cm，2cm时，符合三角形的三边关系，
此时周长是5+5+2＝12cm．
故选：D．
2．（2021秋•临海市期末）如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，下列结论中不正确的是（ ）
A．∠B＝∠C B．AD⊥BC C．AD平分∠BAC D．AB＝2BD
【答案】D。
【解答】解：∵△ABC中，AB＝AC，D是BC中点
∴∠B＝∠C，（故A正确）
AD⊥BC，（故B正确）
∠BAD＝∠CAD（故C正确）
无法得到AB＝2BD，（故D不正确）．
故选：D．
3．（2021春•灞桥区校级月考）△ABC是等边三角形，D，E，F为各边中点，则图中共有正三角形（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】D。
【解答】因为△ABC为等边三角形，所以AB＝BC＝AC，
又因为D，E，F为各边中点，所以AE＝EB＝BF＝FC＝CD＝DA；
又因为DE，DF，EF分别为中位线，所以DE＝BC，EF＝AC，DF＝AB，
即DE＝EF＝DF．所以AE＝EB＝BF＝FC＝CD＝DA＝DE＝EF＝FD．
所以此图中所有的三角形均为等边三角形．
因此应选择5个，
故选：D．
4．（2021秋•常宁市期末）如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，若AB＝10，BD＝6，则△ADE的周长为（ ）
A．4 B．30 C．18 D．12
【答案】D。
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠AED＝∠B＝∠C＝60°，
∴△ADE为等边三角形，
∵AB＝10，BD＝6，
∴AD＝AB﹣BD＝10﹣6＝4，
∴△ADE的周长为12．
故选：D．
5．（2021秋•舞阳县期末）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE＝2BF．下列四个结论中：①DE＝DF；②DB＝DC；③AD⊥BC；④AB＝3BF．其中正确的结论共有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A。
【解答】解：∵BC平分∠ABF，
∴∠ABC＝∠FBC，
∵BF∥AC，
∴∠C＝∠FBC，
∴∠ABC＝∠C，
∴AC＝AB，
∵AC＝AB，AD是△ABC的角平分线，
∴DB＝DC，AD⊥BC，②、③选项说法正确；
在△CDE和△BDF中，
，
∴△CDE≌△BDF（ASA），
∴DE＝DF，①选项说法正确；
∵△CDE≌△BDF，
∴BF＝CE，
∵AE＝2BF，
∴AB＝AC＝3BF，④选项正确；
故选：A．
6．（2021秋•庆阳期末）如图，下列4个三角形中，均有AB＝AC，则经过三角形的一个顶点的一条直线能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是（ ）
A．①③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【答案】C。
【解答】解：由题意知，要求“被一条直线分成两个小等腰三角形”，
①中分成的两个等腰三角形的角的度数分别为：36°，36°，108°和36°，72°72°，能；
②不能；
③显然原等腰直角三角形的斜边上的高把它还分为了两个小等腰直角三角形，能；
④中的为36°，72，72°和36°，36°，108°，能．
故选：C．
7．（2021秋•天河区期末）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（ ）
A．6个 B．7个 C．8个 D．9个
【答案】C。
【解答】解：如图，分情况讨论：
①AB为等腰△ABC的底边时，符合条件的C点有4个；
②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．
故选：C．
8．（2021秋•克东县期末）如图，直线a，b相交形成的夹角中，锐角为52°，交点为O，点A在直线a上，直线b上存在点B，使以点O，A，B为顶点的三角形是等腰三角形，这样的点B有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D。
【解答】解：要使△OAB为等腰三角形分三种情况讨论：
①当OB＝AB时，作线段OA的垂直平分线，与直线b的交点为B，此时有1个；
②当OA＝AB时，以点A为圆心，OA为半径作圆，与直线b的交点，此时有1个；
③当OA＝OB时，以点O为圆心，OA为半径作圆，与直线b的交点，此时有2个，
1+1+2＝4，
故选：D．
9．（2021秋•勃利县期末）如图，已知△ABC中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAE＝30°，则∠DEC等于（ ）
A．7.5° B．10° C．15° D．18°
【答案】C。
【解答】解：∵AC＝AB，
∴∠B＝∠C，
∵∠AEC＝∠B+∠BAE＝∠B+30°＝∠AED+α，
∴∠B＝∠C＝∠AED+α﹣30°，
∵AE＝AD，
∴∠AED＝∠ADE＝∠C+α，
