专题13.1 轴对称（能力提升）（含解析）测试题

这是一份专题13.1 轴对称（能力提升）（含解析）测试题，共22页。
专题13.1 轴对称（能力提升）
一、选择题。
1．（2022•恩施市模拟）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2021秋•五常市期末）如图，∠MON内有一点P，P点关于OM的轴对称点是G，P点关于ON的轴对称点是H，GH分别交OM、ON于A、B点，若∠MON＝35°，则∠GOH＝（　　）

A．60° B．70° C．80° D．90°
3．（2021秋•湖里区期末）已知∠AOB＝30°，点P在∠AOB内部，点P1与点P关于OA对称，点P2与点P关于OB对称，则△P1OP2是（　　）
A．含30°角的直角三角形 B．顶角是30°的等腰三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
4．（2021秋•沈丘县期末）元旦联欢会上，同学们玩抢凳子游戏，在与A、B、C三名同学距离相等的位置放一个凳子，谁先抢到凳子谁获胜．如果将A、B、C三名同学所在位置看作△ABC的三个顶点，那么凳子应该放在△ABC的（　　）
A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三边上高的交点 D．三边垂直平分线的交点
5．（2022春•包头期末）如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，∠A＝50°，∠C′＝30°，则∠B的度数为（　　）

A．90° B．100° C．70° D．80°
6．（2021春•成都月考）如图，在△ABC中，∠B＝15o，∠C＝30o，MN是AB的中垂线，PQ是AC的中垂线，已知BC的长为6+2，则阴影部分的面积为（　　）

A． B． C． D．6
7．（2021•邵阳县模拟）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，连接AE．若BC＝5，AC＝4，则△ACE的周长为（　　）

A．9 B．10 C．13 D．14
8．（2022春•高新区校级期末）如图，点P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OB、OA的对称点P1，P2，连接P1P2交OB于M，交OA于N，若∠AOB＝40°，则∠MPN的度数是（　　）

A．90° B．100° C．120° D．140°
9．（2021秋•虹口区校级期末）如图，△ABC中，AB的垂直平分线交BC边于点E，AC的垂直平分线交BC边于点N，若∠BAC＝70°，则∠EAN的度数为（　　）

A．35° B．40° C．50° D．55°
10．（2021秋•河东区期末）如图，在2×2的方格纸中有一个以格点为顶点的△ABC，则与△ABC成轴对称且以格点为顶点三角形共有（　　）

A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
二、填空题。
11．（2022春•兰考县期末）如图AD是△ABC的对称轴，AC＝8cm，DC＝4cm，则△ABC的周长为　 　cm．

12．（2022春•抚州期末）我国传统木结构房屋，窗户常用各种图案装饰，下图是一种常见的图案，这个图案有　 　条对称轴．

13．（2021秋•利通区期末）如图，△ABC中，AC＝7，BC＝4，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，那么△BCE的周长为　 　．

14．（2022春•城关区校级期末）某公路急转弯处设立了一面大镜子，从镜子中看到汽车的车辆的号码如图所示，则该汽车的号码是　 　．

15．（2022春•开江县期末）如图，∠BAC＝130°，若MP和QN分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ等于　 　．

16．（2021•碑林区校级开学）如图所示，在△ABC中，DE，MN是边AB、AC的垂直平分线，其垂足分别为D、M，分别交BC于E、N，若AB＝8，AC＝9，设△AEN周长为m，则m的取值范围为　 　．

17．（2021秋•天宁区校级月考）如图，若P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1P2交OA于M，交OB于N，P1P2＝24，则△PMN的周长是　 　．

18．（2021秋•密山市校级期末）如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点A坐标是（a，b），则经过第2013次变换后所得的A点坐标是　 　．



三、解答题。
19．（2022春•通川区期末）如图，在△ABC中，∠B＝30°，边AB的垂直平分线分别交AB和BC于点D，E，且AE平分∠BAC．
（1）求∠C的度数；
（2）若CE＝1，求AB的长．









