初中人教版21.1 一元二次方程教案设计

这是一份初中人教版21.1 一元二次方程教案设计，共8页。教案主要包含了教学内容解析，教学目标与解析，教学重点，教法与学法分析，教师准备，教学过程设计等内容，欢迎下载使用。

《一元二次方程》
——教学设计
人教版数学九年级上册
第二十一章 一元二次方程
21.1 一元二次方程教学设计
一、教学内容解析
1.内容
一元二次方程概念及一元二次方程一般式及有关概念．
2.内容解析
本节课是概念课也是一元二次方程的起始课，它承载着学习方法、研究思路的引领作用.从教材的整体进行分析，方程问题始终以实际问题引入概念的，这样的设计：既分散列方程解决实际问题的教学难点，又使学生认识引入一元二次方程概念的现实必要性，同时循序渐进地培养学生从实际问题中抽象方程模型的能力.
本节以实际问题为背景，建立数学模型，列出一元二次方程，引导学生观察这些方程的共同特点，并类比一元一次方程，归纳得出一元二次方程的概念，体现了研究代数学问题的一般方法；一元二次方程一般形式也是对具体方程从“元”（未知数的个数）、“次数”和“项数”等角度进行归纳的结果．这样编排有利于学生理解并接收新知识，有充分地反映出一元二次方程以及有关概念来源于现实世界，是刻画现实世界的一个有效数学模型.
学情分析
学生在七年级和八年级已经学习了整式、分式、二次根式、一元一次方程、二元一次方程（组）、分式方程，在此基础上本节课将从实际问题入手，抽象出一元二次方程的概念及一元二次方程的一般形式.
本班为自己任课的班级，平时对学生比较了解，在解决具体问题的时候可以兼顾不同能力的学生，充分调动学生的积极性，在练习题的设计上要针对学生的差异采取分层设计的方法。该班学生在平时训练中已经形成了良好的合作精神和合作气氛，可以充分发挥合作的优势，注重课堂教学的有效性。
三、教学目标与解析
1.教学目标
知识技能：1. 理解一元二次方程的概念；
2. 掌握一元二次方程的一般形式，并能将一元二次方程转化为一般形式，确定出二次项系数、一次项系数和常数项；
3.理解一元二次方程的根的意义，能够运用代入法检验根的正确性．
数学思考：在把实际问题转化为一元二次方程模型的过程中，体会学习一元二次方程的必要性和重要性．
问题解决：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移得到一元二次方程的概念．
情感态度：通过用数学知识解决实际问题的思想激发学生的学习热情和积极性．
2.目标解析
（1）通过建立一元方程解决相关的实际问题，让学生体会到未知数相乘导致方程的次数升高，继而产生一元二次方程．学生能了解一元二次方程存在的实际背景，感受一元二次方程是重要的数学模型，培养学生分析问题和解决问题的能力及用数学思维的意识.
（2）将不同形式的一元二次方程统一为一般形式，让学生从数学符号的角度，完善一元二次方程的概念．学生能够将一元二次方程整理成一般形式，准确的说出方程的各项系数．
（3）会判断一个数是否是一元二次方程的根.
四、教学重点、难点
重点：能建立一元二次方程模型，把一元二次方程整理成一般形式.
难点： 把实际问题转化为一元二次方程的模型.
五、教法与学法分析
教法:在教学中,教师通过“问题情境——建立模型—一问题解决——反思拓展”的教学环节，让学生经历探究及数学建模的全过程,使学生能够抓住问题的本质,正确、熟练地运用一元二次方程解决实际问题,领会数学建模的思想和方法,提高数学的应用意识和应用数学知识解决实际问题的能力.
学法:学生通过讨论,总结归纳本课的知识内容.
六、教师准备：制作课件，精选习题
七、教学过程设计

教学步骤
师生活动
设计意图
回顾
课件展示：
教师引导学生完成下列题目，复习一元一次方程的相关知识：
一元一次方程的知识：
1.一元一次方程中的“一元”是指 1个未知数 ，“一次”是指 未知数的次数是1 ，一元一次方程左右两边都是 整式 的形式.
2.一元一次方程的一般形式是 ax＋b＝0(a，b是常数，且a≠0) ．若关于x的方程(m＋1)x|m|＋1＝0是一元一次方程，则m＝____1____.
3.什么是一元一次方程的解？如何判断一个数是不是一元一次方程的解？若已知x＝1是方程ax＋3＝0的解，则a＝ －3 ．
通过回顾一元一次方程及其解的概念，理解“元”和“次”的含义，有助于学生类比得到一元二次方程的概念，理解一元二次方程根的定义，从而充满探究的欲望和浓厚的兴趣.
