初中数学13.3.1 等腰三角形优秀巩固练习

第18课  等腰三角形性质及判定

 知识精讲

知识点01  等腰三角形的定义

有          相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做          ，另一边叫做          ，两腰所夹的角叫做      ，底边与腰的夹角叫做      .

如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．

要点诠释：

等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于      .等腰三角形的底角只能为      ，不能为

       （或      ），但顶角可为钝角（或直角）.

∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝           .

知识点02  等腰三角形的性质

1.等腰三角形的性质

性质1：等腰三角形的      （简称“等边对等角”）．

性质2：等腰三角形的      互相重合（简称“      ”）．

2.等腰三角形的性质的作用

性质1证明同一个三角形中的      .是证明角相等的一个重要依据．

性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．

3.等腰三角形是轴对称图形

等腰三角形底边上的      是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴．

知识点03  等腰三角形的判定

如果一个三角形中      相等，那么      也相等（简称“      ”）.

要点诠释：

等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.

考法01   等腰三角形中的分类讨论

【典例1】等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为(    )．

        A．60°    B．120°    C．60°或150°    D．60°或120°

【即学即练1】等腰三角形有一个外角是100°，这个等腰三角形的底角是　          　．

考法02  等腰三角形的操作题

【典例2】根据给出的下列两种情况，请用直尺和圆规找到一条直线，把△ABC恰好分割成两个等腰三角形（不写做法，但需保留作图痕迹，在图中标注分割后的角度）；并根据每种情况分别猜想：∠A与∠B有怎样的数量关系时才能完成以上作图？

（1）如图①△ABC中，∠C＝90°，∠A＝24°；猜想：

（2）如图②△ABC中，∠C＝84°，∠A＝24°；猜想：

【即学即练2】直角三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，AC≤BC，如图，将纸片沿某条直线折叠，使点A落在直角边BC上，记落点为D，设折痕与AB、AC边分别交于点E、F，

探究：如果折叠后的△CDF与△BDE均为等腰三角形，那么纸片中的∠B的度数是多少？写出你的计算过程，并画出符合条件的折叠后的图形．

考法03  等腰三角形性质判定综合应用

【典例3】如图，△ABC中，∠C=2∠A，BD平分∠ABC交AC于D，求证：AB=CD+BC．（用两种方法）

【即学即练3】如图，已知AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．

求证：AC＝BF．

【典例4】如图，AC＝BC，∠ACB＝90°，∠A的平分线AD交BC于点D，过点B作BE⊥AD于点E.

求证：BE＝AD.

 【即学即练4】已知，如图，AD为△ABC的内角平分线，且AD＝AB，CM⊥AD于M.

求证：AM＝(AB＋AC) ．

分层提高

题组A  基础过关练

1．已知一个等腰三角形两边长分别为5，6，则它的周长为(    )

A．16 B．17 C．16 或 17 D．10 或 12

2．若一个三角形的三个内角的度数之比为1：2：3，那么相对应的三个外角的度数之比为（    ）

A．3：2：1 B．1：2：3 C．3：4：5 D．5：4：3

3．如图，将两个全等的有一个角为30°的直角三角形拼成如下图形，其中两条长直角边在同一直线上，则图中等腰三角形的个数是（    ）

A．4 B．3 C．2 D．1

4．如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，则下列四个结论：（1）∠DEF=∠DFE；（2）AE=AF；（3）AD平分∠EDF；（4）EF垂直平分AD．其中正确的有（   ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

5．如图，D是AB边上的中点，将△ABC沿过D的直线折叠，使点A落在BC上F处，若∠B=45°，则∠BDF度数是（ ）

A．80° B．90° C．40° D．不确定

6．有3cm，3cm，6cm，6cm，12cm，12cm的六条线段，任选其中的三条线段组成一个等腰三角形，则最多能组成等腰三角形的个数为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

题组B  能力提升练

１．如图，△ABC中AB＝AC，D是AC上一点且BC＝BD，若∠CBD＝46°，则∠A＝_____°．

２．等腰三角形的一个底角比顶角大30°，那么顶角度数为_____．

３．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠C＝90°，BD平分∠CBA交AC于点D，DE⊥AB于E．若△ADE的周长为8cm，则AB＝_____ cm．

4．等腰三角形的一个角是70°，则它的顶角的度数是____________．

5．已知，如图，在△ABC中，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，过O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E，若BD+CE＝5，则线段DE的长为_____．

6．如图，在△ABC中，BI，CI分别平分∠ABC，∠ACF，直线DE过点I，且DE∥BC，BD＝8 cm，CE＝5 cm，则DE＝______．

题组C  培优拔尖练

1．如图，已知ΔABC中，AB=AC，D是AB上一点，延长CA至E，使AE=AD，试确定ED与BC的位置关系，并证明你的结论．

2．已知在△ABC中，AB=AC．

（1）若D为AC的中点，BD把三角形的周长分为24cm和30cm两部分，求△ABC三边的长；

（2）若D为AC上一点，试说明AC＞（BD+DC）．

3．如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，P，Q分别在BC，CA上，AP，BQ分别是∠BAC，∠ABC的角平分线．求证：BQ+AQ=AB+BP．

4．在中，，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作，使，，连接CE．

（1）如图①，当点D在线段BC上．如果，求的度数；

（2）设，．如图②，当点D在线段BC上移动，则，之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．