人教版高中数学必修第二册第六章平面向量及其应用检测试题含答案

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第六章　检测试题 [选题明细表]知识点、方法题号平面向量的线性运算1,5,9,11,15,19平面向量的数量积运算3,7,13,17,20平面向量在平面几何与物理中的应用6正、余弦定理的应用2,4,10,12,14,16,18平面向量与解三角形的综合应用8,21,22一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.在五边形ABCDE中(如图),+-等于(　B　)(A) (B)(C) (D)解析:+-=+=.故选B.2.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,如果a=2,A=45°,B=30°,那么b等于(　A　)(A)     (B)      (C)     (D)解析:由正弦定理得==,所以b=,故选A.3.已知角C为△ABC的一个内角,向量m=(2cos C-1,-2),n=(cos C,cos C+1).若m⊥n,则角C等于(　C　)(A) (B) (C) (D)解析:因为m⊥n,所以2cos2C-3cos C-2=0,所以(2cos C+1)(cos C-2)=0,所以cos C=-,又C为△ABC的一个内角,所以C=.4.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若A=60°,a=,则等于(　D　)(A)    (B)     (C)     (D)2解析:A=60°,a=,由正弦定理得====2,所以b=2sin B,c=2sin C,则=2.故选D.5.在矩形ABCD中,AB=1,AD=,点M在对角线AC上,点N在边CD上,且=,=,则·等于(　C　)(A) (B)4 (C) (D)解析:=-=+--=+,所以·=(+)·(+)=++(+)·=+=.故选C.6.有一长为1 km的斜坡,它的倾斜角为20°,现高不变,将倾斜角改为10°,则斜坡长为(　C　)(A)1 km          (B)2sin 10° km(C)2cos 10° km (D)cos 20° km解析:如图所示,∠ABC=20°,AB=1 km,∠ADC=10°,所以∠ABD=160°.在△ABD中,由正弦定理=,所以AD=AB·==2cos 10°(km).故选C.7.定义平面向量之间的一种运算“☉”如下:对任意的a=(m,n),b=(p,q),令a☉b=mq-np.下面说法错误的是(　B　)(A)若a与b共线,则a☉b=0(B)a☉b=b☉a(C)对任意的λ∈R,有(λa)☉b=λ(a☉b)(D)(a☉b)2+(a·b)2=|a|2|b|2解析:若a=(m,n)与b=(p,q)共线,则mq-np=0,依运算“☉”知a☉b=0,故A正确;由于a☉b=mq-np,又b☉a=np-mq,因此a☉b=-b☉a,故B不正确;对于C,由于λa=(λm,λn),因此(λa)☉b=λmq-λnp,又λ(a☉b)=λ(mq-np)=λmq-λnp,故C正确;对于D,(a☉b)2+(a·b)2=m2q2-2mnpq+n2p2+(mp+nq)2=m2(p2+q2)+n2(p2+q2)=(m2+n2)(p2+q2)=|a|2|b|2,故D正确.故选B.8.海伦公式是利用三角形的三条边的边长a,b,c直接求三角形面积S的公式,表达式为S=,p=;它的特点是形式漂亮,便于记忆.我国南宋著名数学家秦九韶独立推出的“三斜求积”公式,虽然它与海伦公式形式上有所不同,但它与海伦公式完全等价,因此海伦公式又译作海伦-秦九韶公式.现在有周长为10+2的△ABC满足sin A∶sin B∶sin C=2∶3∶,则用以上给出的公式求得△ABC的面积为(　C　)(A)8 (B)4 (C)6 (D)12解析:因为sin A∶sin B∶sin C=2∶3∶,所以a∶b∶c=2∶3∶.因为△ABC周长为10+2,即a+b+c=10+2,所以a=4,b=6,c=2,所以p==5+,所以△ABC的面积S==6.故选C.二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)9.