活动
一：
创设
情境
导入
新课
【课堂引入】
问题1：有一块矩形铁皮，长100 cm，宽50 cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为3600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？
问题2：要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参加比赛？
学生先自主探究、分析，再在小组内合作讨论，设出合适的未知数，根据等量关系列出方程．若学生感觉困难，教师做如下引导．
问题1 等量关系：__底面的长×宽＝底面积__，
若设切去的正方形的边长是x cm，则有方程__(100－2x)(50－2x)＝3600_．整理得__4x2－300x＋1400＝0__.
问题2 教师可举例，由特殊到一般，帮助学生理解题意.
设邀请x个队参赛，每个队要与其他 (x－1) 个队各赛一场，因为甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛共场，于是得到方程，整理得
由实际问题入手，设计情景问题，激发学生的兴趣，吸引学生的眼球，学生通过讨论、合作探究，初步感受一元二次方程的模型.
活动
二：
实践
探究
交流
新知
探究交流
观察[课堂引入]中所列的方程，分析以上两个方程是不是一元二次方程，它们与一元一次方程有什么区别与联系.
学生观察、思考、讨论、交流、汇报.
教师重点引导学生观察得到所列方程的特点：①整式；②一元；③二次.
引入课题(板书)：一元二次方程.
2.归纳定义
问题：根据找出的一元二次方程的特征，你能给一元二次方程下个定义吗？
教师引导学生结合所列方程的三个特征及一元二次方程的名称，类比一元一次方程的定义，得出一元二次方程的定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程.
教师板书：整式；一元；二次.
课件展示：
(试一试)抢答：下列各方程是不是一元二次方程：
①3x＋2＝5x－2；②2x2－2x＝0；③x2＝0；④eq \f(1,x2)－eq \f(2,x)＝0；
⑤3y2＝(3y＋1)(y－2)；⑥ax2＋bx＋c＝0；⑦3x2＝5x－1；
⑧(x＋3)(2x－4)＝0.
一元二次方程必须同时满足以下3个条件：
板书： （1）只含有一个未知数。
（2）未知数的最高次数是2。→针对化简后的结果
（3）是整式方程。→是指原方程中等号两边都是整式
3.相关概念
问题1：类比一元一次方程的一般形式，你能写出一元二次方程的一般形式，并说出各项的名称吗？
师生共同小结(板书)：
一元二次方程的一般形式是ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项.
注意: 二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号.
追问条件，由一般式得出特殊式
（1）为什么a≠0？b和c能等于0吗？
（2）特殊式：ax2+bx=0,ax2+c=0
课件展示：
(试一试)抢答：指出下列各方程的二次项、一次项和常数项.
①3x2＋2x－1＝0； ②2x2＝3； ③eq \f(x－3x2,2)＝0.
问题2：类比一元一次方程的解的定义，你能给一元二次方程的根下定义吗？
师生共同小结(板书)：
一元二次方程的根：
使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.
课件展示：(试一试)下列哪些数是方程x2＋x－12＝0的根？
－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4.
由于学生已经熟练掌握了一元一次方程的概念,所以从未知数的个数及最高次数提问,引导学生归纳出共同点是符合学生的认知基础的.
本环节为学生提供了多次活动,学生自主观察、比较、归纳是活动有效性的保证,让学生进行充分的探索和交流.同时,在概念教学中类比是帮助学生正确理解新概念的有效方法.
由学生以抢答的形式来完成练习，并让学生纠错，目的在于巩固学生对一元二次方程相关概念的理解.
活动
三：
开放
训练
体现
应用
【应用举例】
例1 将方程3x(x－1)＝5(x＋2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项.
变式练习：将方程(8－2x)(5－2x)＝18化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项.
例2 已知关于x的方程x2－2x＋k2＝0的一个根是1，那么k的值 .
变式练习：已知关于x的一元二次方程x2＋ax＋b＝0有一个非零根－b，则a－b的值为________.
课件展示(根据上课具体情况选用)．
加深对一元二次方程一般形式的理解，同时为以后学习方程的解法打下基础.
2.进一步巩固方程的根的含义，学会应用方程的根解决问题.
【拓展提升】
例3 已知关于x的方程(2a－4)x2－2x＋a＝0，在什么条件下，此方程为一元一次方程？在什么条件下，此方程为一元二次方程？
例4 已知关于x的一元二次方程(a－1)x2＋x＋a2－1＝0的一个根是0，求a的值.
