人教版高中数学必修第二册第七章复数检测试题含答案

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第七章　检测试题选题明细表知识点、方法题号复数的概念2,3,5,9,10,13复数的四则运算1,7,8,14,15,17,20复数的几何意义4,6,19复数知识综合应用11,12,16,18,21,22一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.如果复数(b∈R)的实部与虚部相等,那么b等于(　A　)(A)-2   (B)1    (C)2    (D)4解析:==b-2i,所以实部为b,虚部为-2,所以b=-2.故选A.2.设x∈R,i是虚数单位,则“x=-3”是“复数z=(x2+2x-3)+(x-1)i为纯虚数”的(　C　)(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件解析:复数z=(x2+2x-3)+(x-1)i为纯虚数,则x2+2x-3=0且x-1≠0,解得x=-3,故x=-3⇔复数z为纯虚数.故选C.3.若z=,则|z|等于(　A　)(A)      (B)    (C)    (D)解析:z===,所以|z|==.故选A.4.A,B分别是复数z1,z2在复平面内对应的点,O是原点,若|z1+z2|=|z1-z2|,则△AOB一定是(　B　)(A)等腰三角形 (B)直角三角形(C)等边三角形 (D)等腰直角三角形解析:根据复数加(减)法的几何意义知,以,为邻边所作的平行四边形的对角线相等,则此平行四边形为矩形,故△AOB为直角三角形.故选B.5.已知i为虚数单位,复数z=(a∈R)是纯虚数,则|-ai|等于(　C　)(A)       (B)4     (C)3     (D)2解析:由z==为纯虚数,所以解得a=-2,所以|+2i|==3.故选C.6.△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1,z2,z3,复数z满足|z-z1|=|z-z2|=|z-z3|,则z对应的点是△ABC的(　A　)(A)外心 (B)内心 (C)重心 (D)垂心解析:设复数z与复平面内的点Z相对应,由△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1,z2,z3,及由|z-z1|=|z-z2|=|z-z3|可知点Z到△ABC的三个顶点的距离相等,由三角形外心的定义可知,点Z即为△ABC的外心.故选A.7.已知复数z1=3-bi,z2=1-2i,若是实数,则实数b等于(　A　)(A)6      (B)-6    (C)0     (D)解析:因为===是实数,所以6-b=0,所以实数b的值为6.故选A.8.计算+的值等于(　C　)(A)0 (B)1 (C)2i (D)i解析:原式=+=+=+i=+i=+i=2i.故选C.二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)9.若复数z=-i,则(　AC　)(A)|z|=2               (B)|z|=4(C)z的共轭复数 =+i (D)z2=4-2i解析:依题意|z|==2,故A选项正确,B选项错误.=+i,C选项正确.z2=(-i)2=3-2i+i2=2-2i,D选项错误.故选AC.10.设z=(-t2+4t-5)+(t2+2t+2)i,t∈R,则以下结论正确的是(　ABC　)(A)z对应的点在第二象限(B)z一定不为纯虚数(C) 对应的点在实轴的下方(D)z可以为实数解析:因为-t2+4t-5=-(t-2)2-1<0, t2+2t+2=(t+1)2+1>0,所以z对应的点在第二象限.故A正确;因为-t2+4t-5=0无解,所以z一定不为纯虚数,故B正确;因为z与对应的点关于实轴对称,所以对应的点在第三象限,满足在实轴的下方,故C正确;因为t2+2t+2=0无解,所以z一定不是实数,故D错误.故选ABC.11.已知i为虚数单位,在复平面内,复数z=,以下说法正确的是(　CD　)(A)复数z的虚部是i(B)|z|=1(C)复数z的共轭复数是 =-i(D)复数z的共轭复数对应的点位于第四象限解析:z====+i,对于A,复数z的虚部是,故A错误;对于B,|z|==,故B错误;对于C,复数z的共轭复数是 =-i,故C正确;对于D,=-i,在复平面内,对应点的坐标为(,-),复数z的共轭复数对应的点位于第四象限,故D正确.故选CD.12.已知z1与z2是共轭虚数,以下4个命题一定正确的是(　BC　)(A)<|z2|2 (B)z1z2=|z1z2|(C)z1+z2∈R (D)∈R解析:z1与z2是共轭虚数,设z1=a+bi,则z2=a-bi(a,b∈R).=a2-b2+2abi,虚数不能比较大小,选项A不正确; z1z2=|z1z2|=a2+b2,选项B正确;z1+z2=2a∈R,选项C正确;===+i不一定是实数,选项D不一定正确.