设P是△ABC所在平面内的一点,+=3,则(　CD　)(A)+=0    (B)+=0(C)+= (D)++=0解析:显然+=成立,C对;因为+=3,所以=+,所以=+=++=-,所以=+=-,所以++=0,D对;所以+=-≠0,A错;所以+=--≠0,B错.故选CD.10.在△ABC中,AB=,AC=1,B=,则角A的可能取值为(　AD　)(A) (B) (C) (D)解析:由正弦定理得=,即=,所以sin C=,所以C=或π,当C=时,A=;当C=π时,A=π.故选AD.11.已知△ABC的面积为3,在△ABC所在的平面内有两点P,Q,满足+2=0,=2,记△APQ的面积为S,则下列说法正确的是(　BD　)(A)∥(B)=+(C)·>0(D)S=4解析:已知△ABC的面积为3,在△ABC所在的平面内有两点P,Q,满足+2=0,所以A,P,C三点共线,点P为线段AC的三等分点.由于=2,所以A,B,Q三点共线,且B为线段AQ的中点,如图所示,①与不平行,故选项A错误;②根据三角形法则:=+=+=+(-)=+,故选项B正确;③·=-||||<0,故选项C错误;④△ABC的面积为3,所以=,则S△ABP=2,S△BCP=1,且S△ABP=S△BPQ=2,所以S△APQ=2+2=4,故选项D正确.故选BD.12.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(a+b)∶(a+c)∶(b+c)=9∶10∶11,则下列结论正确的是(　ACD　)(A)sin A∶sin B∶sin C=4∶5∶6(B)△ABC是钝角三角形(C)△ABC的最大内角是最小内角的2倍(D)若c=6,则△ABC外接圆半径为解析:(a+b)∶(a+c)∶(b+c)=9∶10∶11,可设a+b=9t,a+c=10t,b+c=11t,解得a=4t,b=5t,c=6t,t>0,可得sin A∶sin B∶sin C=a∶b∶c=4∶5∶6,故A正确;由c为最大边,可得cos C===>0,即C为锐角,故B错误;由cos A===,由cos 2A=2cos2A-1=2×-1==cos C,由2A,C∈(0,π),可得2A=C,故C正确;若c=6,可得2R===,△ABC外接圆半径为,故D正确.故选ACD.三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中的横线上)13.已知a,b满足|a|=3,|b|=2,|a+b|=4,则|a-b|=　　　. 解析:因为|a+b|=4,所以|a+b|2=|a|2+|b|2+2a·b=16.因为|a|=3,|b|=2,所以a·b=,所以|a-b|2=|a|2+|b|2-2a·b=9+4-2×=10,可得|a-b|=.答案:14.在锐角三角形ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边.若2asin B=b,b+c=5,bc=6,则a=　　　. 解析:因为2asin B=b,所以2sin Asin B=sin B,所以sin A=,因为△ABC为锐角三角形,所以cos A=,因为bc=6,b+c=5,所以a2=b2+c2-2bccos A=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc=52-3×6=7,所以a=.答案:15.在矩形ABCD中,已知E,F分别是BC,CD上的点,且满足=2,=3.若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ的值为　　　. 解析:如图,因为=2,=3,所以==,==,则=+=+,=+=+,故=λ+μ=λ(+)+μ(+)=(λ+μ)+(λ+μ).因为=+,所以解得λ=,μ=,λ+μ=.答案:16.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若a=2,C=,tan A=,则sin A=　　　,b=　　　. 解析:因为角A为△ABC的内角,tan A==,sin2A+cos2A=1,联立解得sin A=(负值舍去).又在△ABC中,由正弦定理得=,解得c==5,则在△ABC中,由余弦定理得a2+b2-c2=2abcos C,即(2)2+b2-52=2×2bcos ,解得b=4+(负值舍去).答案:　4+四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知向量m=(1,3),n=(3,2).