即∠AED＝∠AED+α﹣30°+α，
∴2α＝30°，
∴α＝15°，
∠DEC＝α＝15°，
故选：C．
10．（2021秋•富川县期末）如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC于E，BF交AC于F，过点O作OD⊥BC于D，下列三个结论：①∠AOB＝90°+∠C；②当∠C＝60°时，AF+BE＝AB；③若OD＝a，AB+BC+CA＝2b，则S△ABC＝ab．其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①②③ D．①③
【答案】C。
【解答】解：∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，
∴∠OBA＝∠CBA，∠OAB＝∠CAB，
∴∠AOB＝180°﹣∠OBA﹣∠OAB＝180°﹣∠CBA﹣∠CAB＝180°﹣（180°﹣∠C）＝90°+∠C，①正确；
∵∠C＝60°，
∴∠BAC+∠ABC＝120°，
∵AE，BF分别是∠BAC与ABC的平分线，
∴∠OAB+∠OBA＝（∠BAC+∠ABC）＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∴∠AOF＝60°，
∴∠BOE＝60°，
如图，在AB上取一点H，使BH＝BE，
∵BF是∠ABC的角平分线，
∴∠HBO＝∠EBO，
在△HBO和△EBO中，，
∴△HBO≌△EBO（SAS），
∴∠BOH＝∠BOE＝60°，
∴∠AOH＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠AOH＝∠AOF，
在△HAO和△FAO中，，
∴△HAO≌△FAO（ASA），
∴AF＝AH，
∴AB＝BH+AH＝BE+AF，故②正确；
作OH⊥AC于H，OM⊥AB于M，
∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，
∴点O在∠C的平分线上，
∴OH＝OM＝OD＝a，
∵AB+AC+BC＝2b
∴S△ABC＝×AB×OM+×AC×OH+×BC×OD＝（AB+AC+BC）•a＝ab，③正确．
故选：C．
二、填空题。
11．（2022•新会区模拟）如图，△ABC是等边三角形．P是∠ABC的平分线BD上一点，PE⊥AB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为点Q．若BF＝2，则PE的长为 ．
【答案】。
【解答】解：∵△ABC是等边三角形．P是∠ABC的平分线BD上一点，
∴∠FBQ＝∠EBP＝30°，
∴在直角△BFQ中，BQ＝BF•cos∠FBQ＝2×＝，
又∵QF是BP的垂直平分线，
∴BP＝2BQ＝2．
∵直角△BPE中，∠EBP＝30°，
∴PE＝BP＝．
故答案是：．
12．（2021秋•高州市期末）已知Rt△ABC中，∠C＝90゜，AB＝2BC，则∠A＝ 30° ．
【答案】30°。
【解答】解：
∵Rt△ABC中，∠C＝90゜，AB＝2BC，
∴∠A＝30°，
故答案为：30°．
13．（2021秋•崆峒区期末）如图，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D．则∠DBC的大小为 30° ．
【答案】30°。
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝70°，
∵MN的垂直平分AB，
∴DA＝DB，
∴∠A＝∠ABD＝40°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝70°﹣40°＝30°．
故答案为：30°．
14．（2021秋•佳木斯期末）如图，AB＝AC＝8cm，DB＝DC，若∠ABC＝60°，则BE＝ 4 cm．
【答案】4。
【解答】解：∵AB＝AC，∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，A在BC的垂直平分线上，
∴BC＝AB＝8cm，
∵DB＝DC，
∴点D在BC的垂直平分线上，
∴AD垂直平分BC，
∴BE＝BC＝4cm．
故答案为：4．
15．（2021秋•唐县期末）等腰三角形一个角为50°，则此等腰三角形顶角为 50°或80° ．
【答案】50°或80°。
【解答】解：分为两种情况：
当50°是顶角时，顶角为50°
当50°是底角时，其顶角是180°﹣50°×2＝80°
故填50°或80°．
16．（2021春•花都区期末）如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，AB＝6，则BC＝ 3 ．
【答案】3。
【解答】解：∵Rt△ABC，∠A＝30°，AB＝6，
∴BC＝AB＝3，
故答案为：3．
17．（2022春•紫金县期末）一个等腰三角形的两边长分别是4和9，则周长是 22 ．
【答案】22。
【解答】解：当等腰三角形的腰为4时，三边为4，4，9，4+4＜9，三边关系不成立，
当等腰三角形的腰为9时，三边为4，9，9，三边关系成立，周长为4+9+9＝22．
故答案为：22．