故选BC.三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中的横线上)13.设复数a+bi(a,b∈R)的模为,则(a+bi)(a-bi)=　　　　. 解析:设z=a+bi,则(a+bi)(a-bi)=z=|z|2=3.答案:314.已知复数z1=cos 15°+isin 15°和复数z2=cos 45°+isin 45°,则z1·z2=　　　　. 解析:z1·z2=(cos 15°+isin 15°)(cos 45°+isin 45°)=(cos 15°cos 45°-sin 15°sin 45°)+(sin 15°cos 45°+cos 15°sin 45°)i=cos 60°+isin 60°=+i.答案:+i15.已知a∈R,若为实数,则a=　　　　,||=　　　　. 解析:===+i.因为为实数,所以=0,所以a=-.所以||=.答案:-　16.已知关于x的方程x2+(1+2i)x-(3m-1)i=0有实根,则纯虚数m的值是　　　　. 解析:方程有实根,不妨设其一根为x0,设m=ai代入方程得+(1+2i)x0-(3ai-1)i=0,化简得,(2x0+1)i++x0+3a=0,所以解得a=,所以m=i.答案:i四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知复数z满足(1+2i)z=4+3i,求z及.解:因为(1+2i)z=4+3i,所以z===2-i,故=2+i.所以====-i.18.(本小题满分12分)已知复数z=a-i(a∈R),且z(1+i)是纯虚数.(1)求复数z及|z|;(2)在复平面内,若复数(z-mi)2(m∈R)对应点在第二象限,求实数m的取值范围.解:(1)因为z=a-i(a∈R),且z(1+i)是纯虚数,所以(a-i)(1+i)=(a+1)+(a-1)i是纯虚数,则即a=-1.所以z=-1-i,|z|==.(2)(z-mi)2=[-1-(m+1)i]2=1-(m+1)2+2(m+1)i,由题意可得解得m>0.所以实数m的取值范围是(0,+∞).19.(本小题满分12分)已知平行四边形ABCD中,与对应的复数分别是3+2i与1+4i,两对角线AC与BD相交于P点.(1)求对应的复数;(2)求对应的复数;(3)求△APB的面积.解:(1)由于四边形ABCD是平行四边形,所以=+,于是=-,而(1+4i)-(3+2i)=-2+2i,故对应的复数是-2+2i.(2)由于=-,而(3+2i)-(-2+2i)=5,故对应的复数是5.(3)由于==-=(-,-2),==(,0),于是·=-,而||=,||=,所以×cos∠APB=-,因此cos∠APB=-,故sin∠APB=,故S△APB=||||sin∠APB=×××=.故△APB的面积为.20.(本小题满分12分)已知复数z满足|z|=,z2的虚部为2.(1)求复数z;(2)设z,z2,z-z2在复平面内对应的点分别为A,B,C,求△ABC的面积.解:(1)设z=a+bi(a,b∈R),由已知条件得a2+b2=2,z2=a2-b2+2abi,所以2ab=2.所以a=b=1或a=b=-1,即z=1+i或z=-1-i.(2)当z=1+i时,z2=(1+i)2=2i,z-z2=1-i,所以点A(1,1),B(0,2),C(1,-1),所以S△ABC=|AC|·1=×2×1=1;当z=-1-i时,z2=(-1-i)2=2i,z-z2=-1-3i.所以点A(-1,-1),B(0,2),C(-1,-3),所以S△ABC=|AC|·1=×2×1=1.故△ABC的面积为1.21.(本小题满分12分)设复数z1=(a2-4sin2θ)+(1+2cos θ)i,a∈R,θ∈(0,π),z2在复平面内对应的点在第一象限,且=-3+4i.(1)求z2及|z2|;(2)若z1=z2,求θ与a2的值.解:(1)设z2=x+yi(x,y∈R),则=(x+yi)2=x2-y2+2xyi,因此x2-y2+2xyi=-3+4i.所以解得或所以z2=1+2i或z2=-1-2i.又因为z2在复平面内对应的点在第一象限,则z2=-1-2i应舍去,故z2=1+2i,|z2|=.(2)由(1)知(a2-4sin2θ)+(1+2cos θ)i=1+2i,即解得cos θ=,因为θ∈(0,π),所以θ=,所以a2=1+4sin2θ=1+4×=4.综上可知,θ=,a2=4.22.(本小题满分12分)设z是虚数,ω=z+是实数,且-1<ω<2.(1)求|z|的值及z的实部的取值范围.(2)设μ=,求证:μ为纯虚数.(1)解:因为z是虚数,所以可设z=x+yi(x,y∈R,且y≠0),则ω=z+=(x+yi)+=x+yi+=(x+)+(y-)i.因为ω是实数,且y≠0,所以y-=0,即x2+y2=1.所以|z|=1,此时ω=2x.又-1<ω<2,所以-1<2x<2.所以-<x<1,即z的实部的取值范围是(-,1).(2)证明:μ====. 又x2+y2=1,所以μ=-i.因为y≠0,所以μ为纯虚数.