20．（2021春•毕节市期末）如图，在ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分AB，分别交AB，BC于D，E．
（1）若∠CAE＝∠B+30°，求∠B的大小；
（2）若∠CAE＝∠B，AD＝3，求AC的长．








21．（2021秋•永吉县期中）如图，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE，连接AE．
（1）求证：AB＝EC；
（2）若△ABC的周长为14cm，AC＝6cm，求DC长．








22．（2021秋•雁塔区校级期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，BE平分∠ABC，AM⊥BC于点M交BE于点G，AD平分∠MAC，交BC于点D，交BE于点F．求证：线段BF垂直平分线段AD．









23．（2021春•市南区期末）如图所示，在△ABC中，AD是∠BAC平分线，AD的垂直平分线分别交AB、BC延长线于点F、E．
求证：DF∥AC．
证明：
∵AD平分∠BAC
∴∠　 　＝∠　 　（角平分线的定义）
∵EF垂直平分AD
∴　 　＝　 　（线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等）
∴∠BAD＝∠ADF（　 　）
∴∠DAC＝∠ADF（等量代换）
∴DF∥AC（　 　）

24．（2022春•普宁市期末）如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝40°．
（1）尺规作图：①作边AB的垂直平分线交BC于点D；
②连接AD，作∠CAD的平分线交BC于点E；（要求：保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图中，求∠DAE的度数．

25．（2021秋•奈曼旗期中）如图所示，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，连接EF，EF与AD交于点G，求证：AD垂直平分EF．


26．（2021秋•赣榆区期中）如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于E、F．
（1）若BC＝10，求△AEF周长．
（2）若∠BAC＝128°，求∠FAE的度数．










































专题13.1 轴对称（能力提升）答案
一、选择题。
1．（2022•恩施市模拟）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D。
【解答】解：选项A、B、C不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故选：D．
2．（2021秋•五常市期末）如图，∠MON内有一点P，P点关于OM的轴对称点是G，P点关于ON的轴对称点是H，GH分别交OM、ON于A、B点，若∠MON＝35°，则∠GOH＝（　　）

A．60° B．70° C．80° D．90°
【答案】B。
【解答】解：如图，连接OP，
∵P点关于OM的轴对称点是G，P点关于ON的轴对称点是H，
∴∠GOM＝∠MOP，∠PON＝∠NOH，
∴∠GOH＝∠GOM+∠MOP+∠PON+∠NOH＝2∠MON，
∵∠MON＝35°，
∴∠GOH＝2×35°＝70°．
故选：B．

3．（2021秋•湖里区期末）已知∠AOB＝30°，点P在∠AOB内部，点P1与点P关于OA对称，点P2与点P关于OB对称，则△P1OP2是（　　）
A．含30°角的直角三角形 B．顶角是30°的等腰三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【答案】C。
【解答】解：∵P为∠AOB内部一点，点P关于OA、OB的对称点分别为P1、P2，
∴OP＝OP1＝OP2且∠P1OP2＝2∠AOB＝60°，
∴故△P1OP2是等边三角形．
故选：C．

4．（2021秋•沈丘县期末）元旦联欢会上，同学们玩抢凳子游戏，在与A、B、C三名同学距离相等的位置放一个凳子，谁先抢到凳子谁获胜．如果将A、B、C三名同学所在位置看作△ABC的三个顶点，那么凳子应该放在△ABC的（　　）
A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三边上高的交点 D．三边垂直平分线的交点
【答案】D。
【解答】解：∵三角形的三条垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，
∴凳子应放在△ABC的三条垂直平分线的交点最合适．
故选：D．
5．（2022春•包头期末）如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，∠A＝50°，∠C′＝30°，则∠B的度数为（　　）

A．90° B．100° C．70° D．80°
【答案】B。
【解答】解：∵△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，∠A＝50°，∠C′＝30°，
∴△ABC≌△A′B′C′，
∴∠C＝∠C′＝30°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣50°﹣30°＝100°．
故选：B．
6．（2021春•成都月考）如图，在△ABC中，∠B＝15o，∠C＝30o，MN是AB的中垂线，PQ是AC的中垂线，已知BC的长为6+2，则阴影部分的面积为（　　）