18．（2022春•萍乡期末）如图，已知∠A＝15°，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，则∠FEG的度数为 75 度．
【答案】75。
【解答】解：∵∠A＝15°，AB＝BC＝CD＝DE＝EF
∴∠CBD＝∠BAC+∠BCA＝30°
∴∠BCD＝120°
∴∠DCE＝∠CED＝180°﹣15°﹣120°＝45°
∴∠EDF＝∠A+∠AED＝15°+45°＝60°
∴△DEF是等边三角形
∴∠FEG＝180°﹣45°﹣60°＝75°．
故填75．
三、解答题。
19．（2022春•佛山月考）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，BD与CE相交于点O，且EB＝DC．求证：△BOC是等腰三角形．
【解答】证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
在△BEC与△CDB 中，
，
∴△BEC≌△CDB（SAS），
∴∠OCB＝∠OBC，
∴OB＝OC，
∴△BOC是等腰三角形．
20．（2022春•岷县月考）如图，在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．
（1）求证：OE＝OF；
（2）若CE＝12，CF＝5，求OC的长．
【解答】（1）证明：∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE＝∠ECB，
∵MN∥BC，
∴∠ECB＝∠OEC，
∴∠ACE＝∠OEC，
∴OE＝OC，
同理可得OC＝OF，
∴OE＝OF；
（2）解：∵CE、CF分别平分∠ACB和∠ACD，
∴∠ACE+∠ACF＝∠BCD＝90°，
∴EF＝＝＝13，
∴OC＝EF＝．
21．（2022春•萍乡月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90，D是AB上的一点，BD＝BC，过点D作AB的垂线交AC于点E，CD交BE于点F．
（1）求证：BE垂直平分CD；
（2）若点D是AB的中点，求证：△CBD是等边三角形．
【解答】证明：（1）∵∠ACB＝90，且DE⊥AB，
∴∠EDB＝∠ACB＝90°，
在Rt△EBC和Rt△EBD中，
，
∴Rt△EBC≌Rt△EBD（HL），
∴∠CBE＝∠DBE，
∵BD＝BC，
∴△BDC是等腰三角形，
∴BF⊥CD，CF＝DF，
∴BE垂直平分CD．
（2）∵D是AB的中点，∠ACB＝90°，
∴DC＝DB，
又∵BD＝BC，
∴DC＝DB＝BC，
∴△CBD是等边三角形．
22．（2022春•西安月考）如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，边AC的垂直平分线分别交边BC、AC于点D、E，DC＝6．求AB的长．
【解答】解：过A点作AF⊥BC与F点，
∵DE垂直平分AC，
∴AD＝CD＝6，CE＝AC，
∵∠C＝30°，
∴DE＝CD＝3，AF＝AC，
∴AF＝CE＝，
∴AC＝2CE＝，
∴CF＝＝6，
∵∠B＝45°，AF⊥BC，
∴∠BAF＝45°，
∴BF＝AF＝，
∴AB＝＝．
23．（2021秋•临江市期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．
【解答】证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
在△DBE和△ECF中
，
∴△DBE≌△ECF，
∴DE＝EF，
∴△DEF是等腰三角形；
（2）∵△DBE≌△ECF，
∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠B＝（180°﹣40°）＝70°
∴∠1+∠2＝110°
∴∠3+∠2＝110°
∴∠DEF＝70°
24．（2022春•西安月考）已知：如图，E为△ABC的外角平分线上的一点，AE∥BC，BF＝AE，求证：
（1）△ABC是等腰三角形；
（2）AF＝CE．
【解答】证明：（1）∵AE∥BC，
∴∠DAE＝∠B，∠EAC＝∠ACB，
∵E为△ABC的外角平分线上的一点，
∴∠DAE＝∠EAC，
∴∠B＝∠ACB，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）在△ABF和△CAE中，
，
∴△ABF≌△CAE（SAS），
∴AF＝CE．
25．（2022春•通川区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为CA延长线上一点，且DE⊥BC交AB于点F．
（1）求证：△ADF是等腰三角形；
（2）若AC＝10，BE＝3，F为AB中点，求DF的长．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵DE⊥BC，
∴∠DEC＝∠DEB＝90°，
∴∠B+∠BFE＝90°，∠C+∠D＝90°，
∴∠D＝∠BFE，
∵∠BFE＝∠AFD，
∴∠D＝∠AFD，
∴AD＝AF，
∴△ADF是等腰三角形；
（2）过点A作AG⊥DE，垂足为G，
