人教版高中数学必修第二册第八章立体几何初步课时学案

8.2　立体图形的直观图

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1.斜二测画法

我们常用斜二测画法画空间图形及水平放置的平面多边形的直观图.斜二测画法是一种特殊的平行投影画法.

2.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤

3.空间几何体直观图的画法

(1)与平面图形的直观图画法相比多了一个与x轴,y轴都垂直的z轴,直观图中与之对应的是z′轴;

(2)平面x′O′y′表示水平平面,平面y′O′z′和x′O′z′表示竖直平面;

(3)已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段,在其直观图中平行性和长度都不变.

1.利用斜二测画法画出边长为3 cm的正方形的直观图,正确的是(　C　)

解析:正方形的直观图是平行四边形,且平行于x轴的边长为3 cm,平行于y轴的边长为 cm.故选C.

2.在用斜二测画法画水平放置的△ABC时,若∠A的两边分别平行于x轴、y轴,则在直观图中∠A′等于(　D　)

(A)45° (B)135°

(C)90° (D)45°或135°

解析:因为∠A的两边分别平行于x轴、y轴,故∠A=90°,在直观图中,按斜二测画法规则知∠x′O′y′=45°或135°,即∠A′=45°或135°.故选D.

3.在棱长为6 cm的正方体ABCD-A1B1C1D1中,作直观图时,棱AA1在x轴上,棱AD在y轴上,则在其直观图中,对应棱A′D′的长为　　　 cm,棱A′A1′的长为　　　 cm. 

解析:在x轴上的线段长度不变,故A′A1′=6 cm,在y轴上的线段长度变成原来的一半,故A′D′=3 cm.

答案:3　6

　画水平放置的平面图形的直观图

[例1] 画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图.

解:(1)如图①所示,取AB所在直线为x轴,AB中点O为原点,建立直角坐标系.画对应的坐标系x′O′y′,使∠x′O′y′=45°,如图②所示.

(2)以O′为中点在x′轴上取A′B′=AB,在y′轴上取O′E′=OE,以E′为中点画C′D′∥x′轴,并使C′D′=CD.

(3)连接B′C′,D′A′,删去坐标轴,所得的四边形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图,如图③所示.

变式训练1-1:画出如图所示水平放置的直角梯形的直观图.

解:(1)如图①所示,在已知的直角梯形OBCD中,以底边OB所在直线为x轴,垂直于OB的腰OD所在直线为y轴建立平面直角坐标系.画出相应的x′轴和y′轴,使∠x′O′y′=45°,如图②所示.

(2)在x′轴上截取O′B′=OB,在y′轴上截取O′D′=OD,过点D′作x′轴的平行线l,在l上沿x′轴正方向取点C′使得D′C′=DC,连接B′C′,如图②所示.

(3)删去坐标轴,所得四边形O′B′C′D′就是直角梯形OBCD的直观图,如图③所示.

(2)画平面图形的直观图,首先画与坐标轴平行的线段(平行性不变),与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点,然后连接成线段.

即时训练1-1:用斜二测画法画边长为 6 cm 的水平放置的正三角形的直观图.

解:(1)如图①所示,以BC边所在的直线为x轴,以BC边上的高线AO所在的直线为y轴建立平面直角坐标系.

(2)如图②画出对应的x′轴、y′轴,使∠x′O′y′=45°.

在x′轴上截取O′B′=O′C′=3 cm,在y′轴上截取O′A′=OA,连接A′B′,A′C′,删去坐标轴,则三角形A′B′C′即为正三角形ABC的直观图,如图③所示.

　画空间几何体的直观图

[例2] 有一个正六棱锥(底面为正六边形,侧面为全等的等腰三角形的棱锥),底面边长为3 cm,高为3 cm,画出这个正六棱锥的直观图.

解:(1)先画出边长为3 cm的正六边形的水平放置的直观图,如图①所示.

(2)过正六边形的中心O′建立z′轴,在z′轴上截取O′V′=3 cm,如图②所示.

(3)连接V′A′,V′B′,V′C′,V′D′,V′E′,V′F′,如图③所示.

(4)擦去辅助线,遮挡部分用虚线表示,即得到正六棱锥的直观图,如图④所示.

注意:空间直观图画法口诀可以总结为“横长不变,纵长减半,竖长不变,平行关系不变”.

即时训练2-1:用斜二测画法画长、宽、高分别为4 cm,3 cm,2 cm的长方体ABCD-A′B′C′D′的直观图.

解:画法步骤.

(1)画轴.如图①,画x′轴、y′轴、z′轴,三轴相交于点O′,使∠x′O′y′=45°,∠x′O′z′=90°.

(2)画底面.以点O′为中点,在x′轴上截取线段MN,

使MN=4 cm;在y′轴上截取线段PQ,

使PQ= cm.

分别过点M和N作y′轴的平行线,过点P和Q作x′轴的平行线,设它们的交点分别为A,B,C,D,四边形ABCD就是长方体的底面ABCD的直观图.

(3)画侧棱.过A,B,C,D各点分别作z′轴的平行线,并在这些平行线上分别截取2 cm长的线段AA′,BB′,CC′,DD′.