A． B． C． D．6
【答案】B。
【解答】解：∵∠B＝15o，∠C＝30o，
∴∠BAC＝180°﹣15°﹣30°＝135°，
∵MN是AB的中垂线，PQ是AC的中垂线，
∴NA＝NB，QA＝QC，
∴∠NAB＝∠B＝15o，∠QAC＝∠C＝30o，
∴∠NAQ＝135°﹣15°﹣30°＝90°，∠ANQ＝30°，
∴NQ＝2AQ，
∴AN＝AQ，
∴AQ+AQ+2AQ＝6+2，
解得，AQ＝2，
∴AN＝AQ＝2，
∴阴影部分的面积＝×2×2＝2，
故选：B．
7．（2021•邵阳县模拟）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，连接AE．若BC＝5，AC＝4，则△ACE的周长为（　　）

A．9 B．10 C．13 D．14
【答案】A。
【解答】解：∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∴△ACE的周长＝EA+EC+AC＝EB+EC+AC＝BC+AC＝9，
故选：A．
8．（2022春•高新区校级期末）如图，点P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OB、OA的对称点P1，P2，连接P1P2交OB于M，交OA于N，若∠AOB＝40°，则∠MPN的度数是（　　）

A．90° B．100° C．120° D．140°
【答案】B。
【解答】解：∵P点关于OB的对称点是P1，P点关于OA的对称点是P2，
∴PM＝P1M，PN＝P2N，∠P2＝∠P2PN，∠P1＝∠P1PM，
∵∠AOB＝40°，
∴∠P2PP1＝140°，
∴∠P1+∠P2＝40°，
∴∠PMN＝∠P1+∠MPP1＝2∠P1，∠PNM＝∠P2+∠NPP2＝2∠P2，
∴∠PMN+∠PNM＝2×40°＝80°，
∴∠MPN＝180°﹣（∠PMN+∠PNM）＝180°﹣80°＝100°，
故选：B．
9．（2021秋•虹口区校级期末）如图，△ABC中，AB的垂直平分线交BC边于点E，AC的垂直平分线交BC边于点N，若∠BAC＝70°，则∠EAN的度数为（　　）

A．35° B．40° C．50° D．55°
【答案】B。
【解答】解：∵∠BAC＝70°，
∴∠B+∠C＝180°﹣70°＝110°，
∵AB的垂直平分线交BC边于点E，AC的垂直平分线交BC边于点N，
∴EA＝EB，NA＝NC，
∴∠EAB＝∠B，∠NAC＝∠C，
∴∠BAC＝∠BAE+∠NAC﹣∠EAN＝∠B+∠C﹣∠EAN，
∴∠EAN＝∠B+∠C﹣∠BAC，
＝110°﹣70°
＝40°．
故选：B．
10．（2021秋•河东区期末）如图，在2×2的方格纸中有一个以格点为顶点的△ABC，则与△ABC成轴对称且以格点为顶点三角形共有（　　）

A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】C。
【解答】解：与△ABC成轴对称且以格点为顶点三角形有△ABG、△CDF、△AEF、△DBH，△BCG共5个，
故选：C．

二、填空题。
11．（2022春•兰考县期末）如图AD是△ABC的对称轴，AC＝8cm，DC＝4cm，则△ABC的周长为　24　cm．

【答案】24。
【解答】解：∵AD是△ABC的对称轴，
∴BD＝CD＝4cm，
BC＝BD+CD＝8cm
AB＝AC＝8cm，
∴△ABC的周长为＝AB+AC+BC＝24cm．
12．（2022春•抚州期末）我国传统木结构房屋，窗户常用各种图案装饰，下图是一种常见的图案，这个图案有　2　条对称轴．

【答案】2。
【解答】解：这是一个组合图形，它的外部是一个长方形，再根据它的组合特点，显然有2条对称轴，即两组对边的垂直平分线．
13．（2021秋•利通区期末）如图，△ABC中，AC＝7，BC＝4，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，那么△BCE的周长为　11　．

