人教A版 (2019)必修 第二册9.2 用样本估计总体教案

《9.2.1 总体取值规律的估计》

 教学设计

本小节内容选自《普通高中数学必修第二册》人教A版（2019）第九章《统计》的第二节《用样本估计总体》。以下是本节的课时安排：

因为学生初中阶段已经学习了一些统计知识,根据先行组织者理论，引导学生充分挖掘原有知识与新知识的关联，为新知识的学习提供借鉴. 构建本节课的研究蓝图，体现新知识都是在原有知识上的建构.

1.掌握频率分布表的作法以及频率分布直方图的画法，培养数学抽象的核心素养；

2. 掌握用频率分布直方图估计总体，培养数据分析的核心素养；

3.能根据频率分布表和频率分布直方图观测数据的分布规律，培养数据分析的核心素养。

1.重点：列频率分布表，画频率分布直方图

2.难点：根据频率分布表和频率分布直方图观测数据的分布规律

（一）新知导入

下面按时间顺序(从1789年的华盛顿到2017年的特朗普，共45任)给出了历届美国总统就任时的年龄：57，61，57，57，58，57，61，54，68，51，49，64，50，48，65，52，56，46，54，49，51，47，55，55，54，42，51，56，55，51，54，51，60，62，43，55，56，61，52，69，64，46，54，48，70.

问题　你能很容易地看出这些数据有什么规律吗？若不能，对这些数据如何处理才可以？

提示　不能.应对这些数据进行整理，用统计图表表示出来才容易看出其规律.

（二）总体取值规律的估计

知识点一  画频率分布直方图的步骤

(1)求极差：极差是一组数据中最大值与最小值的差；

(2)决定组距与组数：当样本容量不超过100时，常分成5～12组，为了方便起见，一般取等长组距，并且组距应力求“取整”．

(3)将数据分组．

(4)列频率分布表：一般分四列：分组、频数累计、频数、频率．其中频数合计应是样本容量，频率合计是1.

(5)画频率分布直方图：横轴表示分组，纵轴表示.小长方形的面积＝组距×＝频率．各小长方形的面积和等于1.

【探究1】为什么要对样本数据进行分组？

【提示】　不分组很难看出样本中的数字所包含的信息，分组后，计算出频率，从而估计总体的分布特征.

【探究2】频数分布表与频率分布直方图有什么不同？

【提示】　频数分布表能使我们清楚地知道数据分布在各个小组的个数，而频率分布直方图则是从各个小组数据在样本容量中所占比例大小的角度来表示数据分布的规律.

知识点二  其它统计图表

【思考】除了频率分布直方图，初中我们还学习了哪些图表呢？

【提示】　还学习了条形图、扇形图、折线图、频数分布直方图等．

【辩一辩】判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

1.频率分布直方图中小长方形的高表示该组上的个体在样本中出现的频率与组距的比值.(√)

2.频率分布直方图中小矩形的面积表示该组的个体数.(×)

3.扇形统计图表示的是比例，条形统计图不表示比例.(×)

（三）典型例题

1.画频率分布直方图

例1.　从某校高三学生中抽取50名参加数学竞赛，成绩分组(单位：分)及各组的频数如下：

[40，50)，2；[50, 60)，3；[60, 70), 10；[70, 80), 15；[80，90)，12；[90，100]，8.

(1)列出样本的频率分布表(含累积频率)；

(2)画出频率分布直方图；

解：(1)频率分布表如下：

(2)频率分布直方图如图所示.

【类题通法】绘制频率分布直方图的注意点

(1)各组频率的和等于1，因此，各小矩形的面积的和也等于1；

(2)频率分布直方图比频率分布表更直观、形象地反映了样本的分布规律；

(3)在xOy坐标平面内画频率分布直方图时，x＝样本数据，y＝，这样每一组的频率可以用该组的组距为底、为高的小矩形的面积来表示.其中，矩形的高＝＝×频数；

(4)同样一组数据，如果组距不同，横轴、纵轴单位不同，得到的频率分布直方图的形状也会不同；

(5)同一个总体，由于抽样的随机性，如果随机抽取另外一个相同容量的样本，所形成的样本频率分布直方图一般会与前一个样本频率分布直方图有所不同，但它们都可以近似地看做总体的分布.

【巩固练习1】调查某校高一年级男生的身高，随机抽取40名高一男生，实测身高数据(单位：cm)如下：

171 163 163 166 166 168 168 160 168 165 171 169 167 169 151 168 170 168 160 174 165 168 174 158 167 156 157 164 169 180 176 157 162 161 158 164 163 163 167 161

(1)作出频率分布表；

(2)画出频率分布直方图．

解：(1)最低身高151 cm，最高身高180 cm，它们的差是180－151＝29，即极差为29；

确定组距为4，组数为8，频率分布表如下:

(2)频率分布直方图如下．

2.频率分布直方图的应用

例2.为了了解高一年级学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图所示)，图中从左到右各小矩形的面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组的频数为12.

