人教A版高中数学必修第一册第四章指数函数与对数函数学案

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4.3.2　对数的运算1.对数的运算性质[问题1-1] 设am=2,an=3,如何求m+n?提示:因为am=2,an=3,所以m=loga2,n=loga3,因此m+n=loga2+loga3;或者因为am·an=am+n=2×3,所以m+n=loga(2×3).[问题1-2] 设am=M,an=N,如何求m+n?提示:因为am=M,an=N,所以m=logaM,n=logaN,因此m+n=logaM+logaN;或者因为am·an=am+n=M·N,所以m+n=loga(M·N).[问题1-3] 通过问题1-1,1-2你能发现什么?提示:loga(M·N)=logaM+logaN.[问题1-4] 你能从指数与对数之间的关系以及指数的运算性质中,得出其他相应对数的运算性质吗?提示:(1)loga=logaM-logaN;(2)logaMn=nlogaM(n∈R).梳理1　对数的运算性质如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,则(1)loga(MN)=logaM+logaN.即两个正因数积的对数等于同一底数的这两个正因数的对数的和.这个性质可推广到若干个正因数的积:loga(N1N2…Nk)=logaN1+logaN2+…+logaNk(Ni>0,i=1,2,3,…,k).即正因数积的对数等于同一底数的各因数对数的和.(2)loga=logaM-logaN.即两个正数商的对数等于同一底数的被除数的对数减去除数的对数.(3)logaMn=nlogaM(n∈R).即正数幂的对数等于幂指数乘同一底数幂的底数的对数.特别地,logaaN=N.2.换底公式及导出公式[问题2] 假设=x,则log25=xlog23,即log25=log23x,从而有3x=5,将其化为对数式得x=log35,若将对数函数的底数2换成c(c>0且c≠1),=log35还成立吗?提示:成立,证明如下:设=x,则logc5=xlogc3,即logc5=logc3x,从而有5=3x,即x=log35,所以log35=(c>0且c≠1).梳理2　换底公式及导出公式(1)换底公式:logab=(a>0, 且a≠1;b>0;c>0,且c≠1).(2)logab=.(3)logaN=loNn.(4)logaN=loNn.1.下列等式成立的是(　C　)(A)log2(8-4)=log28-log24(B)=log2(C)log28=3log22(D)log2(8+4)=log28+log24解析:由对数的运算性质易知C正确,故选C.2.若lg 5=a,lg 7=b,则用a,b表示log75等于(　D　)(A)a+b (B)a-b (C) (D)解析:由换底公式可知log75==.故选D.3.已知2m=5n=10,则+=　　　　. 解析:因为m=log210,n=log510,所以+=lg 2+lg 5=lg 10=1.答案:14.lo45-lo5=　　　　. 解析:lo45-lo5=lo=lo9==4.答案:4　对数运算法则[例1] 计算.(1)(lg 5)2+2lg 2-(lg 2)2;(2);(3)log535-2log5+log57-log51.8.解:(1)原式=(lg 5)2+(2-lg 2)lg 2=(lg 5)2+(1+lg 5)lg 2=(lg 5)2+lg 2·lg 5+lg 2=(lg 5+lg 2)lg 5+lg 2=lg 5+lg 2=1.(2)原式===.(3)原式=log5(5×7)-2(log57-log53)+log57-log5=log55+log57-2log57+2log53+log57-2log53+log55=2log55=2.即时训练1-1:计算:(1)lo27+lg 4+lg 25;(2)lg 5(lg 8+lg 1 000)+(lg )2+lg +lg 0.06.解:(1)原式=lo()6+2lg 2+2lg 5=6+2(lg 2+lg 5)=8.(2)原式=lg 5(3lg 2+3)+3(lg 2)2-lg 6+lg 6-2=3lg 5·lg 2+3lg 5+3(lg 2)2-2=3lg 2(lg 5+lg 2)+3lg 5-2=3lg 2+3lg 5-2=3(lg 2+lg 5)-2=1.(1)利用对数的运算性质进行对数式的化简与计算.一般有两种思路:一是将式中真数的积、商、幂、方根运用对数的运算性质将它们化为对数的和、差、积、商,然后化简求值;二是将式中对数的和、差、积、商逆用对数的运算性质化为真数的积、商、幂、方根,然后化简求值.(2)对数计算问题中,涉及lg 2,lg 5时,常利用lg 2+lg 5=1及lg 2=1-lg 5,lg 5=1-lg 2等解题.　换底公式及其应用探究角度1　用已知对数式表示对数值[例2] 已知log37=a,2b=3,试用a,b表示log1456.