【答案】11。
【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∴△BCE的周长＝BC+BE+EC＝BC+EA+EC＝BC+AC＝11，
故答案为：11．
14．（2022春•城关区校级期末）某公路急转弯处设立了一面大镜子，从镜子中看到汽车的车辆的号码如图所示，则该汽车的号码是　B6395　．

【答案】B6395。
【解答】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的图片中的数字与“B6395”成轴对称，则该汽车的号码是B6395．
15．（2022春•开江县期末）如图，∠BAC＝130°，若MP和QN分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ等于　80°　．

【答案】80°。
【解答】解：∵MP和QN分别垂直平分AB和AC，
∴PA＝PB，QA＝QC，
∴∠BAP＝∠B，∠CAQ＝∠C，
∵∠BAC＝130°，
∴∠BAP+∠CAQ＝∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝50°，
∴∠PAQ＝∠BAC﹣（∠BAP+∠CAQ）＝80°．
故答案为：80°．
16．（2021•碑林区校级开学）如图所示，在△ABC中，DE，MN是边AB、AC的垂直平分线，其垂足分别为D、M，分别交BC于E、N，若AB＝8，AC＝9，设△AEN周长为m，则m的取值范围为　＜m＜17　．

【答案】＜m＜17。
【解答】解：∵DE，MN是边AB、AC的垂直平分线，
∴EA＝EB，NC＝NA，
∴△AEN周长为m＝EA+EN+NA＝EB+EN+NC＝BC，
在△ABC中，9﹣8＜BC＜9+8，
∴m＜17，
当∠BAC＝90°时，BC＝＝，
∴＜m＜17
故答案为：＜m＜17．
17．（2021秋•天宁区校级月考）如图，若P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1P2交OA于M，交OB于N，P1P2＝24，则△PMN的周长是　24　．

【答案】24。
【解答】解：∵P点关于OA、OB的对称点为P1、P2，
∴PM＝P1M，PN＝P2N，
∴△PMN的周长＝PM+PN+MN＝P1P2＝24．
故答案为：24．
18．（2021秋•密山市校级期末）如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点A坐标是（a，b），则经过第2013次变换后所得的A点坐标是　（a，﹣b）　．

【答案】（a，﹣b）。
【解答】解：点A第一次关于x轴对称后在第四象限，
点A第二次关于y轴对称后在第三象限，
点A第三次关于x轴对称后在第二象限，
点A第四次关于y轴对称后在第一象限，即点A回到原始位置，
所以，每四次对称为一个循环组依次循环，
∵2013÷4＝503余1，
∴经过第2013次变换后所得的A点与第一次变换的位置相同，在第四象限，坐标为（a，﹣b）．
故答案为：（a，﹣b）．
三、解答题。
19．（2022春•通川区期末）如图，在△ABC中，∠B＝30°，边AB的垂直平分线分别交AB和BC于点D，E，且AE平分∠BAC．
（1）求∠C的度数；
（2）若CE＝1，求AB的长．

【解答】解：（1）∵DE是线段AB的垂直平分线，∠B＝30°，
∴∠BAE＝∠B＝30°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠EAC＝∠BAE＝30°，
即∠BAC＝60°，
∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠B＝180°﹣60°﹣30°＝90°．
（2）∵∠C＝90°，∠B＝30°，AE平分∠BAC，CE＝1，
∴AC＝，
∴AB＝2．
20．（2021春•毕节市期末）如图，在ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分AB，分别交AB，BC于D，E．
（1）若∠CAE＝∠B+30°，求∠B的大小；
（2）若∠CAE＝∠B，AD＝3，求AC的长．

【解答】解：（1）∵DE垂直平分AB，
∴EA＝EB，
∴∠EAB＝∠B，
∵∠C＝90°，
∴∠CAB+∠B＝90°，即∠B+30°+∠B+∠B＝90°，
解得，∠B＝20°；
（2）∵∠CAE＝∠B，
∴3∠B＝90°，
解得，∠B＝30°，
∵DE垂直平分AB，AD＝3，
∴AB＝6，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，
∴AC＝AB＝3．
21．（2021秋•永吉县期中）如图，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE，连接AE．
（1）求证：AB＝EC；
（2）若△ABC的周长为14cm，AC＝6cm，求DC长．

