人教版高中数学必修第二册第十章概率课时学案

这是一份人教版高中数学必修第二册第十章概率课时学案，文件包含章末总结docx、1031频率的稳定性docx、1011有限样本空间与随机事件docx、1013古典概型docx、102事件的相互独立性docx、1012事件的关系和运算docx、1014概率的基本性质docx、1032随机模拟docx等8份学案配套教学资源，其中学案共216页， 欢迎下载使用。
10.2　事件的相互独立性[目标导航]核心知识目标核心素养目标1.了解事件A与B相互独立的概念.2.会求独立事件的概率.1.结合具体实例学习事件独立性的概念,达成数学抽象的核心素养.2.通过利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题,提升数学建模、逻辑推理与数学运算的核心素养.相互独立事件对任意两个事件A与B,如果P(AB)=P(A)P(B)成立,则称事件A与事件B相互独立,简称为独立.(1)如果A与B相互独立,则与B,A与,与也相互独立.(2)与相互独立事件A,B有关的概率的计算公式如下表:事件A,B相互独立概率计算公式A,B同时发生P(AB)=P(A)P(B)A,B同时不发生P( )=P()P()=[1-P(A)]·[1-P(B)]=1-P(A)-P(B)+P(A)P(B)A,B至少有一个不发生P=1-P(AB)=1-P(A)P(B)A,B至少有一个发生P=1-P( )=1-P()P()=P(A)+P(B)-P(A)P(B)A,B恰有一个发生P=P(A+B)=P(A)P()+P()P(B)=P(A)+P(B)-2P(A)·P(B)1.袋内有3个白球和2个黑球,从中不放回地摸球,用A表示“第一次摸得白球”,用B表示“第二次摸得白球”,则A与B是(　D　)(A)互斥事件 (B)相互独立事件(C)对立事件 (D)不相互独立事件解析:根据互斥事件、对立事件和相互独立事件的定义可知,A与B不是相互独立事件.故选D.2.打靶时甲每打10次,可中靶8次;乙每打10次,可中靶7次.若两人同时射击一个目标,则它们都中靶的概率是(　D　)(A) (B) (C) (D)解析:由题意知甲中靶的概率为,乙中靶的概率为,两人打靶相互独立,同时中靶的概率P=×=.故选D.3.甲、乙两个实习生每人加工一个零件,加工为一等品的概率分别为和,两个零件是否加工为一等品相互独立,则这两个零件中都不是一等品的概率为(　D　)(A) (B) (C) (D)解析:设事件A:甲实习生加工的零件为一等品,事件B:乙实习生加工的零件为一等品,则P(A)=,P(B)=,所以这两个零件中都不是一等品的概率为P( )=(1-)×(1-)=.故选D.4.在同一时间内,甲、乙两个气象台独立预报天气准确的概率分别为和.在同一时间内,甲、乙两个气象台只有一个预报天气准确的概率是　　　. 解析:记“甲气象台预报天气准确”为事件A,“乙气象台预报天气准确”为事件B,则甲、乙两个气象台只有一个预报天气准确的概率是P=×(1-)+(1-)×=.答案:　事件的独立性的判断[例1] (1)甲、乙两名射手同时向一目标射击,设事件A:“甲击中目标”,事件B:“乙击中目标”,则事件A与事件B(　　)(A)相互独立但不互斥(B)互斥但不相互独立(C)相互独立且互斥(D)既不相互独立也不互斥(2)抛掷3枚质地均匀的硬币,A={既有正面向上又有反面向上},B={至多有一个反面向上},则A与B的关系是(　　)(A)互斥事件 (B)对立事件(C)相互独立事件 (D)不相互独立事件解析:(1)对同一目标射击,甲、乙两射手是否击中目标是互不影响的,所以事件A与B相互独立;对同一目标射击,甲、乙两射手可能同时击中目标,也就是说事件A与B可能同时发生,所以事件A与B不是互斥事件.故选A.(2)由已知,有P(A)=1-=,P(B)=1-=,P(AB)=,满足P(AB)=P(A)P(B),则事件A与事件B相互独立.故选C.事件的独立性的判断:(1)定义法:事件A,B相互独立⇔P(AB)=P(A)P(B).(2)由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响.即时训练1-1:袋中有黑、白两种颜色的球,从中进行有放回地摸球,用A1表示第一次摸得黑球,A2表示第二次摸得黑球,则A1与是(　　)(A)相互独立事件 (B)不相互独立事件(C)互斥事件 (D)对立事件解析:根据相互独立事件的概念可知,A1与A2相互独立,A1与也相互独立.故选A.