∵AB＝AC，AC＝10，
∴AB＝10，
∵F为AB中点，
∴AF＝BF＝AB＝5，
在Rt△BFE中，BE＝3，
∴EF＝＝＝4，
∵∠AGF＝∠BEF＝90°，∠AFG＝∠BFE，
∴△AFG≌△BFE（AAS），
∴GF＝EF＝4，
∵AD＝AF，AG⊥DF，
∴DF＝2GF＝8．
26．（2022春•上杭县校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．
（1）求证：AE＝DF；
（2）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．
【解答】（1）证明：∵Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝60°，
∴∠C＝90°﹣∠A＝30°．
在Rt△CDF中，∠C＝30°，CD＝4t，
∴DF＝CD＝2t，
∵点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，
∴AE＝2t，
∴AE＝DF；
（2）解：①当∠DEF＝90°时，由（2）知四边形AEFD为平行四边形，
∴EF∥AD，
∴∠ADE＝∠DEF＝90°，
∵∠A＝60°，
∴∠AED＝30°，
∴AD＝AE＝t，
又AD＝60﹣4t，即60﹣4t＝t，解得t＝12；
②当∠EDF＝90°时，四边形EBFD为矩形，在Rt△AED中∠A＝60°，则∠ADE＝30°，
∴AD＝2AE，即60﹣4t＝4t，解得t＝．
③若∠EFD＝90°，则E与B重合，D与A重合，此种情况不存在．
综上所述，当t＝或12秒时，△DEF为直角三角形，
故答案为：或12．
专题13.3 等腰三角形（能力提升）
一、选择题。
1．（2021秋•盱眙县期末）如果等腰三角形两边长是5cm和2cm，那么它的周长是（ ）
A．7cm B．9cm C．9cm或12cm D．12cm
2．（2021秋•临海市期末）如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，下列结论中不正确的是（ ）
A．∠B＝∠C B．AD⊥BC C．AD平分∠BAC D．AB＝2BD
3．（2021春•灞桥区校级月考）△ABC是等边三角形，D，E，F为各边中点，则图中共有正三角形（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4．（2021秋•常宁市期末）如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，若AB＝10，BD＝6，则△ADE的周长为（ ）
A．4 B．30 C．18 D．12
5．（2021秋•舞阳县期末）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE＝2BF．下列四个结论中：①DE＝DF；②DB＝DC；③AD⊥BC；④AB＝3BF．其中正确的结论共有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
6．（2021秋•庆阳期末）如图，下列4个三角形中，均有AB＝AC，则经过三角形的一个顶点的一条直线能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是（ ）
A．①③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
7．（2021秋•天河区期末）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（ ）
A．6个 B．7个 C．8个 D．9个
8．（2021秋•克东县期末）如图，直线a，b相交形成的夹角中，锐角为52°，交点为O，点A在直线a上，直线b上存在点B，使以点O，A，B为顶点的三角形是等腰三角形，这样的点B有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（2021秋•勃利县期末）如图，已知△ABC中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAE＝30°，则∠DEC等于（ ）
A．7.5° B．10° C．15° D．18°
10．（2021秋•富川县期末）如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC于E，BF交AC于F，过点O作OD⊥BC于D，下列三个结论：①∠AOB＝90°+∠C；②当∠C＝60°时，AF+BE＝AB；③若OD＝a，AB+BC+CA＝2b，则S△ABC＝ab．其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①②③ D．①③
二、填空题。
11．（2022•新会区模拟）如图，△ABC是等边三角形．P是∠ABC的平分线BD上一点，PE⊥AB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为点Q．若BF＝2，则PE的长为 ．
12．（2021秋•高州市期末）已知Rt△ABC中，∠C＝90゜，AB＝2BC，则∠A＝ ．
