第17课 作轴对称图形-八年级数学上册同步精讲精练（人教版）

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第17课  作轴对称图形 知识精讲知识点01  对称轴的作法若两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．因此只要找到一对对应点，再作出连接它们的线段的垂直平分线就可以得到这两个图形的对称轴．轴对称图形的对称轴作法相同． 要点诠释：在轴对称图形和成轴对称的两个图形中，对应线段、对应角相等.成轴对称的两个图形，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点一定在对称轴上.如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称. 知识点02  用坐标表示轴对称1.关于x轴对称的两个点的横（纵）坐标的关系
　 已知P点坐标，则它关于轴的对称点的坐标为，如下图所示：
　  即关于轴的对称的两点，坐标的关系是：横坐标相同，纵坐标互为相反数．
2.关于y轴对称的两个点横（纵）坐标的关系
　 已知P点坐标为，则它关于轴对称点的坐标为，如上图所示．
　 即关于轴对称的两点坐标关系是：纵坐标相同，横坐标互为相反数．
3.关于与x轴（y轴）平行的直线对称的两个点横（纵）坐标的关系
　 P点坐标关于直线的对称点的坐标为．　 P点坐标关于直线的对称点的坐标为． 能力拓展 考法01   作轴对称图形【典例1】如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A（0，1），B（3，2），C（1，4）均在正方形网格的格点上．（1）画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1；（2）将△A1B1C1沿x轴方向向左平移3个单位后得到△A2B2C2，写出顶点A2，B2，C2的坐标．【思路点拨】（1）直接利用关于x轴对称点的性质得出各对应点位置进而得出答案；（2）直接利用平移的性质得出各对应点位置进而得出答案．【答案与解析】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求，点A2（﹣3，﹣1），B2（0，﹣2），C2（﹣2，﹣4）．【总结升华】此题主要考查了轴对称变换和平移变换，根据题意得出对应点位置是解题关键．【即学即练1】在下图中，画出△ABC关于直线MN的对称图形.【答案】△为所求.考法02  轴对称变换的应用（将军饮马问题）【典例2】如图所示，如果将军从马棚M出发，先赶到河OA上的某一位置P，再马上赶到河OB上的某一位置Q，然后立即返回校场N．请为将军重新设计一条路线(即选择点P和Q)，使得总路程MP＋PQ＋QN最短．【思路点拨】通过轴对称变换，将MP转化为P，QN转化为Q，要使总路程MP＋PQ＋QN最短，就是指P＋PQ＋Q最短，而这三条线段在一条直线上的时候最短.【答案与解析】见下图作点M关于OA的对称点，作点N关于OB的对称点，连接交OA于P、交OB于Q，则M→P→Q→N为最短路线．【总结升华】本题主要是通过作对称点的方法得出结论，并利用了对称线段相等，三角形两边之和大于第三边的性质推得所作的图形符合条件，这是道综合性的应用问题. 【即学即练2】茅坪民族中学八（2）班举行文艺晚会，桌子摆成两直条（如图中的AO，BO），AO桌面上摆满了桔子，OB桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到C处，请你在下图帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？【答案】解：①分别作点C关于OA、OB的对称点是M、N，②连接MN，分别交OA于D，OB于E．则C→D→E→C为所求的行走路线．【典例3】将军要检阅一队士兵，要求(如图所示)：队伍长为a，沿河OB排开(从点P到点Q)；将军从马棚M出发到达队头P，从P至Q检阅队伍后再赶到校场N．请问：在什么位置列队(即选择点P和Q)，可以使得将军走的总路程MP＋PQ＋QN最短?【答案与解析】见下图作法：作N关于OB的对称点，再作∥BO且＝(在的左侧)；连接交OB于点P，再在OB上取点Q使得PQ＝(Q在P的右侧)，此时，MP＋PQ＋QN最小．【总结升华】MP＋PQ＋QN最小，其中PQ是定值，问题转化为MP＋QN最小.因为将军要沿河走一段线段，如果能把这段提前走掉就可以转化为熟悉的问题了，于是考虑从沿平行的方向走至，连接即可.【典例4】已知点A（2a﹣b，5+a），B（2b﹣1，﹣a+b）．（1）若点A、B关于x轴对称，求a、b的值；（2）若A、B关于y轴对称，求﹙4a+b﹚2014的值．【思路点拨】（1）根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得2a﹣b=2b﹣1，5+a﹣a+b=0，解可得a、b的值；（2）根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得2a﹣b+2b﹣1=0，5+a=﹣a+b，解出a、b的值，进而可得答案．