教科版高中物理必修第一册第二章匀变速直线运动的规律课时学案

4　匀变速直线运动规律的应用

知识点一　匀变速直线运动的两条主要规律

1.速度与时间的关系:vt=v0+at,末速度vt是时间t的一次函数。

2.位移与时间的关系:x=v0t+at2,位移x是时间t的二次函数。

3.规律特点:涉及的5个物理量有初速度v0、末速度vt、加速度a、位移x和时间t,其中v0,vt,a,x都是矢量,只有时间t是标量。

知识点二　实际中的匀变速直线运动问题

1.飞机起飞过程中,若由静止开始,其加速度为a,离地速度为vt,如何确定飞机起飞跑道的长度?若飞机先通过弹射装置以某一初速度v0开始,起飞位移又为多少?

2.若起飞中的飞机因意外突发情况,在达到某速度时要求在有限距离内停下来,如何求飞机的加速度?

3.子弹射出枪管过程中,若已知枪管长度、射出速度,子弹在枪管内的加速度是多少?

以上问题中,均涉及匀变速直线运动中的初速度v0、末速度vt、位移x和加速度a四个物理量,解答该类问题时,由vt=v0+at,x=v0t+at2

两公式消去t,可得到-=2ax。

1.思考判断

(1)公式-=2ax适用于所有的直线运动。(　×　)

(2)做匀加速直线运动的物体,位移越大,物体的末速度一定越大。(　×　)

(3)确定公式-=2ax中的四个物理量的数值时,选取的参考系应该是统一的。(　√　)

(4)匀加速直线运动中速度的二次方一定与位移x成正比。(　×　)

(5)匀变速直线运动的位移与初速度、加速度、末速度三个因素都有关。(　√　)

2.思维探究

如果你是机场跑道设计师,若已知飞机的加速度为a,起飞速度为v,你应该如何来设计飞机跑道的长度?

答案:根据公式-=2ax得

=2ax,

所以x=,

即应使飞机跑道的长度大于。

要点一　关系式-=2ax的理解应用

若物体做匀变速直线运动的初速度为v0、加速度为a、末速度为vt、位移为x,怎样求物体经过这段位移的中点时的速度?

答案:由于问题中已知v0,vt,a,x,求时的速度,不涉及时间,可优先选用公式-=2ax。

对于前半段位移,有-=2a·,

对于后半段位移,

有-=2a·。

由以上两式得=。

对公式-=2ax的理解

(1)适用范围:仅适用于匀变速直线运动。

(2)各物理量的含义。

(3)矢量性:公式中的v0,vt,a,x四个物理量都是矢量,计算时要统一正方向。

(4)常用情况:分析和解决不涉及时间的问题时,使用 -=2ax往往会使问题变得简单。

(5)特殊情况:当v0=0时,公式简化为=2ax。

[例1] 有些汽车刹车后,停止转动的轮胎在地面上发生滑动,可以明显地看出滑动的痕迹,即常说的刹车线,由刹车线长短可以得知汽车刹车前的速度大小,因此刹车线的长度是分析交通事故的一个重要依据。若汽车刹车后的加速度大小为8 m/s2,刹车线长是16 m,则可知汽车刹车前的速度是(　C　)

A.4 m/s B.8 m/s C.16 m/s D.20 m/s

解析:汽车加速度a=-8 m/s2,末速度为0,刹车位移为x=16 m。设汽车刹车前的速度为v0,根据运动学规律有02-=2ax,代入数据得v0=16 m/s,故A,B,D错误,C正确。

(2)刹车问题由于末速度为零,应用此公式往往较方便且能避免机械套用位移公式而出现解答错误。

[针对训练1] 若有一个小孩从滑梯上由静止开始沿直线匀加速下滑。当他下滑距离为L时,速度为v,当它的速度是时,它沿斜面下滑的距离是(　C　)

A. B. 

C. D.

解析:设小孩下滑的加速度为a,由于v0=0,根据-=2ax有v2=2aL,得a=;速度变为时有 ()2=2ax,则x=,选项C正确。

要点二　初速度为零的匀变速直线运动的比例关系

以初速度为零、加速度为a做匀加速直线运动的物体,经过若干相等时间T。

(1)第5T时的速度是第1T时的多少倍?

(2)5T内的位移是1T内位移的多少倍?

(3)第5T内的位移是第1T内位移的多少倍?

