高考数学(理数)二轮复习专题1 第3讲《导数》练习 (含答案详解)

专题复习检测

A卷

1．(山东烟台期末)函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是(　　)

A．(－2，－1)　 B．(－1,0)

C．(0,1)　 D．(1,2)

【答案】B

【解析】函数f(x)＝2x＋3x是定义在R上的单调递增函数，f(－2)＝2－2－6<0，f(－1)＝2－1－3<0，f(0)＝1>0，所以函数f(x)的零点所在的一个区间是(－1,0)．故选B．

2．函数f(x)＝的图象大致为(　　)

A B

C D

【答案】B

【解析】f(x)＝的定义域为{x|x≠0}，排除A；当x＞0时，f(x)>0，当x<0时，f(x)<0，排除C，D．故选B．

3．(广西梧州模拟)已知函数f(x)＝x2＋x＋c，若f(0)＞0，f(p)＜0，则必有(　　)

A．f(p＋1)＞0　 B．f(p＋1)＜0

C．f(p＋1)＝0　 D．f(p＋1)的符号不能确定

【答案】A

【解析】由题意知f(0)＝c＞0，函数图象的对称轴为x＝－，则f(－1)＝f(0)＞0.设f(x)＝0的两根分别为x1，x2(x1＜x2)，则－1＜x1＜x2＜0.根据图象知x1＜p＜x2，故p＋1＞0，f(p＋1)＞0.

4．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－1,2)　　　　

B．(－∞，－3)∪(6，＋∞)

C．(－3,6)　　　　

D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)

【答案】B

【解析】∵f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)，由已知可得f′(x)＝0有两个不相等的实根，∴Δ＝4a2－4×3(a＋6)>0，即a2－3a－18>0，解得a>6或a<－3.

5．设函数f(x)的零点为x1，g(x)＝4x＋2x－2的零点为x2，若|x1－x2|≤0.25，则f(x)可以是(　　)

A．f(x)＝x2－1　 B．f(x)＝2x－4

C．f(x)＝ln(x＋1)　 D．f(x)＝8x－2

【答案】D

【解析】选项A，x1＝±1；选项B，x1＝2；选项C，x1＝0；选项D，x1＝.∵g(x)为增函数，g(1)＝4＋2－2＝4＞0，g(0)＝1－2＜0，g＝2＋1－2＞0，g＝＋－2＜0，∴x2∈.故选D．

6．(河南模拟)某莲藕种植塘每年的固定成本是1万元，每年最大规模的种植量是8万千克，每种植一千克藕，成本增加0.5元．如果销售额函数是f(x)＝－x3＋ax2＋x(x是莲藕种植量，单位：万千克；销售额的单位：万元，a是常数)，若种植2万千克，利润是2.5万元，则要使利润最大，每年需种植莲藕(　　)

A．8万千克　 B．6万千克

C．5万千克　 D．3万千克

【答案】B

【解析】设利润为g(x)，则g(x)＝－x3＋ax2＋x－1－x＝－x3＋ax2－1，x∈(0,8]．又x＝2时，g(2)＝－1＋a－1＝，则a＝2，故g(x)＝－x3＋x2－1，g′(x)＝－x2＋x＝－x(x－6)，易得当x＝6时，g(x)取得最大值，所以要使利润最大，每年需种植莲藕6万千克．故选B．

7．(福建漳州校级检测)若函数y＝|x|－m有两个零点，则m的取值范围是________．

【答案】(0,1)

【解析】在同一平面直角坐标系内画出y＝|x|和y＝m的图象如图所示，由于函数有两个零点，故0<m<1.

8．已知函数y＝x3－3x＋c的图象与x轴恰有两个公共点，则c＝__________.

【答案】－2或2

【解析】设f(x)＝x3－3x＋c，对f(x)求导可得f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＝0，可得x＝±1.易知f(x)在(－∞，－1)，(1，＋∞)内单调递增，在(－1,1)内单调递减．由题意，知f(1)＝0或f(－1)＝0.若f(1)＝1－3＋c＝0，可得c＝2；若f(－1)＝－1＋3＋c＝0，可得c＝－2.

9．设函数f(x)＝kx3－3x＋1(x∈R)，若对于任意x∈[－1,1]，都有f(x)≥0成立，则实数k的值为______．

【答案】4

【解析】若x＝0，则不论k取何值，f(x)≥0都成立．

当x>0，即x∈(0,1]时，f(x)＝kx3－3x＋1≥0可化为k≥－.设g(x)＝－，则g′(x)＝，所以g(x)在区间内单调递增，在区间内单调递减，因此g(x)max＝g＝4，从而k≥4.

当x<0，即x∈[－1,0)时，f(x)＝kx3－3x＋1≥0可化为k≤－，g(x)＝－在区间[－1,0)内单调递增，因此g(x)min＝g(－1)＝4，从而k≤4.综上，k＝4.

10．(江苏扬州模拟)已知函数f(x)＝a－－ln x(a，b∈R)．

(1)讨论函数f(x)的单调性；

(2)若b＝1，试讨论函数f(x)零点的个数．

【解析】(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－＝.