13．（2021秋•崆峒区期末）如图，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D．则∠DBC的大小为 ．
14．（2021秋•佳木斯期末）如图，AB＝AC＝8cm，DB＝DC，若∠ABC＝60°，则BE＝ cm．
15．（2021秋•唐县期末）等腰三角形一个角为50°，则此等腰三角形顶角为 ．
16．（2021春•花都区期末）如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，AB＝6，则BC＝ 3 ．
17．（2022春•紫金县期末）一个等腰三角形的两边长分别是4和9，则周长是 ．
18．（2022春•萍乡期末）如图，已知∠A＝15°，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，则∠FEG的度数为 度．
三、解答题。
19．（2022春•佛山月考）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，BD与CE相交于点O，且EB＝DC．求证：△BOC是等腰三角形．
20．（2022春•岷县月考）如图，在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．
（1）求证：OE＝OF；
（2）若CE＝12，CF＝5，求OC的长．
21．（2022春•萍乡月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90，D是AB上的一点，BD＝BC，过点D作AB的垂线交AC于点E，CD交BE于点F．
（1）求证：BE垂直平分CD；
（2）若点D是AB的中点，求证：△CBD是等边三角形．
22．（2022春•西安月考）如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，边AC的垂直平分线分别交边BC、AC于点D、E，DC＝6．求AB的长．
23．（2021秋•临江市期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．
24．（2022春•西安月考）已知：如图，E为△ABC的外角平分线上的一点，AE∥BC，BF＝AE，求证：
（1）△ABC是等腰三角形；
（2）AF＝CE．
25．（2022春•通川区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为CA延长线上一点，且DE⊥BC交AB于点F．
（1）求证：△ADF是等腰三角形；
（2）若AC＝10，BE＝3，F为AB中点，求DF的长．
26．（2022春•上杭县校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．
（1）求证：AE＝DF；
（2）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．
专题13.3 等腰三角形（能力提升）答案
一、选择题。
1．（2021秋•盱眙县期末）如果等腰三角形两边长是5cm和2cm，那么它的周长是（ ）
A．7cm B．9cm C．9cm或12cm D．12cm
【答案】D。
【解答】解：当三边是2cm，2cm，5cm时，不符合三角形的三边关系；
当三角形的三边是5cm，5cm，2cm时，符合三角形的三边关系，
此时周长是5+5+2＝12cm．
故选：D．
2．（2021秋•临海市期末）如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，下列结论中不正确的是（ ）
A．∠B＝∠C B．AD⊥BC C．AD平分∠BAC D．AB＝2BD
【答案】D。
【解答】解：∵△ABC中，AB＝AC，D是BC中点
∴∠B＝∠C，（故A正确）
AD⊥BC，（故B正确）
∠BAD＝∠CAD（故C正确）
无法得到AB＝2BD，（故D不正确）．
故选：D．
3．（2021春•灞桥区校级月考）△ABC是等边三角形，D，E，F为各边中点，则图中共有正三角形（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】D。
【解答】因为△ABC为等边三角形，所以AB＝BC＝AC，
又因为D，E，F为各边中点，所以AE＝EB＝BF＝FC＝CD＝DA；
又因为DE，DF，EF分别为中位线，所以DE＝BC，EF＝AC，DF＝AB，
即DE＝EF＝DF．所以AE＝EB＝BF＝FC＝CD＝DA＝DE＝EF＝FD．
所以此图中所有的三角形均为等边三角形．
因此应选择5个，
故选：D．
4．（2021秋•常宁市期末）如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，若AB＝10，BD＝6，则△ADE的周长为（ ）
A．4 B．30 C．18 D．12
【答案】D。
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠AED＝∠B＝∠C＝60°，
∴△ADE为等边三角形，
∵AB＝10，BD＝6，
∴AD＝AB﹣BD＝10﹣6＝4，