答案:(1)5倍　(2)25倍　(3)9倍

1.等分运动时间(以T为时间单位)的情况

(1)1T末、2T末、3T末……瞬时速度之比:

v1∶v2∶v3∶…∶vn=1∶2∶3∶…∶n。

(2)1T内,2T内,3T内……位移之比:

x1∶x2∶x3∶…∶xn=1∶4∶9∶…∶n2。

(3)第一个T内、第二个T内、第三个T内……位移之比:xⅠ∶xⅡ∶xⅢ∶…∶xN=1∶3∶5∶…∶(2n-1)。

2.等分位移(以x为单位)的情况

(1)通过x,2x,3x,…所用时间之比:

t1∶t2∶t3∶…∶tn=1∶∶∶…∶。

(2)通过第一个x、第二个x、第三个x……所用时间之比:

t1′∶t2′∶t3′∶…∶tn′=1∶(-1)∶(-)∶…∶(-)。

[例2] (多选)如图所示,一个滑块从斜面顶端A由静止开始沿斜面向下做匀加速直线运动到达底端C,已知AB=BC,则下列说法正确的是(　BD　)

A.滑块到达B,C两点的速度之比为1∶2

B.滑块到达B,C两点的速度之比为1∶

C.滑块通过AB,BC两段的时间之比为1∶

D.滑块通过AB,BC两段的时间之比为(+1)∶1

解析:法一　根据匀变速直线运动的速度-位移公式v2=2ax,解得v=,因为经过B,C两点的位移之比为 1∶2,则通过B,C两点的速度之比为1∶,故A错误,B正确;设AB段、BC段的长度均为L,所经历的时间分别为t1,t2,根据匀变速直线运动的位移-时间公式L=a和2L=a(t1+t2)2,联立可得=,故C错误,D正确。

法二　比例关系:初速度为零的匀变速直线运动通过连续相等的位移所用时间之比为1∶(-1)∶(-)∶…∶(-),所以滑块通过AB,BC两段的时间之比为1∶(-1)=(+1)∶1,C错误,D正确;通过前x、前2x、前3x……前nx的位移时的瞬时速度之比为1∶∶∶…∶,所以滑块到达B,C两点的速度之比为1∶,A错误,B正确。

(2)匀变速直线运动中,若这些比例式成立,则该运动初速度或末速度一定为0。

[针对训练2] 一个物体做初速度为零的匀加速直线运动。关于物体的运动,下列说法中正确的是(　B　)

A.第4 s内的平均速度和第5 s内的平均速度之比为 4∶5

B.第4 s内的平均速度和第5 s内的平均速度之比为 7∶9

C.第4 s内的速度变化量大于第3 s内的速度变化量

D.第4 s内和前4 s内的位移之比为8∶16

解析:由“某段时间内的平均速度等于中间时刻的瞬时速度”可得,第4 s内和第5 s内的平均速度分别为=v3.5=3.5a,=v4.5=4.5a,则∶=7∶9,故选项A错误,B正确;第3 s内和第4 s内的时间均为1 s,则第4 s 内的速度变化量和第3 s内的速度变化量相等,选项C错误;因物体的初速度为零,则相邻相同时间内的位移之比为x1∶x2∶x3∶x4=1∶3∶5∶7,故第 4 s 内和前4 s内的位移之比为x4∶(x1+x2+x3+x4)=7∶16,故选项D错误。

　　匀变速直线运动的推论与打点纸带类问题在物理众多力学实验中,通过打点纸带求物体某位置的速度、物体加速度占据了很大比重,利用匀变速直线运动的推论关系==,Δx=aT2是我们需要掌握的重要技能。

求解可按以下方法进行。

1.计数点的选取与测量

选择一条点迹清晰的纸带,不考虑开头一些过于密集的点,找一个便于测量的点作为计时起点(0点)。可选择相隔0.1 s的若干计数点进行测量,即依次每五个点取一个计数点,并标明0,1,2,3,4,…,相邻两计数点间的时间间隔(T=0.1 s)作为一个时间单位。

如图所示,用毫米刻度尺测量每个计数点之间的距离x1,x2,x3,…并记录填入表中。

2.加速度的计算

(1)若x2-x1=x3-x2=…=xn-xn-1=常数,则小车做匀变速运动。

(2)由Δx=aT2可得出a1=,a2=,a3=,则a=求小车加速度。

3.瞬时速度的计算和记录

由于各计数点之间的时间间隔比较短,可以利用包含某计数点在内的平均速度代表该计数点的瞬时速度,一般运用v1=,v2=,v3=,…vn=计算,然后将对应的时刻和瞬时速度填入设计的表格中。