【答案与解析】解：（1）∵点A、B关于x轴对称，∴2a﹣b=2b﹣1，5+a﹣a+b=0，解得：a=﹣8，b=﹣5；（2）∵A、B关于y轴对称，∴2a﹣b+2b﹣1=0，5+a=﹣a+b，解得：a=﹣1，b=3，﹙4a+b﹚2014=1．【总结升华】此题主要考查了关于x、y轴对称的点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律． 【即学即练3】已知点A（，）关于轴对称的点的坐标为点B（，），则的值为（    ）．A．      B．      C．      D． 【答案】B；提示：2＝2，＋＝3, 解得＝2, ＝1，选B. 【即学即练4】如图，ΔABC中，点A的坐标为（0，1），点C的坐标为（4，3），点B的坐标为（3，1），如果要使ΔABD与ΔABC全等，求点D的坐标．【答案】共3个满足条件的点：（4，－1），（－1，3），（－1，－1）. 分层提高 题组A  基础过关练1．下列说法中，正确的是（   ）A．有一条公共边的两个全等三角形关于公共边所在的直线对称B．全等三角形是关于某直线对称的C．两个图形关于某直线对称，则这两个图形一定分别位于这条直线的两侧D．关于某直线对称的两个三角形是全等三角形【答案】D【分析】根据轴对称的定义：两个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能完全重合，那么这两个图形成轴对称进行判断即可．【详解】、有一条公共边的两个全等三角形关于公共边所在的直线对称，错误，例如图三：故此选项错误；、全等三角形是关于某直线对称的错误，例如图一，故此选项错误；、两个图形关于某直线对称，则这两个图形一定分别位于这条直线的两侧错误，例如图二：，故此选项错误；、关于某直线对称的两个三角形是全等三角形，此选项正确；故选：．【点睛】此题主要考查了轴对称图形的应用，主要考查学生的理解能力，关键是熟练把握轴对称的定义．2．已知点A（x，4）与点B（3，y）关于y轴对称，那么x+y的值是（ ）A．﹣1 B．﹣7 C．7 D．1【答案】D【详解】试题分析：根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”求出x、y的值，然后相加计算即可得解． ∵点A（x，4）与点B（3，y）关于y轴对称， ∴x=﹣3，y=4， 所以，x+y=﹣3+4=1．考点：关于x轴、y轴对称的点的坐标．3．如图，△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，P为MN上任一点（A、P、A′不共线），下列结论中错误的是（    ）A．△AA′P是等腰三角形 B．MN垂直平分AA′、CC′C．△ABC与△A′B′C′面积相等 D．直线AB，A′B′的交点不一定在直线MN上【答案】D【分析】据对称轴的定义，△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，P为MN上任意一点，可以判断出图中各点或线段之间的关系．【详解】解：∵△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，P为MN上任意一点，∴△AA′P是等腰三角形，MN垂直平分AA′，CC′，这两个三角形的面积相等，故A、B、C选项正确，直线AB，A′B′关于直线MN对称，因此交点一定在MN上，故D错误，故选：D．【点睛】本题主要考查了轴对称性质的理解和应用，准确分析判断是解题的关键．4．已知点（4，-a） 关于x轴的对称点为，则a的值是（    ）A．-3 B．5 C．3 D．-5【答案】C【解析】【分析】关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，继而求出a.【详解】解：因为关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，则-a=-3，即a=3，故选：C.【点睛】解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数.5．平面直角坐标系内的点A(－1，2)与点B(－1，－2)关于(       )A．y轴对称 B．x轴对称 C．原点对称 D．直线y＝x对称【答案】B【详解】试题解析：点A(－1，2)与点B(－1，－2)关于x轴对称.故选B.点睛：关于x轴对称点的坐标特点，横坐标不变，纵坐标互为相反数.6．如图，六边形ABCDEF是轴对称图形，CF所在的直线是它的对称轴，若∠AFC+∠BCF=150°，则∠AFE+∠BCD=（   ）A．150° B．300° C．210° D．330°【答案】B【详解】试题分析：轴对称图形按对称轴折叠后两边可以完全重合，∠AFC+∠BCF=150°，则∠EFC+∠DCF=150°，所以∠AFE+∠BCD=300°．故选B．考点：轴对称的性质．题组B  能力提升练1．如图，△ABC和△ABC关于直线MN对称，并且AB＝6，BC＝3，则A'C'的取值范围是________。【答案】3＜A′C′＜9【分析】根据△ABC和△A′B′C′关于MN对称，得出△ABC≌△A′B′C′，即可得出AC=A′C′，再利用三角形三边关系得出A′C′的取值范围．【详解】解：∵△ABC和△A′B′C′关于MN对称，