当b≤0时，f′(x)<0在(0，＋∞)上恒成立，

则函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减．

当b>0时，由f′(x)>0得0<x<b，

由f′(x)<0得x>b，

则函数f(x)在(0，b)上单调递增，在(b，＋∞)上单调递减．

(2)b＝1时，f(x)＝a－－ln x，

由(1)得函数f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，

所以当x＝1时，函数f(x)取得最大值f(1)＝a－1.

①当a－1<0，即a<1时，函数f(x)没有零点．

②当a－1＝0，即a＝1时，函数f(x)有一个零点．

③当a－1>0，即a>1时，易得0<e－a<1<ea，f(ea)＝－<0，f(e－a)＝2a－ea<2－e<0，

故函数f(x)有两个零点．

B卷

11．(四川遂宁模拟)设函数f(x)是定义在(－∞，0)上的可导函数，其导函数为f′(x)，且2f(x)＋xf′(x)＞x2，则不等式(x＋2 018)2f(x＋2 018)－4f(－2)＞0的解集为(　　)

A．(－2 020,0)　　　　 　 B．(－∞，－2 020)

C．(－2 018,0)　　　　 　 D．(－∞，－2 018)

【答案】B

【解析】设g(x)＝x2f(x)，x＜0，其导数g′(x)＝2xf(x)＋x2f′(x)＝x(2f(x)＋xf′(x))．又由2f(x)＋xf′(x)＞x2≥0，且x＜0，则g′(x)<0，则g(x)在(－∞，0)上为减函数，由(x＋2 018)2f(x＋2 018)－4f(－2)＞0，得(x＋2 018)2f(x＋2 018)＞(－2)2f(－2)，∴g(x＋2 018)＞g(－2)．又g(x)在(－∞，0)上为减函数，∴解得x＜－2 020.故选B．

12．已知函数f(x)＝(a为常数，e为自然对数的底数)的图象在点A(e,1)处的切线与该函数的图象恰好有三个公共点，则实数a的取值范围是________．

【答案】(－∞，－3－2)∪

【解析】当x≥1时，f′(x)＝，则过点A(e,1)的切线斜率为k＝，故切线方程为y－1＝(x－e)，与y＝(x＋2)(x－a)联立后应该有两组解，即消元得到的x2＋(1－a)x－2a＝0在(－∞，1)内有两个不同的实数解，则解得a∈(－∞，－3－2)∪.

13．(江苏)设f(x)，g(x)是定义在R上的两个周期函数，f(x)的周期为4，g(x)的周期为2，且f(x)是奇函数．当x∈(0,2]时，f(x)＝，g(x)＝其中k＞0.若在区间(0,9]上，关于x的方程f(x)＝g(x)有8个不同的实数根，则k的取值范围是________．

【答案】

【解析】作出f(x)与g(x)的大致图象如图．由图可知，f(x)与g(x)＝－(1＜x≤2,3＜x≤4,5＜x≤6,7＜x≤8)仅有2个实数根，要使f(x)＝g(x)有8个不同的实数根，则f(x)与g(x)＝k(x＋2)，x∈(0,1]的图象有2个不同交点．由半圆y＝与直线kx－y＋2k＝0相切，得＝1，解得k＝±(负值舍去)．因为两点(－2,0)，(1,1)连线的斜率k＝，所以≤k＜，所以即k的取值范围为.

14．(北京)已知函数f(x)＝x3－x2＋x.

(1)求曲线y＝f(x)的斜率为1的切线方程；

(2)当x∈[－2,4]时，求证：x－6≤f(x)≤x；

(3)设F(x)＝|f(x)－(x＋a)|(a∈R)，记F(x)在区间[－2,4]上的最大值为M(a)，当M(a)最小时，求a的值．

【解析】(1)由f(x)＝x3－x2＋x，

得f′(x)＝x2－2x＋1.

令f′(x)＝1，即x2－2x＋1＝1，

解得x＝0或x＝.

又f(0)＝0，f＝，

所以曲线y＝f(x)的斜率为1的切线方程是y＝x与y－＝x－，即y＝x与y＝x－.

(2)证明：要证x－6≤f(x)≤x，

即证－6≤f(x)－x≤0.

令g(x)＝f(x)－x，x∈[－2,4]，

则g(x)＝x3－x2，

g′(x)＝x2－2x＝x.

令g′(x)＝0，解得x＝0或x＝.

又g(－2)＝－6，g(4)＝0，g(0)＝0，g＝－，

所以g(x)的最小值为－6，最大值为0.

所以－6≤f(x)－x≤0.

所以x－6≤f(x)≤x.

(3)由(2)知，当x∈[－2,4]时，－6≤f(x)－x≤0，

所以－6－a≤f(x)－(x＋a)≤－a.

当|－6－a|＝|－a|，即a＝－3时，M(a)＝3；

当a>－3时，－6－a<－3，－a<3，

M(a)＝|－6－a|＝6＋a>3；

当a<－3时，－6－a>－3，－a>3，

M(a)＝|－a|＝a>3.

综上，M(a)的最小值为3，当M(a)最小时，a＝－3.