4.图像法分析数据

(1)建坐标系

①以速度v为纵轴、时间t为横轴建立直角坐标系。

②定标度、描点:坐标轴的标度选取要合理,并根据表格中的数据在坐标系中描点。

(2)连线:通过所描的点作图线,让这条图线通过尽可能多的点,不在线上的点大致均匀分布在图线的两侧。如图所示。

5.实验结论

若所作v-t图像是一条倾斜的直线,那么图线斜率不变,小车加速度恒定不变,求出直线斜率即为小车的加速度。

[示例] 某同学用如图甲所示的实验装置测量匀变速直线运动的加速度。

实验步骤如下:

A.安装好实验器材

B.让小车拖着纸带运动,打点计时器在纸带上打下一系列小点,重复几次,选出一条点迹比较清晰的纸带,从便于测量的点开始,每五个点取一个计数点,如图乙中a,b,c,d,e等点

C.测出x1,x2,x3,…

(1)如果小车做匀加速运动,所得纸带如图乙所示,则x1,x2,x3的关系是　　　　,已知打点计时器打点的时间间隔是t,则打c点时小车的速度大小是　　　　。 

(2)如果小车做匀加速直线运动,测出前六段相等时间内的位移分别为x1,x2,x3,x4,x5,x6,已知打点计时器打点的时间间隔是t,则小车的加速度a的表达式为 a=　　　　。 

解析:(1)如果小车做匀加速直线运动,则连续相等时间内的位移之差为恒量,故x2-x1=x3-x2;根据匀变速直线运动某段时间中间时刻的瞬时速度等于这段时间内的平均速度vn=,故vc=。

(2)根据x4-x1=x5-x2=x6-x3=3aT2(T为相邻两计数点之间的时间间隔,且T=5t),

求出a1=,a2=,a3=,

则a==。

答案:(1)x2-x1=x3-x2　　

(2)

航母舰载机的起飞

　　拥有航空母舰是大国地位的标志,是赢取战争的胜利或抑制战争发生的重要利器,航母舰载机是航母的标配。航母舰载机的起飞一般有三种方式:滑跃式、弹射式和垂直式。弹射起飞需要在航母上安装弹射器,我国国产航母将安装电磁弹射器,其工作原理与电磁炮类似。用强迫储能器代替常规电源,它能在极短时间内释放所储存的电能;由弹射器使飞机获得足够的速度,从而实现短距离起飞,舰载机的起飞速度约为300 km/h(约83 m/s)。

[示例] 某航空母舰用于舰载机起飞的水平路设为200 m,飞机离舰速度为80 m/s,飞机起飞运动看作匀变速直线运动。

(1)若舰载机为滑跃起飞,航母处于静态,则飞机起飞加速度多大?

(2)若(1)中的航母以15 m/s速度行驶,且飞机沿行驶方向起飞,飞机滑跑距离是多少?

(3)若航母采用电磁弹射起飞方式,弹射加速度为 80 m/s2,航母处于静态,弹射轨道多长?

解析:(1)由-=2ax,得a===16 m/s2。

(2)由-=2ax,得x===193 m。

(3)根据关系式-=2ax,得x′===40 m。

答案:(1)16 m/s2　(2)193 m　(3)40 m

课时作业·巩固提升

基础巩固

1.如图所示,一辆正以8 m/s的速度沿直线行驶的汽车,突然以1 m/s2的加速度匀加速行驶,则汽车行驶了18 m时的速度为(　C　)

A.8 m/s B.12 m/s 

C.10 m/s D.14 m/s

解析:根据关系式-=2ax及v0=8 m/s,a=1 m/s2,x=18 m,可求出vt= 10 m/s,选项C 正确。

2.汽车刹车后做匀减速直线运动,经过3 s停止运动,那么汽车在先后连续相等的三个1 s内通过的位移之比x1∶x2∶x3为(　B　)

A.1∶2∶3 B.5∶3∶1

C.1∶4∶9 D.3∶2∶1

解析:根据初速度为零的匀加速直线运动的特点,从开始运动在三个连续1 s内的位移之比为1∶3∶5。由逆向思维知刹车过程在连续相等的三个1 s内的位移之比为 5∶3∶1,选项B正确。

3.如图所示为运行的高速铁路客运列车,假设观察者站在列车第一节车厢前端一侧,列车由静止开始做匀加速直线运动,测得第一节车厢通过他用了5 s,列车全部通过他共用25 s,问这列车一共由几节车厢组成(车厢等长且不计车厢间距离)(　A　)

A.25节 B.20节 C.16节 D.5节

解析:设列车第一节车厢的长度为L,总长度为nL,则由题意知L=a,nL=a;两式相比得n===25节,故选A。

4.如图所示,一列长为L的火车沿平直轨道匀加速地驶过长为L的水平桥,车头过桥头A时的速度是v1,车头过桥尾B时的速度是v2,则车尾通过桥尾时的速度为(　D　)