(1)求m·(m+2n)的值;(2)若(m+λn)∥(λm+n),求实数λ的值.解:(1)因为m=(1,3),n=(3,2),所以m+2n=(7,7)所以m·(m+2n)=1×7+3×7=28.(2)m+λn=(1+3λ,3+2λ),λm+n=(λ+3,3λ+2),因为(m+λn)∥(λm+n),所以(1+3λ)(3λ+2)-(3+2λ)(λ+3)=0,整理得λ2=1,所以λ=±1.18.(本小题满分12分)已知△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若B=,且(a-b+c)(a+b-c)=bc.(1)求cos C的值;(2)若a=5,求△ABC的面积.解:(1)由(a-b+c)(a+b-c)=bc,得a2-(b-c)2=bc,即a2=b2+c2-bc,由余弦定理,得cos A==,所以sin A=.又因为B=,所以cos C=-cos (A+B)=-cos Acos B+sin Asin B=.(2)由(1)得sin C=.在△ABC中,由正弦定理,得c==8,所以S=acsin B=×5×8×sin =10.19.(本小题满分12分)如图所示,在△ABC中,=a,=b,D,F分别为线段BC,AC上一点,且BD=2DC,CF=3FA,BF和AD相交于点E.(1)用向量a,b表示;(2)假设=λ+(1-λ)=μ,用向量a,b表示,并求出μ的值.解:由题意得CF=3FA,BD=2DC,所以=,=.(1)因为=+,=a,=b,所以=+=+(-)=+=-a+b.(2)由(1)知=-a+b,而==b,而=λ+(1-λ)=μ⇒=-λa+(1-λ)b=μ(-a+b).因为a与b不共线,由平面向量基本定理得解得μ=,所以=-a+b,μ=即为所求.20.(本小题满分12分)已知△ABC中,∠ACB是直角,CA=CB,点D是CB的中点,E为AB上一点. (1)设=a,=b,当=时,请用a,b来表示,;(2)当=2时,求证:AD⊥CE.解:(1)因为=a,=b,点D是CB的中点,所以=2b,所以=-=2b-a,所以=+=a+=a+(2b-a)=a+b.(2)以C点为坐标原点,以CB,CA为x,y轴,建立如图所示平面直角坐标系,设A(0,a),所以B点坐标为(a,0).另设点E坐标为(x,y),因为点D是CB的中点,所以点D坐标为(,0),又因为=2,所以(x,y-a)=2(a-x,-y),所以x=,y=,所以=(,-a),=(,),所以·=×+(-a)×=0,所以AD⊥CE.21.(本小题满分12分)在①a=csin A-acos C;②(2a-b)sin A+(2b-a)sin B=2csin C这两个条件中任选一个,补充在下列问题中,并解答.已知△ABC的角A,B,C对边分别为a,b,c,c=,而且　　　　. (1)求角C;(2)求△ABC周长的最大值.解:(1)选①,因为a=csin A-acos C,所以sin A=sin Csin A-sin Acos C,因为sin A≠0,所以sin C-cos C=1,即sin(C-)=,又0<C<π,所以-<C-<,故C-=,即C=.选②,因为(2a-b)sin A+(2b-a)sin B=2csin C,所以(2a-b)a+(2b-a)b=2c2,即a2+b2-c2=ab,所以cos C==,因为0<C<π,所以C=.(2)由(1)可知,C=.在△ABC中,由余弦定理得a2+b2-2abcos C=3,即a2+b2-ab=3,所以(a+b)2-3=3ab≤,所以a+b≤2,当且仅当a=b时取等号,所以a+b+c≤3,即△ABC周长的最大值为3.22.(本小题满分12分)已知△ABC中三个内角A,B,C所对的边为a,b,c,且B=,b=2.(1)若c=,求sin A的值;(2)当·取得最大值时,求A的值.解:(1)在△ABC中,由正弦定理得=,则sin C==,因为b>c,所以C=,则sin A=sin(π-B-C)=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C=×+×=.(2)·=bacos C=2acos C=2×cos C=sin Acos(π-A)=sin A(-cos A+sin A)=2-sin (2A+),当且仅当2A+=,即A=时,·取到最大值.