∴△ADE的周长为12．
故选：D．
5．（2021秋•舞阳县期末）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE＝2BF．下列四个结论中：①DE＝DF；②DB＝DC；③AD⊥BC；④AB＝3BF．其中正确的结论共有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A。
【解答】解：∵BC平分∠ABF，
∴∠ABC＝∠FBC，
∵BF∥AC，
∴∠C＝∠FBC，
∴∠ABC＝∠C，
∴AC＝AB，
∵AC＝AB，AD是△ABC的角平分线，
∴DB＝DC，AD⊥BC，②、③选项说法正确；
在△CDE和△BDF中，
，
∴△CDE≌△BDF（ASA），
∴DE＝DF，①选项说法正确；
∵△CDE≌△BDF，
∴BF＝CE，
∵AE＝2BF，
∴AB＝AC＝3BF，④选项正确；
故选：A．
6．（2021秋•庆阳期末）如图，下列4个三角形中，均有AB＝AC，则经过三角形的一个顶点的一条直线能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是（ ）
A．①③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【答案】C。
【解答】解：由题意知，要求“被一条直线分成两个小等腰三角形”，
①中分成的两个等腰三角形的角的度数分别为：36°，36°，108°和36°，72°72°，能；
②不能；
③显然原等腰直角三角形的斜边上的高把它还分为了两个小等腰直角三角形，能；
④中的为36°，72，72°和36°，36°，108°，能．
故选：C．
7．（2021秋•天河区期末）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（ ）
A．6个 B．7个 C．8个 D．9个
【答案】C。
【解答】解：如图，分情况讨论：
①AB为等腰△ABC的底边时，符合条件的C点有4个；
②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．
故选：C．
8．（2021秋•克东县期末）如图，直线a，b相交形成的夹角中，锐角为52°，交点为O，点A在直线a上，直线b上存在点B，使以点O，A，B为顶点的三角形是等腰三角形，这样的点B有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D。
【解答】解：要使△OAB为等腰三角形分三种情况讨论：
①当OB＝AB时，作线段OA的垂直平分线，与直线b的交点为B，此时有1个；
②当OA＝AB时，以点A为圆心，OA为半径作圆，与直线b的交点，此时有1个；
③当OA＝OB时，以点O为圆心，OA为半径作圆，与直线b的交点，此时有2个，
1+1+2＝4，
故选：D．
9．（2021秋•勃利县期末）如图，已知△ABC中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAE＝30°，则∠DEC等于（ ）
A．7.5° B．10° C．15° D．18°
【答案】C。
【解答】解：∵AC＝AB，
∴∠B＝∠C，
∵∠AEC＝∠B+∠BAE＝∠B+30°＝∠AED+α，
∴∠B＝∠C＝∠AED+α﹣30°，
∵AE＝AD，
∴∠AED＝∠ADE＝∠C+α，
即∠AED＝∠AED+α﹣30°+α，
∴2α＝30°，
∴α＝15°，
∠DEC＝α＝15°，
故选：C．
10．（2021秋•富川县期末）如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC于E，BF交AC于F，过点O作OD⊥BC于D，下列三个结论：①∠AOB＝90°+∠C；②当∠C＝60°时，AF+BE＝AB；③若OD＝a，AB+BC+CA＝2b，则S△ABC＝ab．其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①②③ D．①③
【答案】C。
【解答】解：∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，
∴∠OBA＝∠CBA，∠OAB＝∠CAB，
∴∠AOB＝180°﹣∠OBA﹣∠OAB＝180°﹣∠CBA﹣∠CAB＝180°﹣（180°﹣∠C）＝90°+∠C，①正确；
∵∠C＝60°，
∴∠BAC+∠ABC＝120°，
∵AE，BF分别是∠BAC与ABC的平分线，
∴∠OAB+∠OBA＝（∠BAC+∠ABC）＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∴∠AOF＝60°，
∴∠BOE＝60°，
如图，在AB上取一点H，使BH＝BE，
∵BF是∠ABC的角平分线，
∴∠HBO＝∠EBO，
在△HBO和△EBO中，，
∴△HBO≌△EBO（SAS），
∴∠BOH＝∠BOE＝60°，
∴∠AOH＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠AOH＝∠AOF，
在△HAO和△FAO中，，
∴△HAO≌△FAO（ASA），
∴AF＝AH，