A.v2       B.2v2-v1

C. D.

解析:火车车头从桥头到桥尾运动的过程中,-= 2ax,得-=2aL,

从火车车头通过桥头到火车车尾通过桥尾的过程中,有 -= 2a·2L可解得vt=,选项D正确。

5.如图所示,一小车从A点由静止开始做匀加速直线运动,若到达B点时速度为v,到达C点时速度为2v,则xAB∶xBC等于(　C　)

A.1∶1 B.1∶2 C.1∶3 D.1∶4

解析:画出运动示意图,由v2-=2ax得xAB=,xBC=,故xAB∶xBC=1∶3,选项C正确。

6.一颗子弹垂直射向并排靠在一起且固定的三块等厚的木板,射穿最后一块时速度恰好减为零,若子弹匀变速通过这三块木板,它通过这三块木板所用时间之比为(　D　)

A.1∶1∶1 B.1∶2∶3

C.1∶∶ D.(-)∶(-1)∶1

解析:子弹依次射入每块木板做匀减速直线运动到零,采取逆向思维,将子弹的运动看作沿相反方向的初速度为零的匀加速直线运动,则在通过连续相等位移内的时间之比为1∶(-1)∶(-),反过来,子弹依次射入每块木板的时间之比为t1∶t2∶t3=(-)∶(-1)∶1,故D正确。

7.一辆汽车做匀减速直线运动,初速度为10 m/s,经过时间4 s,速度减小到 2 m/s。求:

(1)汽车运动的加速度大小;

(2)6 s内的位移大小;

(3)6 s末的速度大小。

解析:(1)根据公式vt=v0+at,

代入数据得a=-2 m/s2;大小为2 m/s2。

(2)刹车时间t==5 s,

由于汽车5 s已停,由-=2ax得x==25 m。

(3)6 s末汽车已停止运动,因此速度为0。

答案:(1)2 m/s2　(2)25 m　(3)0

8.如图所示,物体以7 m/s的速度自斜面底端A点滑上光滑斜面做匀减速直线运动,途经斜面中点C,到达斜面最高点B.已知vA∶vC=7∶5,从C点到B点历时2 s,试求:

(1)物体到达斜面最高点B时的速度大小;

(2)斜面的长度。

解析:(1)根据匀变速直线运动的速度-位移公式知

-=2a·,

-=2a·,

则-=-,

因为vA=7 m/s,vA∶vC=7∶5,则vC=5 m/s,

解得vB=1 m/s。

(2)根据速度-时间公式v=v0+at得加速度a===-2 m/s2,

由速度-位移公式v2-=2ax可得斜面的长度

L===12 m。

答案:(1)1 m/s　(2)12 m

能力提升

1.(多选)斜面的长度为L,一物体自斜面顶端由静止开始匀加速滑至底端时的速度为v,则下列说法正确的是(　BD　)

A.物体从顶端到底端所用时间为

B.物体运动全过程中的加速度是

C.物体运动到斜面中点时瞬时速度是

D.物体从顶点运动到斜面中点所需的时间是

解析:物体初速度为0,下滑过程中有v2=2aL,v=at,可解得t=,a=;设物体到达斜面中点时的速度为v中,有=2a·,则v中=v;物体从顶点运动到斜面中点所需的时间t==,选项B,D正确。

2.(多选)一个做匀加速直线运动的物体,先后经过A,B两点的速度分别是v和7v,经过AB的时间是t,则下列判断中正确的是(　BCD　)

A.经过AB中点的速度是4v

B.经过AB中间时刻的速度是4v

C.前时间通过的位移比后时间通过的位移少1.5vt

D.前一半位移所需时间是后一半位移所需时间的2倍

解析:设物体经AB中点的速度为,根据-=2ax得-v2= 2a·,(7v)2-=2a·,解得=5v,故A错误;经过A,B过程的中间时刻,其瞬时速度等于这段时间的平均速度,即为===4v,故B正确;前时间通过的位移x1=×=vt,后时间通过的位移x2= ×=vt,所以x2-x1=1.5vt,故C正确;前一半位移的平均速度==3v,所需时间t1==,后一半位移的平均速度′==6v,所需时间t2==,所以=2,故D 正确。

3.(多选)如图所示,一冰壶以速度v垂直进入两个矩形区域做匀减速运动,且刚要离开第二个矩形区域时速度恰好为零,则冰壶依次进入每个矩形区域时的速度之比和穿过每个矩形区域所用的时间之比分别是(设冰壶可看成质点)(　BD　)