即时训练1-2:分别抛掷两枚质地均匀的硬币,设事件A是“第一枚为正面”,事件B是“第二枚为正面”,事件C是“两枚结果相同”,则下列事件具有相互独立性的有　　　　.(填序号) ①A,B;②A,C;③B,C.解析:根据事件相互独立的定义判断,只要P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C)成立即可.利用古典概型概率公式计算可得P(A)=0.5,P(B)=0.5,P(C)=0.5,P(AB)=0.25,P(AC)=0.25,P(BC)=0.25.可以验证P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C).所以根据事件相互独立的定义,事件A与B相互独立,事件B与C相互独立,事件A与C相互独立.答案:①②③　求独立事件的概率[例2] 甲、乙、丙3位大学生同时应聘某个用人单位的职位,3人能被选中的概率分别为,,,且各自能否被选中互不影响.(1)求3人同时被选中的概率;(2)求3人中至少有1人被选中的概率.解:记甲、乙、丙能被选中的事件分别为A,B,C,则P(A)=,P(B)=,P(C)=.(1)3人同时被选中的概率为P1=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=××=.(2)法一　3人中有2人被选中的概率P2=P(AB∪AC∪BC)=××(1-)+×(1-)×+(1-)××　=.3人中只有1人被选中的概率为P3=P(A ∪B∪ C)=×(1-)×(1-)+(1-)××(1-)+(1-)×(1-)×=.故3人中至少有1人被选中的概率为++=.法二　由于“至少有1人被选中”的对立事件是“3人均未被选中”,得3人中至少有1人被选中的概率为P=1-P( )=1-(1-)×(1-)×(1-)=.变式训练2-1:若本例条件“3人能被选中的概率分别为,,”变为“甲、乙两人只有一人被选中的概率为,两人都被选中的概率为,丙被选中的概率为”,求恰好有2人被选中的概率.解:设甲被选中的概率为P(A),乙被选中的概率为P(B),则P(A)(1-P(B))+P(B)(1-P(A))=,①P(A)P(B)=,②由①②知P(A)=,P(B)=,故恰好有2人被选中的概率为P=P(AB)+P(AC)+P(BC)=.变式训练2-2:本例中的条件不变,试求“3人中几人同时被选中的概率最大”.解:由例2的解法可知,3人中有1人被选中的概率为P1=,3人中有2人被选中的概率为P2=,3人中有3人被选中的概率为P3=,由P1>P2>P3,可知3人中有1人被选中的概率最大.求相互独立事件的概率的步骤第一步,先用字母表示出事件,再分析题中涉及的事件,并把题中涉及的事件分为若干个彼此互斥事件的和;第二步,求出这些彼此互斥事件的概率;第三步,根据互斥事件的概率计算公式求出结果.此外,当题目中涉及“至少”“至多”问题,也可以从对立事件入手计算概率.[备用例1] 根据资料统计,某地车主购买甲种保险的概率为0.5,购买乙种保险的概率为0.6,购买甲、乙保险相互独立,各车主间相互独立.(1)求一位车主同时购买甲、乙两种保险的概率;(2)求一位车主购买乙种保险但不购买甲种保险的概率.解:记A表示事件“购买甲种保险”,B表示事件“购买乙种保险”,则由题意得A与B,A与,与B,与都是相互独立事件,且P(A)=0.5,P(B)=0.6.(1)记C表示事件“同时购买甲、乙两种保险”,则C=AB,所以P(C)=P(AB)=P(A)P(B)=0.5×0.6=0.3.(2)记D表示事件“购买乙种保险但不购买甲种保险”,则D=B,所以P(D)=P(B)=P()P(B)=(1-0.5)×0.6=0.3.　相互独立事件与互斥事件的综合应用[例3] 某机械厂制造一种汽车零件,已知甲机床的正品率是0.96,乙机床的次品率是0.05,现从它们制造的产品中各任意抽取一件,试求:(1)两件产品都是正品的概率;(2)恰有一件是正品的概率;(3)至少有一件是正品的概率.解:用A表示“从甲机床生产的产品中抽得正品”,用B表示“从乙机床生产的产品中抽得正品”,用C表示“抽得的两件产品中恰有一件是正品”,用D表示“抽得的两件产品中至少有一件正品”,则C=(A)∪(B),D=C∪(AB).(1)由题意知,A与B是相互独立事件,P(B)=1-P()=1-0.05=0.95,P(A)=0.96,所以两件都是正品的概率为P(AB)=P(A)P(B)=0.96×0.95=0.912.