(1)第二小组的频率是多少？样本容量是多少？

(2)若次数在110以上(含110次)为达标，则该校全体高一年级学生的达标率是多少？

解：(1)频率分布直方图是以面积的形式反映了数据落在各小组内的频率大小的，因此第二小组的频率为＝0.08.

又因为第二小组的频率＝，

所以样本容量＝＝＝150.

(2)由频率分布直方图可估计该校高一年级学生的达标率为×100%＝88%.

【变式1】　(变结论)在例2条件下，试求样本中不达标的学生人数.

解：样本的达标率为88%，样本容量为150，不达标的学生频率为1－0.88＝0.12.所以样本中不达标的学生人数为150×0.12＝18(人).

【变式2】　(变结论)在例2条件下，试求次数在130以上(含130次)的学生人数.

解：次数在130以上(含130次)的学生人数为：×150＝36.

【类题通法】解决与频率分布直方图有关问题的关系式

由频率分布直方图进行相关计算时，需掌握下列关系式：

(1)×组距＝频率.

(2)＝频率，此关系式的变形为：样本容量×频率＝频数.

【巩固练习2】某校100名学生期中考试语文成绩(单位：分)的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100].

(1)求图中a的值；

(2)若这100名学生的语文成绩在某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的人数(y)之比如下表所示，求数学成绩在[50，90)之外的人数.

解：(1)依题意得，10×(2a＋0.02＋0.03＋0.04)＝1，解得a＝0.005.

(2)数学成绩在[50，60)之间的人数为100×0.05＝5，数学成绩在[60，70)之间的人数为100×0.4×＝20，数学成绩在[70，80)之间的人数为100×0.3×＝40，数学成绩在[80，90)之间的人数为100×0.2×＝25，所以数学成绩在[50，90)之外的人数为100－5－20－40－25＝10.

3.条形图、折线图、扇形图的应用

例3.如图是根据某市3月1日至3月10日的最低气温(单位：℃)的情况绘制的折线统计图，试根据折线统计图反映的信息，绘制该市3月1日到10日最低气温(单位：℃)的扇形统计图和条形统计图.

解：该城市3月1日至10日的最低气温(单位：℃)情况如下表：

其中最低气温为－3 ℃的有1天，占10%，最低气温为－2 ℃的有1天，占10%，最低气温为－1 ℃的有2天，占20%，最低气温为0 ℃的有2天，占20%，最低气温为1 ℃的有1天，占10%，最低气温为2 ℃的有3天，占30%，扇形统计图如图所示.

条形统计图如下图所示：

【类题通法】1.条形图是用一个单位长度表示一定的数量或频率，根据数量的多少或频率的大小画成长短不同的矩形条，条形图能清楚地表示出每个项目的具体数目或频率.

2.扇形图是用整个圆面积表示总数(100%)，用圆内的扇形面积表示各个部分所占总数的百分数.

3.在画折线图时，要注意明确横轴、纵轴的实际含义.

【巩固练习3】某厂生产一种产品，图①是该厂第一季度三个月产量的统计图，图②是这三个月的产量与第一季度总产量的比例分布统计图，统计员在制作图①，图②时漏填了部分数据．根据上述信息，回答下列问题：

(1)该厂第一季度________月的产量最高．

(2)该厂一月份产量占第一季度总产量的________%.

(3)该厂质检科从第一季度的产品中随机抽样，抽检结果发现样品的合格率为98%.请你估计：该厂第一季度大约生产了多少件合格的产品？(写出解答过程)

解析：(1)由条形图可知，三月的产量最高．

(2)该厂一月份产量占第一季度总产量的1－38%－32%＝30%.

(3)该厂共生产(1 900÷38%)＝5 000件产品．

因为合格率为98%，所以合格产品有5 000×98%＝4 900.

答案：(1)三　(2)30%　

（四）操作演练  素养提升

1.200辆汽车经过某一雷达地区，时速的频率分布直方图如图所示，则时速超过60 km/h(含60 km/h)的汽车数量为(　　)

A.65辆   B.76辆   C.88辆   D.95辆

2.将容量为n的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图，若第一组至第六组的频率之比为2∶3∶4∶6∶4∶1，且前三组数据的频数之和等于27，则n＝________.

3.如图是甲、乙、丙、丁四组人数的扇形统计图的部分结果，根据扇形统计图的情况可以知道丙、丁两组人数和为(　　)

A.250 B.150 C.400 D.300

4.甲、乙两个城市2018年4月中旬每天的最高气温统计图如图所示，则这9天里，气温比较稳定的是________城市(填“甲”“乙”).

答案：1.B      2.60      3.A     4.甲

【设计意图】通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。

（五）课堂小结，反思感悟

 1.知识总结：

2.学生反思：

（1）通过这节课，你学到了什么知识？

（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？

【设计意图】

通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。

完成教材：第197页  练习     第1，2,3题

          第201页  练习     第1，2题

          第214页   习题9.2  第1题