解:因为2b=3,所以b=log23,即log32=,log1456=====.[变式训练2-1] 若把本例中条件“2b=3”换为“3b=2”,其他条件不变,用a,b表示log1456.解:因为3b=2,所以b=log32,又因为a=log37,所以log1456====.[变式训练2-2] 本例中a不变,b=log36,试用a,b表示log1456.解:因为log36=log33+log32=b,所以log32=b-1.又因为log37=a,所以log1456==.用已知对数式的值表示不同底数的对数值,首先将待求式用换底公式表示为已知对数式的底数的对数,然后将真数统一为已知对数的真数的乘积的形式.探究角度2　应用换底公式求值[例3] 计算.(1)log1627log8132;(2)(log32+log92)(log43+log83).解:(1)log1627log8132=×=×=×=.(2)(log32+log92)(log43+log83)=(log32+)(+)=(log32+log32)(log23+log23)=log32×log23=××=.即时训练3-1:计算.(1)(log43+log83)·;(2)log23·log34·log45·log56·log67·log78.解:(1)原式=(+)·=·+·=+=.(2)原式=·····===3.(1)换底公式的作用是将不同底数的对数式转化成同底数的对数式,将一般对数转化成自然对数或常用对数来运算.要注意换底公式的正用、逆用及变形应用.(2)当一个题目中同时出现指数式和对数式时,一般需要统一成一种表达形式.　指数与对数的综合应用[例4] (1)设3a=4b=36,求+的值;(2)已知2x=3y=5z,且++=1,求x,y,z.解:(1)法一　由3a=4b=36,得a=log336,b=log436,由换底公式得=log363,=log364,所以+=2log363+log364=log3636=1.法二　由3a=4b=36,两边取以6为底数的对数,得alog63=blog64=log636=2,所以=log63,=log64=log62,所以+=log63+log62=log66=1.(2)令2x=3y=5z=k(k>0),所以x=log2k,y=log3k,z=log5k,所以=logk2,=logk3,=logk5,由++=1,得logk2+logk3+logk5=logk30=1,所以k=30,所以x=log230=1+log215,y=log330=1+log310,z=log530=1+log56.即时训练4-1:设2a=3b=m,且+=1,则m等于(　　)(A)2 (B) (C)3 (D)6解析:因为2a=3b=m,则m>0,且有a=log2m,b=log3m,所以=logm2,=logm3,所以+=logm2+logm3=logm6=1,因此,m=6.故选D.利用对数式与指数式互化求值的方法(1)在对数式、指数式的互化运算中,要注意灵活运用定义、性质和运算法则,尤其要注意条件和结论之间的关系,进行正确的转化.(2)对于连等式可令其等于k(k>0),然后将指数式用对数式表示,再由换底公式可将指数的倒数化为同底的对数,从而使问题得解.[例1] 计算下列各式的值:(1)lg -lg +lg ;(2)lg 52+lg 8+lg 5·lg 20+(lg 2)2;(3).解:(1)法一　原式=(5lg 2-2lg 7)-·lg 2+(2lg 7+lg 5)=lg 2-lg 7-2lg 2+lg 7+lg 5=lg 2+lg 5=(lg 2+lg 5)=lg 10=.法二　原式=lg -lg 4+lg 7=lg =lg(×)=lg =.(2)原式=2lg 5+2lg 2+lg 5(2lg 2+lg 5)+(lg 2)2=2lg 10+(lg 5+lg 2)2=2+(lg 10)2=2+1=3.(3)原式====.[例2] 已知log189=a,18b=5,用a,b表示log3645.解:法一　因为log189=a,18b=5,所以log185=b,于是log3645======.法二　因为log189=a,18b=5,所以log185=b,于是log3645=====.法三　因为log189=a,18b=5,所以lg 9=alg 18,lg 5=blg 18,所以log3645=====.1. log210-log25等于(　B　)(A)0 (B)1 (C)log25 (D)2解析:log210-log25=log2=log22=1.故选B.2.等于(　A　)(A) (B)1 (C) (D)2解析:=×=×=.故选A.3.设2x=5y=m,且+=2,则m=　　　　. 解析:因为2x=5y=m,两边取常用对数.得x=,y=,所以+===2,所以lg m=,所以m=1=.答案:4.lg +lg 的值是　　　　. 解析:lg +lg =lg (×)=lg 10=1.