(2)由于事件A与B互斥,所以恰有一件是正品的概率为P(C)=P(A∪B)=P(A)+P(B)=P(A)P()+P()P(B)=0.96×0.05+0.04×0.95=0.086.(3)由于事件AB与C互斥,所以P(D)=P(AB∪C)=P(AB)+P(C)=0.912+0.086=0.998.求较为复杂事件的概率的方法(1)列出题中涉及的各事件,并且用适当的符号表示.(2)理清事件之间的关系(两事件是互斥还是对立,或者是相互独立),列出关系式.(3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算.(4)当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时,可先间接地计算对立事件的概率,再求出符合条件的事件的概率.即时训练3-1:有三种产品,合格率分别为0.9,0.85,0.85,各抽取一件进行检验,求:(1)恰有一件不合格品的概率;(2)至少有两件不合格品的概率.解:记“三种产品各抽取一件,抽取的是合格产品”的事件分别为A,B,C,P(A)=0.9,P(B)=0.85,P(C)=0.85.由题意知A,B,C相互独立.(1)“恰有一件不合格品”的事件有BC,AC,AB三种情况,其概率为P=P(BC+AC+AB)=P(BC)+P(AC)+P(AB)=P()P(B)P(C)+P(A)P()P(C)+P(A)P(B)P()=0.1×0.85×0.85+0.9×0.15×0.85+0.9×0.85×0.15≈0.301 75.(2)至少有两件不合格品的概率为P=P( + C+B+A )=(1-0.9)×(1-0.85)×(1-0.85)+2×(1-0.9)×(1-0.85)×0.85+0.9×0.15×0.15=0.048.[备用例2] 甲、乙两人进行一次围棋比赛,约定先胜3局者获得这次比赛的胜利,比赛结束.假设在一局中,甲获胜的概率为0.6,乙获胜的概率为0.4,各局比赛结果相互独立.已知前2局中,甲、乙各胜1局.(1)求再赛2局结束这次比赛的概率;(2)求甲获得这次比赛胜利的概率;(3)求经过5局比赛,比赛结束的概率.解:记“第i局甲获胜”为事件Ai(i=3,4,5),“第j局乙获胜”为事件Bj(j=3,4,5).(1)设“再赛2局结束这次比赛”为事件A,则A=A3A4∪B3B4,由于各局比赛结果相互独立,故P(A)=P(A3A4∪B3B4)=P(A3A4)+P(B3B4)=P(A3)P(A4)+P(B3)P(B4)=0.6×0.6+0.4×0.4=0.52.所以再赛2局结束这次比赛的概率为0.52.(2)记“甲获得这次比赛胜利”为事件B,因前两局中,甲、乙各胜1局,故甲获得这次比赛胜利当且仅当在后面的比赛中,甲再胜2局,从而B=A3A4∪B3A4A5∪A3B4A5,由于各局比赛结果相互独立,故P(B)=P(A3A4∪B3A4A5∪A3B4A5)=P(A3A4)+P(B3A4A5)+P(A3B4A5)=P(A3)P(A4)+P(B3)P(A4)P(A5)+P(A3)P(B4)P(A5)=0.6×0.6+0.4×0.6×0.6+0.6×0.4×0.6=0.648.所以甲获得这次比赛胜利的概率为0.648.(3)经过5局比赛,甲获胜的概率为P(B3A4A5)+P(A3B4A5)=0.4×0.6×0.6+0.6×0.4×0.6=0.288;经过5局比赛,乙获胜的概率为P(A3B4B5)+P(B3A4B5)=0.6×0.4×0.4+0.4×0.6×0.4=0.192.所以经过5局比赛,比赛结束的概率为0.288+0.192=0.48.1.掷一枚质地均匀的骰子一次,记A表示事件“出现偶数点”,B表示事件“出现3点或6点”,则事件A与B的关系是(　B　)(A)互斥事件(B)相互独立事件(C)既互斥又相互独立事件(D)既不互斥又不相互独立事件解析:因为该试验的样本空间为Ω={1,2,3,4,5,6},A={2,4,6},B={3,6},AB={6},所以P(A)=,P(B)=,P(AB)==×=P(A)P(B),所以A与B是相互独立事件.故选B.2.甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次,命中率分别为0.6和0.5,现已知目标被击中,则两人同时命中的概率为(　D　)(A)0.45 (B)0.6 (C)0.2 (D)0.3解析:设目标被甲击中为事件A,目标被乙击中为事件B,则事件AB表示两人同时命中,所以P(AB)=0.6×0.5=0.3.