例5 求证：关于x的方程(m2－8m＋17)x2＋2mx＋1＝0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程.
学生自主思考，教师做好指导，最后由个别学生进行课堂解答，教师给予评价和辅导．教师指出解答问题的易错点和方法应用．
通过练习，可巩固和加深对新知的理解，培养学生严谨的数学思维以及灵活应用所学知识解决数学问题的能力.
活动
四：
课堂
总结
反思
【达标测评】
1.若方程mx2－2x＋m＝0是关于x的一元二次方程，则( C )
A.m为任意实数 B．m＝0 C.m≠0 D．m＝0或m＝1
2.下列方程中，不含一次项的是(D)
A.3x2－5＝2x B．16x＝x2 C.x(x－7)＝0 D．(x＋5)(x－5)＝0
3.若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，则a＋b＋c＝ 0 ；若a－b＋c＝0，则方程必有一根为－1 .
4.一元二次方程2x2＝1－4x的二次项系数、一次项系数和常数项之和为 5 .
5.若关于x的方程(k－1)x|k|－1－x－2＝0是一元二次方程，求k的值.
学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．
利用典型的练习题进一步巩固所学新知，同时检测学习效果，做到“堂堂清”.

【反思小结，观点提炼】
1.体会数学建模的思想方法.
2.一元二次方程及其一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)和二次项、二次项系数,一次项、一次项系数,常数项的概念.
3.一元二次方程的一般形式为ax2＋bx＋c＝0(a≠0).强调“a≠0”这个条件的重要意义.
4.使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解,一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.
师生活动:学生总结,教师点评.
【布置作业】
(1)必做题：教材第4页习题21.1第1，2，6题.
(2)选做题：教材第4页习题21.1第4，5，7题.
(3)拔高题：若方程x2m＋n＋xm－n＋3＝0是关于x的一元二次方程，求m，n的值．
引导学生回顾自己的学习过程,畅所谷加强反思、提炼,帮助学生全面理解、掌握所学的知识,学生自主归纳的能力.
及时作业是巩固课堂学习知识的重要环书,
分层作业的设置，体现了作业的巩固性和发展性原则，尊重学生的个体差异，满足多样化的学习需要.
【板书设计】
21.1一元二次方程
一元二次方程的概念
一元二次方程的三个条件：
（1）只含有一个未知数.
（2）未知数的最高次数是2.→针对化简后的结果
（3）是整式方程.→是指原方程中等号两边都是整式
2.一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）
3. 一次项、二次项、常数项、一次项系数、二次项系数.
4.一元二次方程的根.
例题
学生板演区
【课后反思】
本节课是九年级数学第二十一章的第一节，主要介绍一元二次方程的概念及一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）的概念，是典型的概念课。强调自主学习，注重合作交流，让学生与学生的合作交流在探究过程中进行，使他们在自主探索的过程中理解和掌握一元二次方程的概念及一般形式，并获得数学活动的经验，提高探究、发现和创新的能力。一元二次方程是学生学习了一元一次方程和二元一次方程组之后所接触的第三类方程，所以对于的它的概念，学生根据它的名称就能很容易知道。这里我通过两个实际问题，让学生经历了一元二次方程的产生过程，之后让学生来归纳出一元二次方程的三个特点①只有一个未知数；②未知数的最高次数是2次③方程两边都是整式。那么针对一元二次方程概念的理解，先由简单的练习再到稍难的问题，循序渐进，让学生在学习过程中有一个缓冲。
本节的第二个知识点就是一元二次方程的一般形式，学生在理解起来是比较容易的，但在练习中也会有不少学生会把二次项和一次项位置写反掉，或是在写系数时没有带上符号。
引导学生观察、类比、联想已学的一元一次方程、二元一次方程，归纳、总结出一元二次方程，让学生充分感受知识的产生和发展过程，使学生始终处于积极的思维状态之中，合理选材，优化教学，在教学中，忠实于教材，要研究的基础上使用教材。教学方法合理化，不拘于形式，通过一系列的活动来展开教学，培养学生的思维能力，增强了学生思考的习惯，增强了学生运用数学知识解决实际问题的能力。
为了真正做到有效的合作学习，我在活动中大胆地让学生自主完成，先让学生把问题提出来，然后让学生带着问题去讨论，这样学生在讨论时就有目的，就会事半功倍。也让不同层次的学生得到不同的了展，作业的布置上，我注意分层次教学，让每一个学生都得到不同的发展。