答案:1选题明细表知识点、方法题号对数的运算性质1,2,7,9,11,12对数换底公式及应用3,4,5,8对数运算性质综合6,10,11,13,14基础巩固1.lo4等于(　D　)(A) (B) (C)2 (D)4解析:lo4=lo()4=4.故选D.2.2log510+log50.25等于(　C　)(A)0 (B)1 (C)2 (D)4解析:2log510+log50.25=log5102+log50.25=log5(102×0.25)=log525=2.故选C.3.若log5·log36·log6x=2,则x等于(　D　)(A)9 (B) (C)25 (D)解析:原式=××==2,所以-lg x=2lg 5=lg 52=lg 25,所以x=.故选D.4.已知log89=a,log25=b,则lg 3等于(　C　)(A)    (B)(C) (D)解析:因为log89=a,所以a==,b==,所以lg 2=,所以lg 3=alg 2=×=.故选C.5.计算:log225·log32·log59的结果为　　　　. 解析:原式=××=××=6.答案:66.已知3a=5b=c,若c=3,则25b=　　　　,若+=2,则c=　　　　. 解析:若c=3,则5b=3,所以b=log53,所以25b=2=()2=32=9.因为3a=5b=c,所以a=log3c,b=log5c,所以=,=.由+=2,即+=2.由换底公式可得logc3+logc5=2,所以logc15=2.即c2=15,所以c=.答案:9　能力提升7.若lg a,lg b是方程2x2-4x+1=0的两个根,则(lg )2的值等于(　A　)(A)2 (B) (C)4 (D)解析:由根与系数的关系知所以(lg )2=(lg a-lg b)2=(lg a+lg b)2-4lg a·lg b=22-4×=2.故选A.8.已知2x==A,且+=2,则A的值是(　B　)(A)7      (B)7(C)±7   (D)98解析:因为2x==A,所以x=log2A,2y=log7A,+=+=logA2+2logA7=logA(2×72)=logA98=2,所以A2=98,又A>0,所以A=7.故选B.9.(多选题)下列运算错误的是(　ABC　)(A)2lo10+lo0.25=2(B)log427·log258·log95=(C)lg 2+lg 50=10(D)lo(2-)-=-解析:对于A,2lo10+lo0.25=lo(102×0.25)=lo52=-2,A错误;对于B,log427·log258·log95=··==,B错误;对于C,lg 2+lg 50=lg 100=2,C错误;对于D,lo(2-)-=-1-()2=-,D正确.故选ABC.10.在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m2-m1=lg ,其中星等为mk的星的亮度为Ek(k=1,2).已知太阳的星等是-26.7,天狼星的星等是-1.45,则太阳与天狼星的亮度的比值为(　A　)(A)1010.1    (B)10.1(C)lg 10.1 (D)10-10.1解析:设太阳的星等为m1,天狼星的星等为m2,则太阳与天狼星的亮度分别为E1,E2,由题意知,m1=-26.7,m2=-1.45,由m2-m1=lg ,得lg =-1.45+26.7=25.25.所以lg =25.25×=10.1,所以=1010.1,即太阳与天狼星的亮度的比值为1010.1.故选A.11.方程log5(x+1)-lo(x-3)=1的解为x=　　　　. 解析:log5(x+1)-lo(x-3)=log5(x+1)+log5(x-3)=log5[(x+1)(x-3)]=1,所以解得x=4.因此方程log5(x+1)-lo(x-3)=1的解为x=4.答案:412.计算:log3+lg 25+lg 4+.解:原式=log3+lg (25×4)+2=log3+lg 102+2=-+2+2=.13.已知loga2=m,loga3=n.(1)求a2m-n的值;(2)用m,n表示loga18.解:(1)因为loga2=m,loga3=n,所以am=2,an=3.所以a2m-n=a2m÷an=22÷3=.(2)loga18=loga(2×32)=loga2+loga32=loga2+2loga3=m+2n.应用创新14.对于任意实数x,[x]表示不超过x的最大整数.例如[-1.52]=-2,[2.094]=2,记{x}=x-[x],则{log23}+{log210}-{log215}等于(　D　)(A)-6 (B)-1 (C)1 (D)0解析:因为1<log23<2,3<log210<4,3<log215<4,所以{log23}=log23-1=log2,{log210}=log210-3=log2,{log215}=log215-3=log2,则{log23}+{log210}-{log215}=log2+log2-log2=log2(××)=log21=0.故选D.