∴得出△ABC≌△A′B′C′，
∴AC=A′C′，
∵AB-BC＜AC＜AB+BC，
∴6-3＜AC＜6+3
∴A′C′的取值范围是：3＜A′C′＜9．
故答案为：3＜A′C′＜9．【点睛】本题主要考查了轴对称图形的性质，利用两图形全等得出AC=A′C′，再利用三角形三边关系得出是解题关键．2．已知点A(a，3)，B(－3，b)，若点A，B关于x轴对称，则点P(－a，－b)在第____象限；若点A，B关于y轴对称，则点P(－a，－b)在第____象限．【答案】  一  三【解析】先根据点A,B关于x轴对称可得:a=－3,b=－3,所以点P坐标是(3,3),故点P在第一象限, 再根据点A,B关于y轴对称可得:a=3,b=3,所以点P坐标是(－3, －3)故点P在第三象限.3．若点P(a,b)关于y轴的对称点是P1 ,而点P1关于x轴的对称点是P ,若点P的坐标为(-3,4),则a=_____,b=______【答案】a=3    b=-4    【分析】先求得P1的坐标,再根据点P1关于x轴的对称点是P,则即可求得a与b的值【详解】由于P1与P2关于x轴对称，P2的坐标为（-3，4），则P1的坐标为（-3，-4），点P（a，b）关于y轴对称的点是P1，则P点的坐标为（3，-4），则a=3，b=-4.【点睛】此题考查关于x轴、y轴对称的点的坐标，难度不大4．在平面直角坐标系中,点A的坐标是(2,- 3),作点A关于x轴的对称点,得到点A',再作点A'关于y轴的对称点,得到点A″,则点A″的坐标是____.【答案】(-2,3)【详解】试题分析：∵点A的坐标是（2，﹣3），作点A关于x轴的对称点，得到点A′，∴A′的坐标为：（2，3），∵点A′关于y轴的对称点，得到点A″，∴点A″的坐标是：（﹣2，3）．故答案为﹣2；3．考点：关于x轴、y轴对称的点的坐标．5．如图，这是小亮制作的风筝，为了平衡做成轴对称图形，已知OC是对称轴，∠A=35°，∠ACO=30°，那么∠BOC=___________．【答案】∠BOC=115°【解析】利用三角形内角和定理先求出∠AOC，再利用轴对称的性质即可求出∠BOC的度数．解：∵∠A=35°，∠ACO=30°，∴∠AOC=180°-35°-30°=115°，∴∠BOC=∠AOC=115°．此题比较容易，掌握对称的基本性质，并结合图形应用即可．6．如果点（，）关于x轴的对称点在第四象限内，则m的取值范围是________．【答案】【分析】利用关于轴对称点的性质可知点P在第一象限，由此根据第一象限点的坐标的特征列不等式组即可解答．【详解】∵点P（，）关于轴的对称点在第四象限内，∴点P（，）在第一象限，∴，解得：．故答案为：．【点睛】本题主要考查了关于轴对称点的性质以及象限内点的坐标特点，正确记忆各象限内点的坐标符号是解题关键．题组C  培优拔尖练1．如图，在4×3的正方形网格中，阴影部分是由4个正方形组成的一个图形，请你用两种方法分别在下图方格内添涂2个小正方形，使这6个小正方形组成的图形是轴对称图形，并画出其对称轴．【答案】答案见解析．【解析】试题分析：根据轴对称图形的概念作图即可.试题解析： 点睛：本题主要掌握轴对称图形的性质及其对称轴的画法.2．（1）已知：如图，点M在锐角∠AOB的内部，在OA边上求作一点P，在OB边上求作一点Q，使得ΔPMQ的周长最小；（2）已知：如图，点M在锐角∠AOB的内部，在OB边上求作一点P，使得点P到点M的距离与点P到OA边的距离之和最小．【答案】答案见解析【解析】试题分析：根据轴对称确定最短路线问题，作出点关于的对称点，点关于的对称点，连接与的交点即为所求的点
作出点关于的对称点，根据垂线段最短，作 与的交点即为所求作的点 试题解析：作点关于角两边的对称点然后连接，交两边于作点关于的对称点，根据垂线段最短，作 与的交点即为所求作的点 3．如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位，△ABC的三个顶点都在格点上．（1）在网格中画出△ABC向下平移3个单位得到的△A1B1C1；（2）在网格中画出△ABC关于直线m对称的△A2B2C2；（3）在直线m上画一点P，使得的值最小．【答案】见解析【详解】分析：（1）根据图形平移的性质画出△A1B1C1即可；（2）根据轴对称的性质画出△ABC关于直线m对称的△A2B2C2即可；（3）连接C1C2交直线m于点P，则点P即为所求点．详解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；（2）如图，△A2B2C2即为所求；（3）连接连接C1C2交直线m于点P，则点P即为所求点．点睛：本题考查的是作图-轴对称变换，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．