A.v1∶v2=2∶1 B.v1∶v2=∶1

C.t1∶t2=1∶ D.t1∶t2=(-1)∶1

解析:初速度为零的匀加速直线运动中连续两段相等位移所用的时间之比为1∶(-1),故所求时间之比为(-1)∶1,所以C错误,D正确;由vt=at可得初速度为零的匀加速直线运动中的速度之比为1∶,则所求的速度之比为∶1,故A错误,B正确。

4.一辆高铁出站一段时间后,在长度为L(远大于列车总长)的某平直区间提速过程中其速度平方与位移的关系如图所示。L、b1,b2均已知,则列车通过该区间时,由图可知(　B　)

A.加速度逐渐增大   B.加速度保持不变

C.加速度先增大后减小 D.不可求出通过时间

解析:设列车的初速度为v0,末速度为v,加速度大小为a,则由速度-位移关系v2-=2ax可得v2=2ax+,结合图像可得,图像的斜率表示2a,图像为倾斜直线,故加速度不变,故B正确,A,C错误;由题意,L、b1,b2均已知,则加速度a=,根据v=v0+at可知t=,可以求出通过时间,故D错误。

5.汽车在平直公路上做刹车试验,若从t=0时起汽车在运动过程中的位移与速度的二次方之间的关系如图所示,下列说法正确的是(　B　)

A.从图像中可以看出,t=0时汽车位于距坐标原点10 m 处

B.刹车过程持续的时间为2 s

C.刹车过程前3 s内汽车的位移为7.5 m

D.刹车过程汽车的加速度大小为10 m/s2

解析:根据-=2ax得x=-,开始刹车时,有vt=v0,则x=0,即t=0时汽车位于坐标原点处,故A错误;由于图线斜率k==-,则刹车过程中加速度a=-5 m/s2,x=0时,有=,而=100 m2/s2,则汽车的初速度为10 m/s,则刹车过程持续的时间t==2 s,故B正确,D错误;刹车用时为2 s,3 s内的位移即为全程位移,则x==10 m,故C错误。

6.20世纪50年代,防抱死制动系统(ABS)开始应用于飞机和火车。现在,ABS已广泛应用于民用汽车,一实验小组做了某型民用汽车在有、无ABS的情况下“60～0 km/h全力制动刹车距离测试”,测试结果如图所示,由图推断,两种情况下汽车的平均加速度之比a有∶a无为(　B　)

A.3∶4 B.4∶3

C.∶2 D.2∶

解析:汽车刹车为匀减速直线运动,根据-=2ax,有=+2ax,可知v2x图像为直线,两次实验对应的v2x图像如图所示,斜率k==2a,可知a∝,结合图像可得a有∶a无=20∶15=4∶3,故B正确。

7.斜面长度为4 m,一个尺寸可以忽略不计的滑块以不同的初速度v0从斜面顶端沿斜面下滑时,其下滑位移x与初速度二次方的关系图像(即 x 图像)如图所示。

(1)求滑块下滑的加速度大小;

(2)若滑块下滑的初速度为5.0 m/s,则滑块沿斜面下滑的时间为

多长?

解析:(1)由题意可知,滑块沿斜面匀减速下滑,末速度为0,根据速度与位移关系式得=-2ax,其x的图线斜率k=-,解得a=-2 m/s2,所以滑块下滑的加速度大小为2 m/s2。

(2)滑块下滑过程中,速度与位移的关系式为=4x。当v0=5 m/s时,则x=m>4 m。即物块滑离斜面,根据位移公式x=v0t+at2代入数据解得t=1 s或t=4 s(舍去)。

答案:(1)2 m/s2　(2)1 s

8.摩托车先由静止开始以 m/s2的加速度做匀加速运动,之后以最大行驶速度 25 m/s 做匀速运动,追赶前方以 15 m/s的速度同向匀速行驶的卡车。已知摩托车开始运动时与卡车的距离为1 000 m,求:

(1)追上卡车前两车相隔的最大距离是多少;

(2)摩托车经过多少时间才能追上卡车。

解析:(1)由题意得,摩托车做匀加速运动的时间t1==16 s。

位移x1==200 m<1 000 m,

所以摩托车在达到最大速度之前没有追上卡车,则两车速度相等时间距最大。

设从开始经过t2时间速度相等,最大间距为xm,

有at2=v,

所以t2==9.6 s,

最大间距xm=x0+v·t2-a=1 000 m+15 m/s×9.6 s-× m/s2×

(9.6 s)2=1 072 m。

(2)设从开始经过t时间摩托车追上卡车,则有x1+vm(t-t1)=x0+v·t,

代入数值解得t=120 s。

答案:(1)1 072 m　(2)120 s