高考数学(理数)二轮复习专题2 第3讲《平面向量》练习 (含答案详解)

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A卷

1．已知向量a＝(2,6)，b＝(－1，λ)，若a∥b，则λ＝(　　)

A．3　 B．－3　　

C．　 D．－

【答案】B

2．已知向量a＝(x－1,2)，b＝(2,1)，则a⊥b的充要条件是(　　)

A．x＝－　 B．x＝－1

C．x＝5　 D．x＝0

【答案】D

3．在四边形ABCD中，＝(1,2)，＝(－4,2)，则该四边形的面积为(　　)

A．　 B．2　　

C．5　 D．10

【答案】C

4．(山东模拟)已知|a|＝1，|b|＝，且a⊥(a－b)，则向量a在b方向上的投影为(　　)

A．1　 B．　　　　

C．　 D．

【答案】D

【解析】由a⊥(a－b)，可得a·(a－b)＝a2－a·b＝0，所以a·b＝a2＝1.所以向量a在b方向上的投影为|a|cos 〈a，b〉＝＝＝.故选D．

5．(湖南怀化模拟)在△ABC中，D为BC上一点，E是AD的中点，若＝λ，＝＋μ，则λ＋μ＝(　　)

A．　 B．－　　

C．　 D．－

【答案】B

【解析】如图所示，由＝λ，可得－＝λ(－)，则＝＋.又E是AD的中点，所以＝＋＝－＋＝＋.又＝＋μ，AB，AC不共线，所以＝，＝μ，解得λ＝，μ＝－，则λ＋μ＝－.故选B．

6．(新课标Ⅰ)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________.

【答案】2

【解析】|a＋2b|2＝|a|2＋4a·b＋4|b|2＝4＋4×2×1×cos 60°＋4＝12，∴|a＋2b|＝＝2.

7．(新课标Ⅲ)已知a，b为单位向量，且a·b＝0，若c＝2a－b，则cos 〈a，c〉＝________.

【答案】

【解析】a·c＝a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2，c2＝(2a－b)2＝4a2－4a·b＋5b2＝9，则

|c|＝3.所以cos 〈a，c〉＝＝.

8．(内蒙古呼和浩特一模)在△ABC中，AB＝，BC＝2AC＝2，满足|－t|≤||的实数t的取值范围是________．

【答案】

【解析】由题意，得AC＝1，cos〈，〉＝＝＝.由|－t|≤||，得2－2t||||cos〈，〉＋t22≤32，即3－2t×2×＋4t2≤3，解得0≤t≤.

9．已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是120°.

(1)求|a＋b|的值；

(2)当(a＋2b)⊥(ka－b)时，求k的值．

【解析】(1)由已知，得a·b＝4×8×＝－16，

∵|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2×(－16)＋64＝48，

∴|a＋b|＝4.

(2)∵(a＋2b)⊥(ka－b)，∴(a＋2b)·(ka－b)＝0.

∴ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0，

即16k－16(2k－1)－2×64＝0，解得k＝－7.

10．已知向量a＝(cos x,2cos x)，b＝(2cos x，sin x)，函数f(x)＝a·b.

(1)把函数f(x)的图象向右平移个单位长度得到函数g(x)的图象，求g(x)的单调递增区间；

(2)当a≠0，a与b共线时，求f(x)的值．

【解析】(1)∵f(x)＝a·b＝2cos2x＋2sin xcos x

＝sin 2x＋cos 2x＋1＝sin＋1，

∴g(x)＝sin＋1

＝sin＋1.

由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，

得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，

∴g(x)的单调递增区间为，k∈Z.

(2)∵a≠0，a与b共线，∴cos x≠0.

∴sin xcos x－4cos2x＝0.∴sin x＝4cos x，tan  x＝4.

则f(x)＝2cos2x＋2sin xcos x＝＝＝.