∴AB＝BH+AH＝BE+AF，故②正确；
作OH⊥AC于H，OM⊥AB于M，
∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，
∴点O在∠C的平分线上，
∴OH＝OM＝OD＝a，
∵AB+AC+BC＝2b
∴S△ABC＝×AB×OM+×AC×OH+×BC×OD＝（AB+AC+BC）•a＝ab，③正确．
故选：C．
二、填空题。
11．（2022•新会区模拟）如图，△ABC是等边三角形．P是∠ABC的平分线BD上一点，PE⊥AB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为点Q．若BF＝2，则PE的长为 ．
【答案】。
【解答】解：∵△ABC是等边三角形．P是∠ABC的平分线BD上一点，
∴∠FBQ＝∠EBP＝30°，
∴在直角△BFQ中，BQ＝BF•cos∠FBQ＝2×＝，
又∵QF是BP的垂直平分线，
∴BP＝2BQ＝2．
∵直角△BPE中，∠EBP＝30°，
∴PE＝BP＝．
故答案是：．
12．（2021秋•高州市期末）已知Rt△ABC中，∠C＝90゜，AB＝2BC，则∠A＝ 30° ．
【答案】30°。
【解答】解：
∵Rt△ABC中，∠C＝90゜，AB＝2BC，
∴∠A＝30°，
故答案为：30°．
13．（2021秋•崆峒区期末）如图，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D．则∠DBC的大小为 30° ．
【答案】30°。
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝70°，
∵MN的垂直平分AB，
∴DA＝DB，
∴∠A＝∠ABD＝40°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝70°﹣40°＝30°．
故答案为：30°．
14．（2021秋•佳木斯期末）如图，AB＝AC＝8cm，DB＝DC，若∠ABC＝60°，则BE＝ 4 cm．
【答案】4。
【解答】解：∵AB＝AC，∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，A在BC的垂直平分线上，
∴BC＝AB＝8cm，
∵DB＝DC，
∴点D在BC的垂直平分线上，
∴AD垂直平分BC，
∴BE＝BC＝4cm．
故答案为：4．
15．（2021秋•唐县期末）等腰三角形一个角为50°，则此等腰三角形顶角为 50°或80° ．
【答案】50°或80°。
【解答】解：分为两种情况：
当50°是顶角时，顶角为50°
当50°是底角时，其顶角是180°﹣50°×2＝80°
故填50°或80°．
16．（2021春•花都区期末）如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，AB＝6，则BC＝ 3 ．
【答案】3。
【解答】解：∵Rt△ABC，∠A＝30°，AB＝6，
∴BC＝AB＝3，
故答案为：3．
17．（2022春•紫金县期末）一个等腰三角形的两边长分别是4和9，则周长是 22 ．
【答案】22。
【解答】解：当等腰三角形的腰为4时，三边为4，4，9，4+4＜9，三边关系不成立，
当等腰三角形的腰为9时，三边为4，9，9，三边关系成立，周长为4+9+9＝22．
故答案为：22．
18．（2022春•萍乡期末）如图，已知∠A＝15°，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，则∠FEG的度数为 75 度．
【答案】75。
【解答】解：∵∠A＝15°，AB＝BC＝CD＝DE＝EF
∴∠CBD＝∠BAC+∠BCA＝30°
∴∠BCD＝120°
∴∠DCE＝∠CED＝180°﹣15°﹣120°＝45°
∴∠EDF＝∠A+∠AED＝15°+45°＝60°
∴△DEF是等边三角形
∴∠FEG＝180°﹣45°﹣60°＝75°．
故填75．
三、解答题。
19．（2022春•佛山月考）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，BD与CE相交于点O，且EB＝DC．求证：△BOC是等腰三角形．
【解答】证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
在△BEC与△CDB 中，
，
∴△BEC≌△CDB（SAS），
∴∠OCB＝∠OBC，
∴OB＝OC，
∴△BOC是等腰三角形．
20．（2022春•岷县月考）如图，在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．
（1）求证：OE＝OF；
（2）若CE＝12，CF＝5，求OC的长．
【解答】（1）证明：∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE＝∠ECB，
∵MN∥BC，
∴∠ECB＝∠OEC，
∴∠ACE＝∠OEC，
∴OE＝OC，
同理可得OC＝OF，
∴OE＝OF；
（2）解：∵CE、CF分别平分∠ACB和∠ACD，
∴∠ACE+∠ACF＝∠BCD＝90°，
∴EF＝＝＝13，
∴OC＝EF＝．