【解答】（1）证明：∵EF垂直平分AC，
∴AE＝EC，
∵AD⊥BC，BD＝DE，
∴AB＝AE，
∴AB＝EC；
（2）解：∵△ABC的周长为14cm，
∴AB+BC+AC＝14（cm），
∵AC＝6cm，
∴AB+BC＝8（cm），
∵AB＝EC，BD＝DE，
∴DC＝DE+EC＝（AB+BC）＝4（cm）．
22．（2021秋•雁塔区校级期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，BE平分∠ABC，AM⊥BC于点M交BE于点G，AD平分∠MAC，交BC于点D，交BE于点F．求证：线段BF垂直平分线段AD．

【解答】证明：∵∠BAC＝90°，
∴∠ABC+∠C＝90°，
∵AM⊥BC，
∴∠AMB＝90°，
∴∠ABC+∠BAM＝90°，
∴∠C＝∠BAM，
∵AD平分∠MAC，
∴∠MAD＝∠CAD，
∴∠BAM+∠MAD＝∠C+∠CAD，
∵∠ADB＝∠C+∠CAD，
∴∠BAD＝∠ADB，
∴AB＝BD，
∵BE平分∠ABC，
∴BF⊥AD，AF＝FD，
即线段BF垂直平分线段AD．
23．（2021春•市南区期末）如图所示，在△ABC中，AD是∠BAC平分线，AD的垂直平分线分别交AB、BC延长线于点F、E．
求证：DF∥AC．
证明：
∵AD平分∠BAC
∴∠　BAD　＝∠　DAC　（角平分线的定义）
∵EF垂直平分AD
∴　FD　＝　FA　（线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等）
∴∠BAD＝∠ADF（　等边对等角　）
∴∠DAC＝∠ADF（等量代换）
∴DF∥AC（　内错角相等两直线平行　）

【解答】证明：∵AD平分∠BAC
∴∠BAD＝∠DAC（角平分线的定义）
∵EF垂直平分AD
∴FD＝FA（线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等）
∴∠BAD＝∠ADF（等边对等角）
∴∠DAC＝∠ADF（等量代换）
∴DF∥AC（内错角相等两直线平行）．
故答案为：BAD，DAC，FD，FA，等边对等角，内错角相等两直线平行．
24．（2022春•普宁市期末）如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝40°．
（1）尺规作图：①作边AB的垂直平分线交BC于点D；
②连接AD，作∠CAD的平分线交BC于点E；（要求：保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图中，求∠DAE的度数．

【解答】解：（1）如图，点D，射线AE即为所求．

（2）∵DF垂直平分线段AB，
∴DB＝DA，
∴∠DAB＝∠B＝30°，
∵∠C＝40°，
∴∠BAC＝180°﹣30°﹣40°＝110°，
∴∠CAD＝110°﹣30°＝80°，
∵AE平分∠DAC，
∴∠DAE＝∠DAC＝40°．
25．（2021秋•奈曼旗期中）如图所示，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，连接EF，EF与AD交于点G，求证：AD垂直平分EF．

【解答】证：∵AD是∠BAC的平分线，
DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠AED＝∠AFD＝90°，
在Rt△AED和Rt△AFD中
，
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴AE＝AF，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴AD垂直平分EF．
26．（2021秋•赣榆区期中）如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于E、F．
（1）若BC＝10，求△AEF周长．
（2）若∠BAC＝128°，求∠FAE的度数．

【解答】解：（1）∵在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于E、F，
∴AE＝BE，AF＝CF，
∵BC＝10，
∴△AEF周长为：AE+EF+AF＝BE+EF+CF＝BC＝10；
（2）∵AE＝BE，AF＝CF，
∴∠B＝∠BAE，∠C＝∠CAF，
∵∠BAC＝128°，
∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝52°，
∴∠BAE+∠CAF＝∠B+∠C＝52°，
∴∠FAE＝∠BAC﹣（∠BAE+∠CAF）＝76°．