(4)成图.顺次连接A′,B′,C′,D′,并加以整理(去掉辅助线,将被遮挡的部分改为虚线),就得到长方体的直观图.如图②.

　直观图的还原与计算

[例3] 如图所示,梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图.若A1D1∥y′轴,A1B1∥C1D1,A1B1=C1D1=2,A1D1=O′D1=1.试画出原四边形,并求原图形的面积.

解:如图,建立直角坐标系xOy,在x轴上截取OD=O′D1=1,OC=O′C1=2.

在过点D与y轴平行的直线上截取AD=2A1D1=2.

在过点A与x轴平行的直线上截取AB=A1B1=2.连接BC,便得到了原图形(如图).

由作法可知,原四边形ABCD是直角梯形,上、下底长度分别为AB=2,CD=3,直角腰长度为AD=2.

所以面积为S=×2=5.

S直观图=S原图形,S原图形=2S直观图.

即时训练3-1:如图是四边形ABCD的水平放置的直观图A′B′C′D′,则原四边形ABCD的面积是(　　)

(A)14 (B)10 (C)28 (D)14

解析:因为A′D′∥y′轴,A′B′∥C′D′,A′B′≠C′D′,

所以原图形是一个直角梯形,如图所示.

又A′D′=4,

所以AD=8.

所以原直角梯形的上、下底及高分别是2,5,8,故其面积为

S=×(2+5)×8=28.

故选C.

[备用例题] 已知△ABC的直观图△A′B′C′是边长为a的正三角形,求原△ABC的面积.

解:平面直观图如图①所示.

取B′C′所在直线为x′轴,以过B′C′的中点O′且与x′轴正方向成45°角的直线为y′轴.过A′点作A′N′∥O′x′,交y′轴于N′点,过A′点作A′M′∥O′y′,交x′轴于M′点,连接O′A′,则在Rt△A′O′M′中,因为O′A′=a,∠A′M′O′=45°,所以M′O′=O′A′=a,故A′M′=a.所以O′N′=a.如图②,在平面直角坐标系中,在x轴上O点左、右两侧分别取点B,C,使OB=OC=,在x轴上O点左侧取点M,使OM=a,在y轴上O点上方取点N,使ON=a,分别过M,N作y轴、x轴的平行线相交于点A,连接AB,AC,则△ABC即为原图形.

显然S△ABC=a·a=a2.

1.(教材习题改编)用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图,对其中的线段说法错误的是(　B　)

(A)原来相交的仍相交 (B)原来垂直的仍垂直

(C)原来平行的仍平行 (D)原来共点的仍共点

解析:由斜二测画法规则知,B选项错误.故选B.

2.一个长方体的长、宽、高分别为20 m,5 m,10 m,若按 1∶500 的比例画出它的直观图,那么直观图中,长方体的长、宽、高分别为　(　C　)

(A)4 cm,1 cm,2 cm (B)4 cm,0.5 cm,1 cm

(C)4 cm,0.5 cm,2 cm (D)2 cm,0.5 cm,1 cm

解析:由比例尺可知长方体的长、宽、高分别为4 cm,1 cm,2 cm.再结合斜二测画法,可知直观图的相应尺寸应分别为4 cm,0.5 cm,2 cm.故选C.

3.如图所示的图形的直观图所表示的平面图形是(　D　)

(A)正三角形

(B)锐角三角形

(C)钝角三角形

(D)直角三角形

解析:直观图中三角形中分别有一边和x′轴、y′轴平行,故原图形中这两边互相垂直.故选D.

4.如图所示为水平放置的正方形ABCO,它在直角坐标系xOy中,点B的坐标为(2,2),则在用斜二测画法画出的它的直观图中,顶点B′到x′轴的距离为　　　　. 

解析:画出直观图如图,

BC对应B′C′,且B′C′=1,∠B′C′x′=45°,故顶点B′到x′轴的距离为.

答案:

选题明细表

基础巩固

1.(多选题)利用斜二测画法画平面图形的直观图时,下列说法正确的是(　AB　)

(A)三角形的直观图是三角形

(B)平行四边形的直观图是平行四边形

(C)正方形的直观图是正方形

(D)菱形的直观图是菱形

解析:根据斜二测画法的规则,线段的平行性不变,相交的线段仍然相交,所以A,B正确,相等的线段在直观图中不一定相等,所以C,D错误.故选AB.

2.如图,已知等腰三角形ABC,则如图所示的四个图中,可能是△ABC的直观图的是(　D　)

(A)①② (B)②③ 

(C)②④ (D)③④

解析:原等腰三角形画成直观图后,原来的腰长不相等,③④两图分别是∠x′O′y′成135°和45°的坐标系中的直观图.故选D.

3.如图为一平面图形的直观图,则此平面图形可能是选项中的(　C　)

解析:由斜二测画法的规则可知,该平面图形为直角梯形,又因为第一象限内的边平行于y′轴.故选C.