故选D.3.如图所示,在两个圆盘中,指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等,那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是　　　　. 解析:“左边圆盘指针落在奇数区域”记为事件A,则P(A)==,“右边圆盘指针落在奇数区域”记为事件B,则P(B)==,事件A,B相互独立,所以两个指针同时落在奇数区域的概率为×=.答案:4.甲、乙两人同时报考某一所大学,甲被录取的概率为0.6,乙被录取的概率为0.7,两人是否被录取互不影响,则其中至少有一人被录取的概率为　　　　. 解析:因为甲、乙两人是否被录取相互独立,所求事件的对立事件为“两人均未被录取”,所以由对立事件和相互独立事件概率公式知,P=1-(1-0.6)×(1-0.7)=1-0.12=0.88.答案:0.88选题明细表知识点、方法题号事件的独立性的判断1,2求独立事件的概率3,4,5,6,8综合应用问题7,9,10,11,12,13基础巩固1.下列事件A,B是相互独立事件的是(　A　)(A)一枚硬币掷两次,A=“第一次为正面”,B=“第二次为反面”(B)袋中有2个白球,2个黑球,不放回地摸球两次,每次摸一球,A=“第一次摸到白球”,B=“第二次摸到白球”(C)掷一枚骰子,A=“出现点数为奇数”,B=“出现点数为偶数”(D)A=“一个灯泡能用1 000小时”,B=“一个灯泡能用2 000小时”解析:把一枚硬币掷两次,对于每次而言是相互独立的,其结果不受先后影响,故A是相互独立事件;B中是不放回地摸球,显然A事件与B事件不相互独立;对于C,其结果具有唯一性,A,B应为互斥事件;D中事件B受事件A的影响.故选A.2.(多选题)下列各对事件中,不是相互独立事件的有(　ACD　)(A)运动员甲射击一次,“射中9环”与“射中8环”(B)甲、乙两运动员各射击一次,“甲射中10环”与“乙射中9环”(C)甲、乙两运动员各射击一次,“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标”(D)甲、乙两运动员各射击一次,“至少有1人射中目标”与“甲射中目标但乙未射中目标”解析:在A中,甲射击一次,“射中9环”与“射中8环”两个事件不可能同时发生,两者是互斥事件,不独立;在B中,甲、乙各射击一次,“甲射中10环”发生与否对“乙射中9环”的概率没有影响,两者是相互独立事件;在C中,甲、乙各射击一次,“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标“不可能同时发生,两者是互斥事件,不独立;在D中,设“至少有1人射中目标”为事件A,“甲射中目标但乙未射中目标”为事件B,则AB=B,因此当P(A)≠1时,P(AB)≠P(A)P(B),故A,B不独立.故选ACD.3.从甲袋中摸出一个红球的概率是,从乙袋中摸出一个红球的概率是,从两袋各摸出一个球,则2个球中恰有1个红球的概率是(　B　)(A) (B) (C) (D)解析:因为从甲袋中摸出一个红球的概率是,从乙袋中摸出一个红球的概率是,从两袋各摸出一个球,则2个球中恰有1个红球的概率是P=×+×=.故选B.4.从某地区的儿童中挑选体操学员,已知儿童体型合格的概率为,身体关节构造合格的概率为.从中任挑一儿童,这两项至少有一项合格的概率是(假定体型与身体关节构造合格与否相互之间没有影响)(　B　)(A) (B) (C) (D)解析:设儿童体型合格的概率为事件A,身体关节构造合格的概率为事件B.则P(A)=,P(B)=,且A,B相互独立,从中任挑一儿童,这两项至少有一项合格的概率P=1-P( )=1-×=.故选B.5.已知甲运动员的投篮命中率为0.6,若甲投篮两次(两次投篮命中与否互不影响),则其两次投篮都没命中的概率为　　　. 解析:甲运动员投篮未命中的概率为1-0.6=0.4且两次投篮命中与否相互独立,所以两次都没命中的概率为0.4×0.4=0.16.答案:0.16.能力提升6.某电视台的夏日水上闯关节目中的前三关的过关率分别为,,,只有通过前一关才能进入下一关,且通过每关相互独立.一选手参加该节目,则该选手能进入第四关的概率为(　A　)(A) (B) (C) (D)解析:由题意得该选手能进入第四关的概率为P=××=.故选A.7.甲、乙两位同学各拿出六张游戏牌,用作投骰子的奖品,两人商定:骰子朝上的面的点数为奇数时甲得1分,否则乙得1分,先积得3分者获胜得所有12张游戏牌,并结束游戏.