21．（2022春•萍乡月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90，D是AB上的一点，BD＝BC，过点D作AB的垂线交AC于点E，CD交BE于点F．
（1）求证：BE垂直平分CD；
（2）若点D是AB的中点，求证：△CBD是等边三角形．
【解答】证明：（1）∵∠ACB＝90，且DE⊥AB，
∴∠EDB＝∠ACB＝90°，
在Rt△EBC和Rt△EBD中，
，
∴Rt△EBC≌Rt△EBD（HL），
∴∠CBE＝∠DBE，
∵BD＝BC，
∴△BDC是等腰三角形，
∴BF⊥CD，CF＝DF，
∴BE垂直平分CD．
（2）∵D是AB的中点，∠ACB＝90°，
∴DC＝DB，
又∵BD＝BC，
∴DC＝DB＝BC，
∴△CBD是等边三角形．
22．（2022春•西安月考）如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，边AC的垂直平分线分别交边BC、AC于点D、E，DC＝6．求AB的长．
【解答】解：过A点作AF⊥BC与F点，
∵DE垂直平分AC，
∴AD＝CD＝6，CE＝AC，
∵∠C＝30°，
∴DE＝CD＝3，AF＝AC，
∴AF＝CE＝，
∴AC＝2CE＝，
∴CF＝＝6，
∵∠B＝45°，AF⊥BC，
∴∠BAF＝45°，
∴BF＝AF＝，
∴AB＝＝．
23．（2021秋•临江市期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．
【解答】证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
在△DBE和△ECF中
，
∴△DBE≌△ECF，
∴DE＝EF，
∴△DEF是等腰三角形；
（2）∵△DBE≌△ECF，
∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠B＝（180°﹣40°）＝70°
∴∠1+∠2＝110°
∴∠3+∠2＝110°
∴∠DEF＝70°
24．（2022春•西安月考）已知：如图，E为△ABC的外角平分线上的一点，AE∥BC，BF＝AE，求证：
（1）△ABC是等腰三角形；
（2）AF＝CE．
【解答】证明：（1）∵AE∥BC，
∴∠DAE＝∠B，∠EAC＝∠ACB，
∵E为△ABC的外角平分线上的一点，
∴∠DAE＝∠EAC，
∴∠B＝∠ACB，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）在△ABF和△CAE中，
，
∴△ABF≌△CAE（SAS），
∴AF＝CE．
25．（2022春•通川区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为CA延长线上一点，且DE⊥BC交AB于点F．
（1）求证：△ADF是等腰三角形；
（2）若AC＝10，BE＝3，F为AB中点，求DF的长．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵DE⊥BC，
∴∠DEC＝∠DEB＝90°，
∴∠B+∠BFE＝90°，∠C+∠D＝90°，
∴∠D＝∠BFE，
∵∠BFE＝∠AFD，
∴∠D＝∠AFD，
∴AD＝AF，
∴△ADF是等腰三角形；
（2）过点A作AG⊥DE，垂足为G，
∵AB＝AC，AC＝10，
∴AB＝10，
∵F为AB中点，
∴AF＝BF＝AB＝5，
在Rt△BFE中，BE＝3，
∴EF＝＝＝4，
∵∠AGF＝∠BEF＝90°，∠AFG＝∠BFE，
∴△AFG≌△BFE（AAS），
∴GF＝EF＝4，
∵AD＝AF，AG⊥DF，
∴DF＝2GF＝8．
26．（2022春•上杭县校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．
（1）求证：AE＝DF；
（2）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．
【解答】（1）证明：∵Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝60°，
∴∠C＝90°﹣∠A＝30°．
在Rt△CDF中，∠C＝30°，CD＝4t，
∴DF＝CD＝2t，
∵点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，
∴AE＝2t，
∴AE＝DF；
（2）解：①当∠DEF＝90°时，由（2）知四边形AEFD为平行四边形，
∴EF∥AD，
∴∠ADE＝∠DEF＝90°，
∵∠A＝60°，
∴∠AED＝30°，
∴AD＝AE＝t，
又AD＝60﹣4t，即60﹣4t＝t，解得t＝12；
②当∠EDF＝90°时，四边形EBFD为矩形，在Rt△AED中∠A＝60°，则∠ADE＝30°，
∴AD＝2AE，即60﹣4t＝4t，解得t＝．
③若∠EFD＝90°，则E与B重合，D与A重合，此种情况不存在．
综上所述，当t＝或12秒时，△DEF为直角三角形，
故答案为：或12．
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