4.已知两个圆锥,底面重合在一起,其中一个圆锥顶点到底面的距离为2 cm,另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm,则其直观图中这两个顶点之间的距离为(　D　)

(A)2 cm (B)3 cm (C)2.5 cm (D)5 cm

解析:因为这两个顶点连线与圆锥底面垂直,现在距离为5 cm,而在直观图中根据平行于z轴的线段长度不变,仍为5 cm.故选D.

5.若用斜二测画法把一个高为10 cm的圆柱的底面画在x′O′y′平面上,则该圆柱的高应画成(　A　)

(A)平行于z′轴且长度为10 cm

(B)平行于z′轴且长度为5 cm

(C)与z′轴成45°且长度为10 cm

(D)与z′轴成45°且长度为5 cm

解析:平行于z轴的线段,在直观图中平行性和长度都不变.故选A.

6.如图,正方形O′A′B′C′的边长为1 cm,它是水平放置的一个平面图形用斜二测画法得到的直观图,则原图形的周长是(　A　)

(A)8 cm

(B)6 cm

(C)2(1+) cm

(D)2(1+) cm

解析:将直观图还原为平面图形,如图所示.OB=2O′B′=2 cm,OA=

O′A′=1 cm,所以AB==3 (cm),

所以原图形的周长为8 cm.故选A.

能力提升

7.(多选题)如图所示是斜二测画法画出的水平放置的三角形的直观图,D′为B′C′的中点,且 A′D′∥y′轴,B′C′∥x′轴,那么在原平面图形ABC中(　AC　)

(A)AB与AC相等

(B)AD的长度大于AC的长度

(C)AB的长度大于AD的长度

(D)BC的长度大于AD的长度

解析:由直观图易知A′D′∥y′轴,根据斜二测画法规则,在△ABC中有AD⊥BC,又AD为BC边上的中线,所以△ABC为等腰三角形,则AB与AC相等,且长度都大于AD的长度,但BC与AD的长度大小不确定.故选AC.

8.若水平放置的四边形AOBC按斜二测画法得到如图所示的直观图,其中A′C′∥O′B′,A′C′⊥B′C′,A′C′=1,O′B′=2,则原四边形AOBC的面积为(　C　)

(A)12 (B)6 (C)3 (D)

解析:如图,作A′M⊥O′B′,则O′M=2-1=1.

由∠A′O′B′=,

得A′O′=,AO=2A′O′=2,

AC=A′C′=1,OB=O′B′=2,

且AO⊥OB,AC∥OB,

所以原四边形AOBC的面积为S=(AC+OB)·AO=×(1+2)×2=3.

故选C.

9.(多选题)水平放置的△ABC的直观图如图所示,其中B′O′=C′O′=1,

A′O′=,那么原△ABC是一个(　AD　)

(A)等边三角形

(B)直角三角形

(C)三边互不相等的三角形

(D)面积为 的三角形

解析:由题中图形知,在原△ABC中,AO⊥BC.

因为A′O′=,所以AO=.

因为B′O′=C′O′=1,所以BC=2,AB=AC=2,

所以△ABC为等边三角形.

所以△ABC的面积为×2×=.故选AD.

10.水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示,已知A′C′=3,B′C′=2,

则AB边上的中线的实际长度为　　　　. 

解析:由斜二测画法知△ABC中,∠C=90°,AC=A′C′=3,BC=2B′C′=4,

所以AB=5,所以AB边上的中线的实际长度为.

答案:

11.在直观图中,四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2 cm,则在坐标系xOy中,原四边形OABC为　　　　(填形状),面积为　　　 cm2. 

解析:由题意,结合斜二测画法可知,四边形OABC为矩形,其中OA=2 cm,

OC=4 cm,所以四边形OABC的面积S=2×4=8(cm2).

答案:矩形　8

应用创新

12.如图所示,△A′B′C′表示水平放置的△ABC在斜二测画法下的直观图,A′B′在x′轴上,B′C′与x′轴垂直,且B′C′=3,

则△ABC的边AB上的高为　　     　. 

解析:过C′作C′D∥y′轴,

则∠C′DB′=45°,因为B′C′与x′轴垂直,且B′C′=3,所以

C′D=3,

根据斜二测画法的性质,则△ABC的边AB上的高等于 2C′D=6.

答案:6

13.如图,四边形A′B′C′D′是边长为1的正方形,又知它是某个四边形按斜二测画法画出的直观图,则四边形的原图形面积是　　　.

解析:已知四边形A′B′C′D′是边长为1的正方形,又知它是某个四边形按斜二测画法画出的直观图,可得该四边形的原图形如图所示,

这是一个底边长为2,高为 的平行四边形,其面积为2.

答案:2

14.画出底面是边长为1.2 cm的正方形,侧棱均相等且高为1.5 cm的四棱锥的直观图.

解:(1)画轴.画x轴、y轴、z轴,

∠xOy=45°(或135°),∠xOz=90°,如图①.

(2)画底面.以O为中心,在xOy平面内,画出正方形的直观图ABCD,使AB=1.2 cm,EF=0.6 cm.

(3)画顶点.在z轴上截取OP,使OP=1.5 cm.

(4)成图.顺次连接PA,PB,PC,PD,并擦去辅助线,将被遮住的部分改为虚线,得四棱锥的直观图,如图②.