比赛开始后,甲积2分,乙积1分,这时因意外事件中断游戏,以后他们不想再继续这场游戏,下面对这12张游戏牌的分配合理的是(　B　)(A)甲10张,乙2张 (B)甲9张,乙3张(C)甲8张,乙4张 (D)甲6张,乙6张解析:由题意知继续比赛下去,甲获胜的概率为+×=,乙获胜的概率为×=,所以甲应分得 12×=9张牌,乙应分得12×=3张牌.故选B.8.甲、乙两名同学参加一项射击比赛游戏,其中任何一人每射击一次击中目标得2分,未击中目标得0分.若甲、乙两人射击的命中率分别为 0.6 和p,且甲、乙两人各射击一次得分之和为2的概率为0.45.假设甲、乙两人射击互不影响,则p的值为(　B　)(A)0.8 (B)0.75 (C)0.6 (D)0.25解析:设“甲射击一次,击中目标”为事件A,“乙射击一次,击中目标”为事件B,则“甲射击一次,未击中目标”为事件,“乙射击一次,未击中目标”为事件,则P(A)=,P()=1-=,P(B)=p,P()=1-p,依题意得×(1-p)+×p=,解得p=.故选B.9.在如图所示的电路图中,开关a,b,c闭合与断开的概率都是,且是相互独立的,则灯亮的概率是(　B　) (A) (B) (C) (D)解析:设开关a,b,c闭合的事件分别为A,B,C,则灯亮这一事件E=ABC∪AB∪AC,且A,B,C相互独立,ABC,AB,AC互斥,所以P(E)=P(ABC∪AB∪AC)=P(ABC)+P(AB)+P(AC)=P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P()+P(A)P()P(C)=××+××(1-)+×(1-)×=.故选B.10.甲袋中有1个黄球和1个红球,乙袋中有2个黄球和2个红球,球的大小、形状完全相同,现随机从甲袋中取出1个球放入乙袋中,再从乙袋中随机取出1个球,则从乙袋中取出的球是红球的概率是　　　　　. 解析:分两种情况讨论如下:①当从甲袋中取出黄球时,则乙袋中有3个黄球和2个红球,从乙袋中取出的球是红球的概率为×=;②当从甲袋中取出红球时,则乙袋中有2个黄球和3个红球,从乙袋中取出的球是红球的概率为×=.综上,所求概率为+=.答案:11.某社区举办“环保我参与”有奖问答比赛活动,某场比赛中,甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题.已知甲家庭回答正确这道题的概率是,甲、丙两个家庭都回答错误的概率是,乙、丙两个家庭都回答正确的概率是.若各家庭回答是否正确互不影响.(1)求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率;(2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于两个家庭回答正确这道题的概率.解:(1)记“甲回答正确这道题”“乙回答正确这道题”“丙回答正确这道题”分别为事件A,B,C,则P(A)=,且有即所以P(B)=,P(C)=.(2)有0个家庭回答正确的概率为P0=P( )=P()P()P()=××=.有1个家庭回答正确的概率为P1=P(A +B+ C)=××+××+××=.所以不少于两个家庭回答正确这道题的概率为P=1-P0-P1=1--=.应用创新12.一场5局3胜制的乒乓球对抗赛,当甲运动员先胜2局时,比赛因故中断.已知甲、乙水平相当,每局甲胜、乙胜的概率都为,则这场比赛的甲、乙取胜的概率比(甲∶乙)应为(　B　)(A)6∶1 (B)7∶1 (C)3∶1 (D)4∶1解析:甲前2局已胜,甲胜有三种情况:①甲第3局胜为事件A1,则P(A1)=;②甲第3局负、第4局胜为事件A2,则P(A2)=×=;③第3局、第4局甲负,第5局甲胜为事件A3,则P(A3)=××=.故甲胜的概率为P(A1)+P(A2)+P(A3)=,乙胜的概率则为.故选B.13.某学校进行足球选拔赛,有甲、乙、丙、丁四个球队,每两队要进行一场比赛,开始记分规则为:胜一场得3分,平一场得1分,负一场得0分,甲胜乙、丙、丁的概率分别是0.5,0.6,0.8,甲负乙、丙、丁的概率分别是0.3,0.2,0.1,最后得分大于等于7胜出,则甲胜出的概率为　　　. 解析:甲胜出的情况是甲在三场比赛中三胜或两胜一平,所以甲胜出的概率为P=0.5×0.6×0.8+0.5×0.6×(1-0.8-0.1)+0.5×(1-0.6-0.2)×0.8+(1-0.5-0.3)×0.6×0.8=0.446.答案:0.446