高考数学(理数)二轮复习专题2 第1讲《三角函数》练习 (含答案详解)

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专题复习检测A卷1．(江西临川模拟)已知平面直角坐标角系下，角α的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P(4,3)，则cos＝(　　)A．　 B．－C．或－　 D．【答案】B【解析】因为角α的终边经过点P(4,3)，则r＝＝5，所以sin α＝，cos α＝.所以cos＝－sin 2α＝－2sin αcos α＝－2××＝－.故选B．2．(湖南衡阳模拟)已知tan(π＋α)＝2，则＝(　　)A．－　 B．　　C．－　 D．【答案】A【解析】由tan(π＋α)＝2，可得tan α＝2，则＝＝＝－.故选A．3．(新课标Ⅱ)下列函数中，以为周期且在区间单调递增的是(　　)A．f(x)＝|cos 2x|　 B．f(x)＝|sin 2x|　　C．f(x)＝cos|x|　 D．f(x)＝sin|x|【答案】A【解析】f(x)＝sin|x|不是周期函数，排除D；f(x)＝cos|x|的周期为2π，排除C；f(x)＝|sin 2x|在处取得最大值，不可能在区间单调递增，排除B．故选A．4．(山东青岛二中期中)若将函数y＝cos x－sin x的图象向左平移m(m>0)个单位后，所得图象关于y轴对称，则实数m的最小值为(　　)A．　 B．　　C．　 D．【答案】C【解析】y＝cos x－sin x＝2cos，图象向左平移m个单位后，关于y轴对称，所以平移后函数是偶函数．四个选项中，只有平移后，所得函数为y＝2cos(x＋π)＝－2cos x，是偶函数．故选C．5．(湖南师大附中月考)函数y＝sin，x∈[－2π，2π]的单调递增区间是__________．【答案】和【解析】y＝sin＝－sin，由2kπ＋≤x－≤2kπ＋，k∈Z，得4kπ＋≤x≤4kπ＋，k∈Z，故y＝sin的单调递增区间为，k∈Z.又x∈[－2π，2π]，故y＝sin，x∈[－2π，2π]的单调递增区间是和.6．(广东深圳调研)函数y＝sin2－sin2的值域是________．【答案】[－1,1]【解析】∵y＝sin2－sin2＝－＝－＝sin 2x，∴函数的值域是[－1,1]．7．若锐角α，β满足(1＋tan α)(1＋tan β)＝4，则α＋β＝________.【答案】【解析】因为(1＋tan  α)(1＋tan  β)＝4，所以1＋(tan  α＋tan  β)＋3tan  αtan  β＝4，即(tan  α＋tan  β)＝3(1－tan  αtan  β)，所以tan (α＋β)＝＝.又∵α，β为锐角，∴α＋β＝.8．(浙江丽水模拟)已知f(x)＝2sin xcos x＋cos 2x.(1)求f的值；(2)当x∈时，求f(x)的取值范围．【解析】(1)f＝2sincos＋cos＝sin＋cos＝×＋＝.(2)f(x)＝2sin xcos x＋cos 2x＝sin 2x＋cos 2x＝2sin.当x∈时，≤2x＋≤，则－≤sin≤1，－1≤2sin≤2，所以当x∈时，f(x)的取值范围为[－1,2]．B卷9．(河南郑州模拟)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则y＝f取得最小值时的集合为(　　)A．B．C．D．【答案】B【解析】由图象得T＝4×＝π，则ω＝＝2.又f＝1，则2×＋φ＝2nπ＋(n∈Z)，即φ＝2nπ－(n∈Z)，结合|φ|<可得φ＝－，所以f(x)＝sin.所以y＝f＝sin，取得最小值时有2x＋＝2kπ－(k∈Z)，即x＝kπ－(k∈Z)．故选B．10．(山东聊城模拟)已知sin＝，则sin＝(　　)A．－　 B．　　C．－　 D．【答案】C【解析】cos＝1－2sin2＝1－2×2＝，则sin＝cos ＝cos＝2cos2－1＝2×2－1＝－.故选C．11．(安徽皖北校级模拟)已知函数f(x)＝sin x＋cos x，则下列命题正确的是________(写出所有正确命题的序号)．①f(x)的最大值为2；②f(x)的图象关于点对称；③f(x)在区间上单调递增；④若实数m使得方程f(x)＝m在[0,2π]上恰好有三个实数解x1，x2，x3，则x1＋x2＋x3＝.【答案】①③④【解析】f(x)＝sin x＋cos x＝2＝2sin，①正确；将x＝－代入f(x)，得f＝2sin＝1≠0，②错误；由2kπ－≤x＋≤2kπ＋，k∈Z，得2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z，∴f(x)在区间上单调递增，③正确；若实数m使得方程f(x)＝m在[0,2π]上恰好有三个实数解，结合f(x)＝2sin及y＝m的图象(如图所示)，可知必有x＝0，x＝2π，此时f(x)＝2sin＝，另一解为x＝，即x1，x2，x3满足x1＋x2＋x3＝，④正确．12．已知函数f(x)＝10sin cos ＋10cos2.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，再向下平移a(a＞0)个单位长度后得到函数g(x)的图象，且函数g(x)的最大值为2.①求函数g(x)的解析式；②求证：存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得g(x0)＞0.【解析】(1)∵f(x)＝10sin ·cos ＋10cos2 ＝5sin x＋5cos x＋5＝10sin＋5，∴函数f(x)的最小正周期T＝2π.(2)①将f(x)的图象向右平移个单位长度后得到y＝10sin x＋5的图象，再向下平移a(a＞0)个单位长度后得到g(x)＝10sin x＋5－a的图象．又已知函数g(x)的最大值为2，∴10＋5－a＝2，解得a＝13.∴g(x)＝10sin x－8.②证明：要证存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得g(x0)＞0，即证存在无穷多个互不相同的正整数x0使得10sin x0－8＞0，即sin x0＞.由＜知存在0＜α0＜，使得sin α0＝.由正弦函数的性质可知当x∈(α0，π－α0)时，均有sin x＞.∵y＝sin x的周期为2π，∴当x∈(2kπ＋α0,2kπ＋π－α0)(k∈Z)时，均有sin x＞.∵对任意的整数k，(2kπ＋π－α0)－(2kπ＋α0)＝π－2α0＞＞1，∴对任意的正整数k，都存在正整数xk∈(2kπ＋α0,2kπ＋π－α0)，使得sin xk＞，即存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得g(x0)＞0.