初中数学14.3.1 提公因式法优秀练习题

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第26课  提公因式法 知识精讲知识点01  因式分解把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.要点诠释：（1）因式分解只针对多项式，而不是针对单项式，是对这个多项式的整体，而不是部分，因式分解的结果只能是整式的积的形式.（2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止.（3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算.知识点02  公因式多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式.要点诠释：（1）公因式必须是每一项中都含有的因式.（2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式.（3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的. 知识点03  提公因式把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m ，另一个因式是，即，而正好是除以 m 所得的商，这种因式分解的方法叫提公因式法．要点诠释：（1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律，即（2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式.（3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号.（4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是 0 而出现错误              . 能力拓展 考法01   因式分解的概念【典例1】下列由左到右的变形，哪些是因式分解？哪些不是？请说明理由．（1） a(x  y)  ax  ay ；（2） x2  2xy  y2 1  x(x  2 y)  ( y 1)( y 1) ；（3） ax2  4a  a(x  2)(x  2)【解析】【分析】根据因式分解的定义是将多项式形式变成几个整式的积的形式，从对象和结果两方面去判断.【详解】【点睛】因式分解是将多项式变成积的形式，所以等式的左边必须是多项式，将单项式拆成几个单项式乘积的形式不能称为因式分解．等式的右边必须是整式因式积的形式．【即学即练1】下列变形是因式分解的是（ ）【解析】【答案】B 考法02  提公因式法分解因式【典例2】把下列各式分解因式：（1） （2） 【解析】【分析】（1）直接提取公因式 2m（m-﹣n），进而分解因式得出答案；（2）直接提取公因式-﹣4ab，进而分解因式得出答案．【详解】【点睛】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键【即学即练2】下列分解因式结果正确的是（    ）【答案】D【解析】【详解】解：A、原式=b（a 2 +7a+1），错误；B、原式=3y（x 2 ﹣x+2），错误；C、原式=2xy（4z﹣3xy），错误；D、原式=﹣2a（a﹣2b+3c），正确．故选 D． 考法03  提公因式法分解因式的应用【典例3】【解析】【分析】【详解】解：∵ a  bb  a b  a  a c  a  b a  c∴ a  bb  a a  b  a c  a  b c  aa  bb  a  c  aa  b当 a  b 时，等式成立，当 a  b 时，原式变为 a  b  a  c ，得出b  c ，∴ a  b或b  c∴ ABC 是等腰三角形.【点睛】将原式分解因式，就可以得出三边之间的关系，从而判定三角形的类型. 【典例4】对任意自然数 n （ n ＞0）， 2n4   2n 是 30 的倍数，请你判定一下这个说法的正确性，并说说理由.【答案与解析】解： 2n4   2n   2n  24   2n   2n 24  1  15 2n∵ n 为大于 0 的自然数，∴ 2n 为偶数，15× 2n 为 30 的倍数， 即2n4  2n 是 30 的倍数.【点睛】判断2n4  2n 是否为 30 的倍数，只需要把2n4  2n 分解因式，看分解后有没有能够整除 30 的因式.【即学即练3】说明3200  4  3199 10  3198 能被 7 整除.【答案与解析】解： 3200  4  3199 10  3198 3198 32   4  3 10 7  3198所以3200  4  3199 10  3198 能被 7 整除. 【典例5】已知 xy=﹣3，满足 x+y=2，求代数式 x 2 y+xy 2 的值．【分析】将原式提取公因式 xy，进而将已知代入求出结果即可．【详解】解：∵xy=—3，x+y=2，∴x 2 y+xy 2 =xy（x+y）=﹣3×2=﹣6．【点睛】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．分层提高 题组A  基础过关练1．多项式分解因式时应提取的公因式为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的．【详解】解：多项式-6m3n-3m2n2+12m2n3应提取的公因式为-3m2n．故选：B．【点睛】本题主要考查公因式的确定，熟练掌握找公因式的要点是解题的关键．2．观察下列各式：①abx﹣adx；②2x2y+6xy2；③8m3﹣4m2+2m+1；④a3+a2b+ab2﹣b3；⑤（p+q）x2y﹣5x2（p+q）+6（p+q）2；⑥a2（x+y）（x﹣y）﹣4b（y+x）．其中可以用提公因式法分解因式的有（　　）A．①②⑤ B．②④⑤ C．②④⑥ D．①②⑤⑥【答案】D【解析】试题分析：找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的．