高考数学(理数)二轮复习专题2 第2讲《解三角形》练习 (含答案详解)

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A卷

1．在△ABC中，a＝，A＝45°，则△ABC外接圆的半径R等于(　　)

A．1　 B．2

C．4　 D．无法确定

【答案】A

【解析】2R＝＝＝2，R＝1.

2．(陕西模拟)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，(a＋b＋c)(a＋c－b)＝3ac，则角B＝(　　)

A．　 B．　　

C．　 D．

【答案】B

【解析】由(a＋b＋c)(a＋c－b)＝3ac，可得a2＋c2－b2＝ac，根据余弦定理可得cos B＝＝.又B∈(0，π)，所以B＝.故选B．

3．(北京模拟)在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若∠C＝30°，a＝c，则角B等于(　　)

A．45°　 B．105°

C．15°或105°　 D．45°或135°

【答案】C

【解析】由正弦定理＝，得sin A＝＝＝，所以∠A＝45°或135°.所以∠B＝105°或15°.故选C．

4．(陕西榆林二模)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，＝，若c＝2cos C＝，则△ABC的周长为(　　)

A．3　　　　  B．2　　　　

C．3＋　 D．3＋2

【答案】D

【解析】由＝及正弦定理，得＝.设a＝t，则b＝t.又c＝2cos C＝，则c＝，且cos C＝.由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C＝4t2－3t2＝3，解得t＝.所以a＝，b＝3，△ABC的周长＝a＋b＋c＝3＋2.

5．边长为5,7,8的三角形中，最大角与最小角之和为(　　)

A．90°　 B．120°　　

C．135°　 D．150°

【答案】B

【解析】设边长为5,7,8的对角分别为A，B，C，则A<B<C.由题意，得cos B＝＝，∴cos(A＋C)＝－cos B＝－.∴A＋C＝120°.

6．(新课标Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝6，a＝2c，B＝，则△ABC的面积为________．

【答案】6

【解析】由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B及b＝6，a＝2c，B＝，得36＝(2c)2＋c2－4c2cos，解得c2＝12.所以S△ABC＝acsin B＝c2sin B＝6.

7．(福建福州模拟)如图，小张在山顶A处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小张在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC＝135°.若山高AD＝100 m，汽车从B点到C点历时14 s，则这辆汽车的速度约为________m/s.(精确到0.1，参考数据：≈1.414，≈2.236)

【答案】22.6

【解析】∵小张在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，∴∠BAD＝60°，∠CAD＝45°.设这辆汽车的速度为v m/s，则BC＝14v.在Rt△ADB中，AB＝＝＝200.在Rt△ADC中，AC＝＝＝100.在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB·cos∠BAC，∴(14v)2＝(100)2＋2002－2×100×200×cos 135°，∴v＝≈22.6，即这辆汽车的速度约为22.6 m/s.

8．(江苏)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.

(1)若a＝3c，b＝，cos B＝，求c的值；

(2)若＝，求sin 的值．

【解析】(1)在△ABC中，由余弦定理，得cos B＝＝＝，解得c＝.

(2)由＝及正弦定理，得＝＝，∴2sin B＝cos B.

代入sin2B＋cos2B＝1，解得sin B＝，cos B＝.

∴sin＝cos B＝.

9．(北京)在△ABC中，a＝3，b－c＝2，cos B＝－.

(1)求b，c的值；

(2)求sin(B－C)的值．

【解析】(1)∵a＝3，b－c＝2，cos B＝－，

∴由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，

可得b2＝32＋(b－2)2－2×3(b－2)×.

∴b＝7，c＝b－2＝5.

(2)在△ABC中，∵cos B＝－，∴sin B＝.

由正弦定理有＝，

∴sin C＝＝＝.

由cos B＝－可知B为钝角，则C为锐角，

∴cos C＝＝.

∴sin(B－C)＝sin Bcos C－cos Bsin C＝×－×＝.

B卷

10．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为S，且2S＝(a＋b)2－c2，则tan C等于(　　)

A．　 B．　　

C．－　 D．－

【答案】C

【解析】因为2S＝(a＋b)2－c2＝a2＋b2－c2＋2ab，结合三角形的面积公式与余弦定理，得absin C＝2abcos C＋2ab，即sin C－2cos C＝2，所以(sin C－2cos C)2＝4，＝4.所以＝4，解得tan  C＝－或tan  C＝0(舍去)．故选C．

11．(河北邢台模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足b2＋c2－a2＝bc，· ＞0，a＝，则b＋c的取值范围是(　　)

A．　 B．

 C．　 D．

【答案】B

【解析】由b2＋c2－a2＝bc，得cos A＝＝，则A＝.由· ＞0，知B为钝角．又＝1，则b＝sin B，c＝sin C，b＋c＝sin B＋sin C＝sin B＋sin＝sin B＋cos B＝sin.

∵＜B＜，∴＜B＋＜，

∴＜sin＜，b＋c∈.

12．△ABC的三个内角为A，B，C，若＝tan，则2cos B＋sin 2C的最大值为________．

【答案】

【解析】＝＝＝－tan＝tan＝

tan，∴－A－＝－，得A＝－＝.∴2cos B＋sin 2C＝2cos B＋sin＝2cos B＋sin＝2cos B－cos 2B＝2cos B－2cos2B＋1＝－22＋.当cos B＝时，2cos B＋sin 2C有最大值.

13．(江西南昌模拟)为改善居民的生活环境，政府拟将一公园进行改造扩建，已知原公园是直径为200米的半圆形，出入口在圆心O处，A为居民小区，OA的距离为200米，按照设计要求，以居民小区A和圆弧上点B为线段向半圆外作等腰直角三角形ABC(C为直角顶点)，使改造后的公园成四边形OACB，如图所示．

(1)当OB⊥OA时，C与出入口O的距离为多少米？

(2)B设计在什么位置时，公园OACB的面积最大？

【解析】(1)设∠OAB＝θ，当OB⊥OA时，AB＝＝100，sin θ＝＝，

cos θ＝＝.

在等腰直角三角形ABC中，AC＝AB＝50，∠BAC＝.

在△OAC中，cos ∠OAC＝cos＝×－×＝，由余弦定理得OC2＝2002＋(50)2－2×200×50×＝45 000，

所以OC＝150，即C与出入口O的距离为150米．

(2)设∠AOB＝α，则S△OAB＝OA·OBsin α＝10 000sin α，

AB2＝1002＋2002－2×100×200cos α＝50 000－40 000cos α，

所以S△ABC＝AC2＝AB2＝12 500－10 000cos α.

所以SOACB＝S△OAB＋S△ABC＝10 000(sin α－cos α)＋12 500＝10 000sin＋12 500.

当sin＝1，即α＝时，四边形OACB的面积最大，所以B设计在圆弧上使∠AOB＝的位置时，公园OACB的面积最大．