B卷

11．(新课标Ⅱ)已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则·(＋)的最小值是(　　)

A．－2　 B．－　　　　

C．－　 D．－1

【答案】B

【解析】如图，以BC所在直线为x轴，BC的垂直平分线DA所在直线为y轴，D为坐标原点建立平面直角坐标系，则A(0，)，B(－1,0)，C(1,0)．设P(x，y)，则＝(－x，－y)，＝(－1－x，－y)，＝(1－x，－y)，∴＋＝(－2x，－2y)，·(＋)＝2x2－2y(－y)＝2x2＋22－≥－，当x＝0，y＝，即P时，·(＋)有最小值－.

12．(四川成都模拟)已知A，B是圆O：x2＋y2＝4上的两个动点，||＝2，＝－.若M是线段AB的中点，则·的值为(　　)

A．3　 B．2　　　　

C．－2　 D．－3

【答案】A

【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，＝，＝(x2－x1，y2－y1)．∴＝－＝.由||＝2，得(x2－x1)2＋(y2－y1)2＝4.①　又A，B在圆O上，∴x＋y＝4，x＋y＝4.②　联立①②得x1x2＋y1y2＝2，∴·＝·，化简得(x＋y)－(x＋y)＋(x1x2＋y1y2)＝×4－×4＋×2＝3.

13．(浙江)已知正方形ABCD的边长为1，当每个λi(i＝1,2,3,4,5,6)取遍±1时，|λ1＋λ2＋λ3＋λ4＋λ5＋λ6|的最小值是________，最大值是________．

【答案】0　2

【解析】由正方形ABCD的边长为1，可得＋＝，＝－，·＝0，

∴|λ1＋λ2＋λ3＋λ4＋λ5＋λ6|＝|λ1＋λ2－λ3－λ4＋λ5＋λ5＋λ6－λ6|＝|(λ1－λ3＋λ5－λ6)·＋(λ2－λ4＋λ5＋λ6)|.要使|λ1＋λ2＋λ3＋λ4＋λ5＋λ6|最小，只需要|λ1－λ3＋λ5－λ6|＝|λ2－λ4＋λ5＋λ6|＝0，此时只需取λ1＝1，λ2＝－1，λ3＝1，λ4＝1，λ5＝1，λ6＝1，此时所求最小值为0.又|(λ1－λ3＋λ5－λ6)＋(λ2－λ4＋λ5＋λ6)·|2＝(λ1－λ3＋λ5－λ6)2＋(λ2－λ4＋λ5＋λ6)2≤(|λ1|＋|λ3|＋|λ5－λ6|)2＋(|λ2|＋|λ4|＋|λ5＋λ6|)2＝(2＋|λ5－λ6|)2＋(2＋|λ5＋λ6|)2＝8＋4(|λ5－λ6|＋|λ5＋λ6|)＋(λ5－λ6)2＋(λ5＋λ6)2＝8＋4＋2(λ＋λ)＝12＋4＝20，当且仅当λ1－λ3，λ5－λ6均非负或均非正，并且λ2－λ4，λ5＋λ6均非负或均非正，可取λ1＝1，λ2＝1，λ3＝－1，λ4＝－1，λ5＝1，λ6＝1，则所求最大值为＝2.

14．(四川眉山模拟)已知△ABC的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设向量m＝(a，b)，n＝(sin B，sin A)，p＝(b－2，a－2)．

(1)若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形；

(2)若m⊥p，边长c＝2，角C＝，求△ABC的面积．

【解析】(1)证明：因为m＝(a，b)，n＝(sin B，sin A)，m∥n，

所以asin A＝bsin B.

结合正弦定理，可得a2＝b2，即a＝b，

所以△ABC为等腰三角形．

(2)因为m＝(a，b)，p＝(b－2，a－2)，m⊥p，

所以m·p＝a(b－2)＋b(a－2)＝0，则a＋b＝ab.

由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C，其中c＝2，C＝，

所以a2＋b2－ab＝4，则(a＋b)2－3ab－4＝0.

所以(ab)2－3ab－4＝0，解得ab＝4(ab＝－1舍去)．

所以S△ABC＝absin C＝×4×sin＝.