在提公因式时千万别忘了“﹣1”．解：①abx﹣adx=ax（b﹣d）；②2x2y+6xy2=2xy（x+3y）；③8m3﹣4m2+2m+1，不能用提公因式法分解因式；④a3+a2b+ab2﹣b3，不能用提公因式法分解因式；⑤（p+q）x2y﹣5x2（p+q）+6（p+q）2=（p+q）[x2y﹣5x2+6（p+q）]；⑥a2（x+y）（x﹣y）﹣4b（y+x）=（x+y）[a2（x﹣y）﹣4b]．所以可以用提公因式法分解因式的有①②⑤⑥．故选D．考点：因式分解-提公因式法．点评：当一个多项式有公因式，将其分解因式时应先提取公因式，提取公因式后剩下的因式是用原多项式除以公因式所得的商得到的．3．下列提取公因式分解因式中，正确的是（     ）A．2x2－4xy=x(2x－4y) B．a3＋2a2＋a=a(a2＋2a)C．－2a－2b=2(a＋b) D．－a2＋a=－a(a－1)【答案】D【分析】找出系数的最大公约数，相同字母的最低指数次幂，即可确定出公因式．【详解】解：A、应为2x2-4xy=2x（x-2y），故本选项错误；B、应为a3+2a2+a=a（a2+2a+1）=a（a+1）2，故本选项错误；C、应为-2a-2b=-2（a+b），故本选项错误；D、－a2＋a=－a(a－1)，正确．故选：D．【点睛】本题主要考查公因式的确定，找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）相同字母的最低指数次幂．4．将多项式 因式分解时，应提取的公因式是（     ）A． B． C． D．【答案】A【分析】提取公因式时：系数取最大公约数；字母取相同字母的最低次幂．【详解】-6a3b2-3a2b2=-3a2b2（2a+1）．所以应提取的公因式是-3a2b2．故选A．【点睛】本题主要考查公因式的确定，注意找公因式的方法，特别不要漏掉找系数的最大公约数．5．已知xy＝﹣3，x+y＝2，则代数式x2y+xy2的值是（　　）A．﹣6 B．6 C．﹣5 D．﹣1【答案】A【分析】将原式提取公因式xy,进而将已知代入求出即可.【详解】解: xy＝﹣3，x+y＝2, x2y+xy2= xy (x+y)=-32=-6.故答案：A.【点睛】此题主要考查了提取公因式法分解因式,正确找出公因式是解题关键.6．2y(x－y)2－(y－x)3等于(  )A．(x＋y)(x－y)2 B．(3y－x)(x－y)2C．(x－3y)(y－x)2 D．(y－x)3【答案】A【分析】首先找出公因式(x－y)2，进而分解因式得出答案．【详解】原式= = = =．故选A．【点睛】本题考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题的关键． 题组B  能力提升练1．已知，则的值等于__________．【答案】3【分析】将已知的两式相乘即可得出答案.【详解】解：∵∴∴的值等于3.【点睛】本题主要考查了因式分解的解法：提公因式法.2．计算：20182﹣2018×2017=_____．【答案】2018【解析】【分析】直接用因式分解的提公因式法计算计算即可.【详解】解：原式=2018(2018-2017)=20181=2018,故答案：2018.【点睛】本题主要考查因式分解的提公因式法.3．因式分解（a﹣b）2﹣a+b的结果是_______________．【答案】（a﹣b）（a﹣b﹣1）【分析】先整理，再根据提取公因式法分解因式即可得出答案．【详解】解：（a﹣b）2﹣a+b＝（a﹣b）2﹣（a﹣b）＝（a﹣b）（a﹣b﹣1）．故答案为：（a﹣b）（a﹣b﹣1）．【点睛】本题考查了分解因式，熟练掌握提取公因式法分解因式是解题的关键．4．多项式18xn+1-24xn的公因式是_______.【答案】6xn【解析】运用公因式的概念，找出系数的最大公约数是6，相同字母的最低指数次幂是xn，可得公因式为6xn．故答案为：6xn.5．单项式－12x12y3与8x10y6的公因式是________．【答案】4x10y3【解析】运用公因式的概念，系数的最大公约数是4，相同字母的最低指数次幂是x10y3，可得公因式为4x10y3．故答案为4x10y3.点睛：此题主要考查了找公因式的方法，系数的最大公约数，相同字母的最低指数次幂，即可求解.6．若a, b, c 满足，则________【答案】【分析】关键整式的乘法法则运算，并整体代入变形即可.【详解】因为所以 ，即 因为所以 因为所以 因为所以 即 因为即 故答案为：【点睛】本题考查的是整式的乘法，熟练掌握乘法法则并会对算式进行变形是关键.7．利用因式分解计算：（﹣2）101+（﹣2）100＝___．【答案】【分析】提公因式，再进行计算．【详解】，故答案为：．【点睛】本题考查了因式分解简化计算问题，用因式分解的方法将式子变形，使计算简便．题组C  培优拔尖练1．因式分解：（1）；（2）；（3）．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）先变号，再运用提公因式法分解计算；（2）直接运用提公因式法分解计算即可；（3）先变号，再运用提公因式法分解计算．【详解】解：（1）；（2）；（3）．【点睛】本题考查提公因式法分解因式，正确找出题中的公因式是解题的关键．2．分解因式： （m,n均为大于1的整数）【答案】【解析】试题分析：根据m,n均为大于1的整数，确定出指数最小的是哪一项，然后确定公因式再提取公因式即可.试题解析：3．已知△ABC的三边长a，b，c，满足a²-bc-ab+ac=0，求证：△ABC为等腰三角形．【答案】证明见解析.【详解】试题分析：本题考查了分组分解法分解因式，先将所给等式的左边分组,然后因式分解,从而得到a=b,问题即可解决.证明：∵ a2-bc-ab+ac=0∴ (a-b)(a+c)=0∵ a,b为△ABC三边∴ a+c＞0，则a-b=0,即a=b∴△ABC为等腰三角形4．（1）已知，求的值．（2）如果，求的值．【答案】（1）4; （2）0.【分析】将第一个式子变形后代入第二个式子，化简变形后整体代入已知等式求解；将所求式子分组后，提取公因式变形，将已知等式代入计算即可.【详解】（1），即，（2），【点睛】本题考查的是整式的运算及分解因式，能正确的对算式进行变形及分解是关键.